第23屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題及參考答案

一、下圖所示的是六角星跳棋盤，它是由一些小的正三角形拼出的，如果記棋盤上最小正三角形的邊長為1 cm，六角星的每個角上的三角形的邊長為kcm，就稱這個六角星跳棋盤為“k-六角星棋盤”，下圖就是“3-六角星棋盤”．跳棋盤上的每一個交叉點是旗子可以落下的地方．問：

(1)把“3-六角星棋盤”看成一個網絡地圖，三角形的邊組成這個網絡的道路，這個網絡地圖里的道路總長度是多少？

(2)對于“k-六角星棋盤”構成的網絡地圖，這個網絡地圖里的道路總長度是多少？

(3)能否一筆畫出“3-六角星棋盤”？若能，請給出畫法；若不能，說出至少需要幾筆能畫出來，并給出畫法．

解(1)“3-六角星棋盤”是由三個方向的三組平行線組成，在一個方向上的平行線有11條，其長度和=1+2+9+8+7+6+7+8+9+2+1=60(cm)，因此道路總長度=3×60=180(cm)．

(2)對于“k-六角星棋盤”，過中心點的三條線將棋盤分成六個全等的菱形，如圖3．為了不產生重復計數，菱形的分界線只參加順時針方向菱形的計數，這樣，每個菱形的道路總長是 3k2+k，于是，道路總長度=18k2+6k(cm)．

(3)不能一筆畫出“3-六角星棋盤”．

在一筆畫中，如果一個點既是起點又是終點，那么這個點就應當連出偶數條線段，路過點也如是．觀察右圖中的點A、B、C、D、E、F，與其中每個點相連的三角型的邊都是5條，條數是奇數．也就是說，這6個點中的每個點都得是起點或終點，不能既是起點又是終點，或者是路過點．

而一筆畫圖只有一個起點和一個終點，于是對于下圖來說，至少要三筆畫．

根據對稱性，選擇C為起點，F為終點，構成如上圖的一筆畫，這恰是整個圖的三分之一的道路．依次可完成另外兩個一筆畫，也就是說，三筆畫可將整個棋盤畫出來．

二、一次學生科技成果報告會需要做橫幅，上面有一個字母J，在剪這個字時，先將正方形紙對折，并剪出一個矩形和四分之一圓環的連體，打開后，剪掉多余的矩形，即得到字母J．剪紙的示意圖如圖1，2，3所示．

圖1

圖2

圖3

問：如何剪出好看的字母J？

解首先給“好看”下個定義．

這里給出的字體是等線體，科技成果報告會是較為嚴肅的，等線體正好符合這種場合，而且字體宜粗不宜細．可以認為當今電腦字庫里的字是“好看”的，為此，調查了電腦字庫中較粗的幾種等線體字，有以下四種：

華文琥珀Franklin GothicHeavySource SansPro BlackArial Black

依照剪字中對結構的說法，概括來說，這些字的共同特征是：

1.“圓環”的內圓直徑與“矩形”的寬幾乎相等，

2.“圓環”的外圓半徑與“矩形”的長之比略大于為1比2．

而一旦這兩個關系確定了，整個字就確定下來了．于是做出“好看”的定義如下：“圓環”的內圓直徑與“矩形”的寬相等，且“矩形”的長為0.618．

設正方形紙長度為單位1，“圓環”的內圓半徑為r，“圓環”的外圓半徑為R，則1-R=0.618，3r=R．求得R=0.382，r=0.1273．

圖4

在圖2中對“J”的幾個位置標上字母，如圖4，于是剪字的程序如下：

第一步．將邊長為1的正方形紙對折成矩形ABCD，如圖4；

第二步．在AB上取點G，使AG:GB=0.618；

第三步．以G為圓心，分別以0.1273、0.382為半徑畫弧HM和BN，使GN∥BC；

第四步．畫ME、NF均與AG平行；

第五步．沿線剪出圖形EMHBNF；

第六步．剪去下層紙對應的MN以上部分矩形；

第七步．展開紙，即得好看的字母J．

(此題是開放的，做題時先要給出“好看”的定義，只要這個定義的理由充分且合理，就給8分；接下來的模型與定義相適應，再給6分；求解過程正確，實際步驟清晰，再給6分．)

