2019年高考中數學文化的考查研究①

張 瑾 劉金海

(河南師范大學數學與信息科學學院 453007)

數學文化是人類文化的重要組成部分，蘊含著豐富而且深刻的文化底蘊與內涵，與人類的繁榮和發展一脈相連[1].2018年1月教育部印發的《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》)中指出，數學文化是指“數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動.”[2]在教育部考試中心下發的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》(教試中心函[2016]179號)中關于數學學科也明確提出了“增加數學文化”的要求[3].高考作為目前全國范圍內影響最大的考試，對中學生的數學教育起著導向性的作用，自《新課標》頒布以來歷經兩次高考，試題背景中均有數學文化不同程度的滲入.

本文通過對近兩年的高考數學文化試題整理和比較，并對2019年高考數學試卷中出現的數學文化試題進行評析，分析數學文化在數學教育中的作用、預測高考改革后文理不分科情況下數學文化試題命制走向.一方面為高考命題者命制出更加豐富的題型和新穎的試題提供啟發，另一方面提高中學數學教師對數學文化的重視程度并為其提供數學文化的教學策略.

1 高考數學文化試題分布分析

1.1 2019年高考數學文化試題分布特點

2019年全國各地高考共有13套數學試卷(含全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ、全國卷Ⅲ的理科和文科卷，北京理科和文科卷，天津理科和文科卷，上海卷，浙江卷，江蘇卷)，其中有9套試卷共出現了15道數學文化試題.并且有6道題在文理卷均有出現，為了能夠更加直觀體會高考試卷中的數學文化試題分布特點，現整理如下(表1)

通過上述統計結果可以看出2019年高考數學文化試題存在如下特征：第一，從數學文化試題在文理試卷的分布來看，整體上保持了一致，但理科卷中數學文化試題稍多于文科卷，如全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷；第二，從知識點和題型分配來看，考查內容涉及概率統計、立體幾何和函數求解等問題，并以選擇題和填空題為主要考查方式，未涉及到計算題和證明題；第三，從數學文化呈現方式來看，有顯性呈現和隱性呈現兩種形式.其中，顯性呈現形式是直接給出數學文化背景作為試題的情景或引子，解答與數學文化背景基本無關.而隱形呈現形式是指不直接給出數學文化背景，隱含考查與數學文化相關的知識和思想方法[4]；第四，從命題價值來看，高考命題符合新課標的目標要求，從數學文化視角凸顯了數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值；第五，從題目來源來看，包括以《周易》、四大名著等中國優秀傳統文化，以及國內外數學家優秀成果、當代先進科技文化等為背景.

1.2 近兩年高考數學文化試題對比分析

對近兩年的高考數學試卷對比：首先，2019年的高考中增大了對數學文化的考查，主要體現在全國卷的數學文化試題比重上，2018年全國卷共有3道數學文化試題，而2019年全國卷中多達7道；其次，在考查數學課程目標方面，考查的數學價值更為全面，同時增大了對數學審美價值的考查，例如全國Ⅰ卷中體現最美人體黃金分割比例的斷臂維納斯試題、全國Ⅱ卷中體現半正多面體對稱美的中國傳統金石文化——印信試題；最后，在2019年高考文理兩卷中，具有數學文化背景的試題趨向于統一，體現命題者在數學科目中踐行高考改革文理不分科的一次大膽嘗試.經過進一步分析得到，高考數學文化的命題保留了我國優秀傳統文化的背景和國內外著名數學研究成果的考查，在對數學與其他學科的交叉聯系及生活中的應用方面融入了先進科技文化，體現了科技興國和創新強國的教育理念，有助于培養中學生科學精神和創新意識.