三、將若干個物品合理地裝到給定的幾個箱子里面，在技術上是非常重要的，往往涉及到體積、長度、重量等多個因素．比如，有幾個限量為10噸的一樣的箱子和6件重量分別是5噸、4噸、3噸、3噸、3噸、2噸的物品，若先在一個箱子里裝入5噸、4噸的物品，這個箱子再也裝不下其它物品了，而剩下的4件物品共11噸，無法全部裝入第2個箱子，就需要三個箱子裝這6件物品．而若先在一個箱子里裝入5噸、3噸、2噸的物品各一件，則兩個箱子就能全部裝下所有物品．對于裝箱問題，一般來講，人們總是希望所用的箱子盡量少．計算機內存分配就是典型的裝箱問題．這類問題的計算是非常復雜的，很難找到最優的算法及相應的裝箱結果．于是人們利用經驗和邏輯盡量尋找較為理想的解決辦法，如果只考慮重量這一因素，“首次適應，從最重到最輕”的方法被普遍應用，該方法是按照由重到輕對物品進行排列，然后依次將物品裝入首次適合其重量的箱子里，如果有已經裝物的箱子能夠放下這個物品，就不用空箱子．

現在有充分多的完全一樣、限量為 524 kg的箱子，有33件物品，其重量如下表所示：

物品重量(kg)4422521271068584463712109物品數量(件)17541112362

運用“首次適應，從最重到最輕”的方法裝箱．回答下面問題：

(1)裝下這33件物品需要多少個箱子？并列出裝箱過程．

(2)如果去掉重量46kg的那件物品，將其它32件物品裝箱，需要多少個箱子？

(3)如果把46kg的物品換成其他數值，其它物品不變，可以用(1)中得到的箱子數裝下這33件物品嗎？

解(1)按照“首次適應，從最重到最輕”的方法裝箱，得到下表列出的裝箱程序

箱號裝箱第次 12345671442225232524252525262527252825291271012711127121271312714106151061610617106 箱號裝箱第次 123456718851984204621372237231224122512261027102810291030103110329339合計524524524524524524524

顯見，上述裝箱過程用了7個箱子，而所有物品的重量和為3668，又3668=524×7，則恰好裝滿了這7個箱子．

(2)如果去掉重量46kg的那件物品，將其它32件物品按照“首次適應，從最重到最輕”的方法裝箱，得到下表列出的裝箱程序

箱號裝箱第次 123456781442225232524252525262527252825291271012711127121271312714106151061610617106 箱號裝箱第次 123456781885198420372137221223122412251026102710281029103010319329合計5165165165165165175169

此時出現了意想不到的情況，對照(1)，減少了一件物品，卻要增加一個箱子！

(3)其結論是：

1° 若將46kg的物品換成更重一些的物品，其它物品不變，因為(1)中已經將所有7個箱子都裝滿了，所以，裝下這33件物品都會比(1)中得到的7個箱子數要多．

2° 若將46kg的物品換成1kg到45kg之間的任何一個重量的物品，其它物品不變，裝下這33件物品都會比(1)中得到的7個箱子數也要多，需要用8個箱子．

下面舉例說明結論2°．

比如，當把46kg換成45kg時，對照(1)的情況，裝箱的前19次順序不變，第20次后的情況如下表：

箱號裝箱第次 123456782045213722372312241225122610 箱號裝箱第次 1234567827102810291030103110329339合計52451651651651652451738

同理可說明換成其它重量物品所得結論的情況．

由上述討論可見，按“首次適應”的方法可能得不到最優結果，這也是計算機存儲時存儲空間出現碎片發生浪費的原因之一．

四、近年來，每到春節都有支付寶集?；顒樱客瓿梢还P交易就獲贈一張“?！弊挚?，集齊五個不同的“?！弊挚纯色@獎．若干年前購買一袋干脆面隨贈一張水滸傳一百單八將的好漢卡，集齊全部好漢卡將獲得生產商頒發的大獎．問：

(1)如果每完成一筆交易獲贈每種卡片的可能性是一樣的，那么，平均來說，要購買多少筆有關的商品才能集齊五個不同的“?！弊挚?？

(2)如果購買一次干脆面隨贈一百單八將的好漢卡中每一張的可能性是一樣的，那么，平均來說，要購買多少袋干脆面才能獲得生產商頒發的大獎？

三個提示：

1°. 這個問題等同于在一個口袋中有 5 個球，編號為1,2,3,4,5，有放回地隨機摸球，每個球被取到的概率相同，求5個號碼全部都被取到所需要的平均摸球次數．

2°. 若干個相互獨立而且是按先后的次序依次連續發生的隨機變量和的數學期望等于這些隨機變量分別取數學期望后再求和．

3°. 請自行查閱資料，了解如下常見的離散型隨機變量的分布：兩點分布，二項分布，泊松分布，幾何分布，超幾何分布．根據概念判斷這個問題中的隨機變量的分布種類，并運用相應的知識解決問題．

解(1)這個問題等同于在一個口袋中有 5 個球，編號為1,2,3,4,5, 有放回地隨機摸球,每個球被取到的概率相同,求5個號碼全部都被取到所需要的平均摸球次數．

設X表示抽取到全部5個號碼所需的取球次數，將這個過程分為5個階段，設隨機變量Xi(i=1,2,3,4,5)表示取到第i-1個不同號碼的球后，重新開始計數，直至取到第i個與之前不同號碼的球為止所需的摸球次數．則

X=X1+X2+X3+X4+X5．

P(Xi=k)=pi·(1-pi)k-1，k=1,2,…．

根據幾何分布的數學期望公式，有

于是

E(X)=E(X1+X2+X3+X4+X5)

=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)+E(X5)

=11.42．

由此可知，平均來說，大約取12次球就可以取出五個不同的球．那么，對于集?；顒?，平均來說，大約購買12筆有關的商品就可以集齊五個不同的“?！弊挚ǎ?/p>

(2)由(1)可知，要獲得n個不同號碼的球，需要摸球的次數為

X=X1+X2+…+Xn,

取n=108，得

E(X)≈108×(4.68+0.577) ≈ 568．

即平均來說，購買568袋干脆面才能獲得生產商頒發的大獎．

五、在2019年“雙十一”到來之際，商家的打折優惠方式五花八門，天貓在雙十一當天的優惠活動有以下幾種：

1°天貓購物津貼．全場滿減，每滿400減50，或者每滿200減20，可跨店鋪使用, 每個商品僅有其中一種優惠；使用購物津貼的條件：①加入購物車后，一起提交下單的商品；②購買商品需支持購物津貼且滿減門檻一致，且湊單后合并下單金額需達到減門檻，如每滿200減20，滿400減50，以此類推；③不同訂單的商品不能累計價格使用購物津貼．

2°店鋪的限時折扣．僅限在某個時間段打折，比如0:00到2:00，或者0:00到0:30．

3°店鋪優惠券．某商品直接由店鋪打折，或者可使用店鋪優惠劵．

4°預訂商品．有的商品優惠力度較大，且需求量較大，需要在雙十一前預訂，交付一定的定金，在雙十一當天凌晨1點再支付尾款．

5°個別商品有買一贈一的活動，但有限量．

需要注意的是，以上的各種優惠可以疊加使用，比如某商品450元，店鋪優惠50元，接著可以使用滿400減50的天貓購物津貼50元，最后實際付款是350元．付款金額是指商品價格減去店鋪折扣或優惠券之后的價格．預定商品1點才能付款，付款金額是商品價格扣除定金額，預定商品可與沒有購買時限的非預定商品合并付款，當日付款金額達到滿減門檻可以享受天貓購物津貼．