2 高考數學文化試題欣賞與評析

2.1 以中國優秀傳統文化為背景

(1)《周易》中的六十四卦

例1(2019全國Ⅰ卷(理)6，5分)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“----”和陰爻“- -”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(▲)

圖1

評析：本題以我國古代典籍《周易》中的“卦”為載體，簡單介紹了“卦”的構成，并以圖1——六十四卦中的第四十六卦“升”為例，傳遞我國深厚的文化底蘊[5].題目要求考生來思考在“重卦”中恰有3個陽爻時，陽爻和陰爻的排列組合問題，展現了數學原理和方法在解決問題中的價值和作用，體現了中國古代的哲學思想和數學的文化價值.考查的數學知識點為排列組合計算原理，考生在熟悉傳統文化的基礎上，通過數學知識的運用，進行簡單的計算可得到答案為A.

(2)金石文化——印信

例2(2019全國Ⅱ卷(理16，文16)，5分)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖2).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖3是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有▲個面，其棱長為▲.(本題第一空2分，第二空3分.)

圖2

圖3

(3)古典文學——四大名著

例3(2019全國Ⅲ卷(理3、文4)，5分)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該學校閱讀過《西游記》的學生人數與該學校學生總數比值的估計值為(▲)

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

評析：該題以家喻戶曉的四大名著為載體，屬于顯性的數學文化試題，體現了數學的文化價值.題目介紹了中學生通過實證調查，并進行數據統計，以此來考查考生的數據分析能力.考察的知識點為數據分析和集合的交集、并集和補集.考生可畫出Venn圖并通過邏輯推理得出閱讀過《西游記》的學生人數，進而得出與該?？倲当戎禐?.7，故選C.

2.2 以國內外數學家優秀成果為背景

(1)斷臂維納斯與黃金比例分割

圖4

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

(2)祖暅原理

例5(2019浙江卷4，5分)祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家.他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是(▲)

圖5

A．158 B．162 C．182 D．324

評析：本題以我國南北朝時代偉大的數學家祖暅研究成果“冪勢既同，則積不容異”引入，以優秀傳統文化作為知識背景，體現了數學的文化價值.祖暅受父親祖沖之的影響，從小熱愛科學，對數學具有濃厚的興趣，祖暅原理是其一生最具有代表的發現[7].利用祖暅原理得到柱形體積公式，并且考查了三視圖知識，考生利用空間想象力來還原幾何體并進行計算，既可以算出幾何體的底面積和高直接利用柱體體積公式進行求解，也可以將幾何體還原到立方體中，通過割補法利用立方體體積減去另外的規則幾何體也可得到所求柱形體積，通過計算均為162，故選B.

2.3 以當代科技文化為背景

(1)嫦娥四號中繼星“鵲橋”

(2) 天體的星等或亮度

A．1010.1B．10.1

C．lg10.1 D．10-10.1

評析：例6和例7分別從數學和物理學、數學和天文學交叉學科入手，以數學為基礎的科技文化背景來進行考查.例6中嫦娥四號探測器實現人類歷史首次月球背面軟著陸，并且中繼星“鵲橋”的成功發射屬于年度時政熱點，以我國航天事業取得的成就凸顯我國科技文化實力的提高.考生通過理解物理公式，運用數學思想對公式進行推導變換和替代，來計算r的近似值，體現了對估算能力的重視.考查學生的數學運算素養，此題答案為D；例7中希臘天文學家依巴谷在公元前二世紀首次運用星等來衡量天體光度的量，星等值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗[8].考生通過理解天文學常識，將所求數值代入天文學中的數學公式來求解比值，通過計算本題選A.這兩道題都針對外太空的探索為背景，激發學生探索的欲望，培養學生對科技文化的興趣.同時，這兩道數學文化題體現了數學的科學價值和應用價值.

(3)我國新四大發明——高鐵列車

例8(2019全國Ⅱ卷(理13、文14)，5分)我國高鐵發展迅速，技術先進.經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為▲.

(4) 3D打印技術

例9(2019全國Ⅲ卷(理、文)16，5分)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為▲g.

圖6

評析：例8和例9分別以高鐵列車、3D打印技術這些新興科技文化為背景，考查數學在這些技術中的應用.例8中借助計算高鐵列車?？空军c的正點率，突出了我國在科技文化方面的發展成果，展示科技文化自信.考生可通過加權平均數的計算，估算經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值，此題答案為0.98. 例9以3D打印模型為例，考查了立體幾何中不規則幾何體的體積求解，并結合物理學中質量與體積和密度的關系來求該模型所需原料的質量.考生可通過可通過先計算挖除的四棱錐O-EFGH體積，再由長方體ABCD-A1B1C1D1的體積與四棱錐的體積的差值，得到模型體積為132cm3，由物理中的質量公式m=ρv可求得制作該模型所需原料的質量為118.8g.這兩道題都考查了數學的應用價值，有助于利用高考為導向提醒學生關注生活中的科技文化，同時又能體現數學作為基礎學科的重要性.

3 思考與建議

3.1 數學文化在數學教育中的作用

隨著教育的改革，從“以學生發展為本”、“三維目標”，到學生發展核心素養以及數學學科核心素養的過程中，無論是在綱領性文件中的體現還是在評價體系中的考查，數學文化的重要性不斷凸顯.在數學學科的學習當中，將知識、思維、方法、原則和精神融為一體，不僅體現數學文化內涵的整體育人，同時也是素質教育的基本要求[9].數學文化作為一種理性的文化，影響著人們的健全品格和健康心理的養成，通過從文化的高度來認識數學課程的育人功能，進而改革傳統的數學課程觀和數學教學觀，才能將機械訓練的教學向重視育人的教學轉型[10].因此，在日常的數學教學中滲透數學文化有利于培養學生的數學核心素養.

對高考數學文化試題進行評析有利于促進教育教學中更好的滲透數學文化.通過上述分析，發現近兩年的高考正在逐步增大對數學文化的考查力度.并且在2019年高考中，大量的科技文化背景出現在數學文化試題中，這體現了在教育改革過程中我國社會主義建設的成果和優秀傳統文化越來越受到重視；在文理兩科的數學試卷中，數學文化試題趨于統一、梯度呈現，對推進“文理交融”的文化素質教育起到了示范作用，同時也是對新高考文理不分科的回應.

3.2 數學文化教學策略

數學文化試題啟示著數學教育改革的方向，數學文化教學是新時代數學教育的特色，教師要自覺接受數學文化的熏陶，積極倡導《新課標》中將數學文化融入課程內容的要求，合理引導學生沿著數學文化的脈絡體會數學的價值.具體可從以下幾個方面進行著手.

首先，注重在數學課堂上滲透優秀傳統文化.隨著我國綜合實力的提升，在以高考為評價導向的試題中，必定會充分展現我國優秀傳統文化的魅力.在數學教學中，教師要重視以我國優秀傳統文化與數學知識的結合來激發學生的學習興趣，培養學生的愛國精神和文化自信，在傳授知識的同時更要注重對學生精神文化的熏陶，提高學生對數學價值的認識，提升數學核心素養.

其次，分享國內外數學家們的優秀研究成果.物理學家、數學家牛頓曾說自己站在巨人的肩膀上，學習數學必定少不了前人所奠定的基礎.在數學教學中，教師要善于從數學知識的角度旁征博引來拓寬學生的數學視野，例如介紹國內外優秀數學家的趣聞軼事、一起探索歷史上的數學名題、向學生分享國內外優秀數學著作如《九章算術》、《幾何原本》等.

最后，關注當代科技文化與數學學科的結合.今年高考一大亮點就是在數學試卷中增大了對科技文化的考查力度，比如時政熱點嫦娥四號探測器與中繼星、高鐵列車、3D打印技術以及與天文學學科交叉的天體的星等或亮度.在數學教學中，教師在向學生傳授知識的同時講解科技文化中的數學內涵，培養學生科技文化興趣，向學生滲透科技興國和創新強國的思想.