工作在京的職員小張想給遠在故鄉的媽媽和自己購買一些商品，在天貓購物車中放入了護膚品、眼鏡架、鏡片、洗護用品、烘焙用品等，涉及到前面提到的多種優惠類型．給媽媽買的商品寄到故鄉家里，給自己買的商品寄到北京的家中，不同郵寄地址的商品是不能一起下單的．為了在雙十一當天能夠以最優惠的價格購到心儀的商品，小張需要提前計算出下單方式．她將購物車中的商品都列在了下面的清單里，其中沒有標明郵寄地址的可以寄到故鄉家里，也可以寄到北京的家中．品名帶“*”的商品是可買可不買的，可用于湊單．在店鋪優惠方式、購買時限、滿減種類欄目中的空格分別表示沒有相關優惠、沒有購買時限、不參加滿減．

請你幫小張設計一個下單方案，使得購物最省錢．

附： 購買商品清單(金額單位：元)

序號店鋪產品價格訂金店鋪優惠購買時限滿減種類送貨地址1雅頓(預定)護膚品760.00801:00之后故鄉23木九十鏡片629.00眼鏡449.007折折扣券(購買每件商品可領取兩張,一個訂單只能使用一張)0:00-3:00400-50北京0:00-3:00400-50北京4雅詩蘭黛(預定)護膚品590.001001:00之后故鄉5歐緹麗(預定)護膚品510.00801:00之后400-50故鄉6FILA鞋398.00200-20北京7sofina(預定)護膚品320.00401:00之后400-50故鄉89sesderma護膚品299.00200-20北京護膚品124.000:00-1:00200-20北京1011AHC官方(預定)護膚品289.00401:00之后400-50故鄉洗面奶133.00201:00之后400-50北京12HealC(預定)護膚品229.00301:00之后400-50北京13腕尚電子手表139.00200-20北京14北愛廚房烘焙用品100.80200-20故鄉15百秀大藥房隱形眼鏡96.000:00-0:30400-50北京16兔嘛嘛洗發水77.00200-2017樂康保健品66.00滿50減5元200-2018初吉(預定)食品49.30101:00之后400-50北京19TOWO飾品47.80200-2020晶寶護膚品46.00400-50北京21愛上家焙烘焙用品15.600:00-2:00200-20故鄉22Sweetycube糖?19.80200-2023中農百糧食品?19.80400-5024SELFLOVES棉簽?19.40200-2025簡斯化妝刷?13.30200-2026蘭基手賬?9.99400-50

解根據郵寄地址為故鄉、北京、故鄉或北京，將這些商品的價格分別記作a,b,c三類，a={ai}i=1,2,…,7，b={bi}i=1,2,…,11，c={ci}i=1,2,…,8, 其中c4,c5,c6,c7,c8表示5件帶*號的可買可不買的商品．

把訂單分為兩類：X(x1,x2,…xm)表示寄到故鄉的m個訂單，Y(y1,y2,…yn)表示寄到北京的n個訂單，其中xi,yj分別表示寄到故鄉的第i個訂單和寄到北京的第j個訂單的最終支付價格．設

因為必買的商品只能被訂購一次，所以有

而帶*的商品可買可不買，僅用于湊單，故有

設郵寄到故鄉的第i個訂單的優惠金額為αi，郵寄到學校的第j個訂單的優惠金額為βj，最后付款總金額為f(X,Y)．

下面通過枚舉對模型進行計算．為此分別集中列出a,b,c．

變量店鋪產品價格訂金店鋪優惠購買時限滿減種類送貨地址a1雅頓(預定)護膚品760.00801:00之后故鄉a2雅詩蘭黛(預定)護膚品590.001001:00之后故鄉a3歐緹麗(預定)護膚品510.00801:00之后400-50故鄉a4sofina(預定)護膚品320.00401:00之后400-50故鄉a5AHC官方(預定)護膚品289.00401:00之后400-50故鄉a6北愛廚房烘焙用品100.80200-20故鄉a7愛上家焙烘焙用品15.600:00-2:00200-20故鄉

變量店鋪產品價格訂金店鋪優惠購買時限滿減種類送貨地址b1b2木九十鏡片629.00眼鏡449.007折折扣券(購買每件商品可領取兩張,一個訂單只能使用一張)0:00-3:00400-50北京0:00-3:00400-50北京b3FILA鞋398.00200-20北京b4b5sesderma護膚品299.00200-20北京護膚品124.000:00-1:00200-20北京b6AHC官方(預定)洗面奶133.00201:00之后400-50北京b7HealC(預定)護膚品229.00301:00之后400-50北京b8腕尚電子手表139.00200-20北京b9百秀大藥房隱形眼鏡96.000:00-0:30400-50北京b10初吉(預定)食品49.30101:00之后400-50北京b11晶寶護膚品46.00400-50北京

變量店鋪產品價格訂金店鋪優惠購買時限滿減種類送貨地址c1兔嘛嘛洗發水77.00200-20c2樂康保健品66.00滿50減5元200-20c3TOWO飾品47.80200-20

續表

(1)先考慮郵寄到故鄉的訂單

第一個訂單x1=a1+a2=1350(元)；

第二個訂單按滿400減50進行選擇，這類商品有3件，除去預定金額，支付金額為a3+a4+a5-160=959(元)，使用滿400返50的購物津貼可減100元，還可以湊單到1200元，這樣還需湊241元的商品，符合選擇標準的只有c5和c8，顯然湊單不合適．所以

x2=a3+a4+a5-100=(959+160)-100=1019(元)；

第三個訂單顯然是剩余的2件商品，皆為滿200減20，其總額是116.4元，還需83.6滿200，可湊單．滿200減20 的可湊單商品的組合有以下幾種：因為c1+ci>83.6，所以有c1和ci組合，i=2, 3, 4, 6, 7；同理還有c2和c3，c2、c4和c6，c2、c4和c7，c2、c6和c7，c3、c4和c6．具體選哪一個，還需根據寄到北京的訂單的湊單情況來決定．

(2)再考慮郵寄到北京的訂單

第一、二個訂單，按照店鋪優惠，b1、b2必須分開下單，因為湊單商品不是必買的，所以b1不進行湊單，b2可以與b9一起下單，于是

y1=b1×0.7-50=629×0.7-50=390.3(元)；

y2=b2×0.7+b9-50=449×0.7+96-50=360.3(元)；

第三個訂單，考慮預定商品b6、b7和b10，由于b6-20+b7-30+b10-10=351.3(元)，可與b11一起下單，并與c8湊單，

y3=b6+b7+b10+b11+c8-50=407.29-50=357.29(元)；

第四個訂單，剩余的全是滿200減20的商品，可以合為一個訂單，加上c組必買商品，并考慮c組湊單商品，這里需要與x3一起尋找最優的組合方法．

因為b3+b4+b5+b8=960(元)，所以需湊單不少于40元．顯然將c1,c2,c3全部用于x3和y4即可，不同組合產生的效果一樣．選擇

y4=b3+b4+b5+b8+c3-20×5=1007.8-100=907.8(元)；

則x3=a6+a7+c1+c2-20=254.4-20=234.4(元)．

綜上所述，小張最省錢的一個下單方案是做7個訂單，故鄉3個，北京4個，分別是：

x1=a1+a2=1350(元)；

x2=a3+a4+a5-100=1019(元)；

x3=a6+a7+c1+c2-20=234.4(元)．

y1=b1×0.7-50=390.3(元)；

y2=b2×0.7+b9-50=360.3(元)；

y3=b6+b7+b10+b11+c8-50=357.29(元)；

y4=b3+b4+b5+b8+c3-20×5=907.8(元)．

商品原價總金額優惠后總金額優惠總金額優惠百分比5317.494619.09698.413.13%