汽車轉向系統雙十字軸萬向節式中間軸受力分析

潘乙山 李 晗

(博世華域轉向系統有限公司,上海 201801)

0 引言

雙十字軸式萬向節從首次被用在汽車上至今已有一百多年，由于其構簡單而被廣泛用于汽車轉向系統。十字軸式萬向節的不等速特性由法國工程師Jean Victor Poncelet用球面三角公式首次證明，十字軸式萬向節在轉動過程中，節叉會同時受到扭矩和彎矩的作用[1-2]。汽車轉向系統上的中間軸安裝在轉向機和轉向管柱之間，由于安裝轉向機的副車架和安裝轉向管柱的橫梁，兩者相對位置在汽車行駛過程中會產生微小變化，該變化導致中間軸產生伸縮運動，伸縮運動產生的軸向滑動力也會影響到中間軸的受力。轉向系統中的多種噪音與中間軸的受力情況相關，如粘-滑尖叫聲(Stick - Slip)、轉向管柱周期性咯噠聲等，所以在轉向系統設計時對其進行正確受力分析至關重要。本文將扭矩、彎矩及滑動力三者同時在轉向管柱坐標系中表示出來，以便于后續對轉向管柱支撐軸承的受力情況進行分析。

1 中間軸受力分析

中間軸用于傳遞驅動單元的輸出扭矩到機械轉向機上。不同結構的中間軸所能承載的最大扭矩不同，如圖1給出了ZF公司不同結構中間軸所能承受的最大扭矩范圍[3]。注塑滑動結構的中間軸能傳遞的扭矩較小，而球滑動結構的中間軸能傳遞的扭矩較大。直線安裝的中間軸僅能傳遞扭矩，無附加彎矩產生，帶角度安裝的中間軸在傳遞扭矩的同時會產生附加彎矩。為便于裝配以及提供潰縮功能，中間軸一般都有伸縮功能，伸縮過程中會產生軸向滑動力。

圖1 不同結構中間軸所能承受的最大扭矩(圖片來源：參考文獻3)

Fig.1 Transmission torque of each kind of intermediate shaft

1.1 中間軸的結構及原理

如圖2所示，注塑滑動結構的中間軸由下擺動節叉1、下固定節叉2、花鍵軸3、花鍵套管4、上固定節叉5、上擺動節叉6等部分組成[4]?；ㄦI軸3與花鍵套管4之間由注塑滑動結構間隔開來，以降低滑動力；下擺動節叉1與下固定節叉2、上固定節叉5與上擺動節叉6分別用十字軸鏈接，十字軸與節叉之間有滾針軸承，用來降低摩擦損失。下擺動節叉的軸線與花鍵軸的軸線、上擺動節叉的軸線與花鍵管的軸線之間可以布置成不同的夾角，以滿足轉向系統的空間布及扭矩波動的要求。

圖2 博世華域轉向系統有限公司中間軸(圖片來源：參考文獻4)

1.2 單十字軸萬向節受力分析

1.2.1 特殊位置單十字軸萬向節受力分析

如圖3所示，節叉寬度為2h，單十字軸萬向節帶折彎角度傳動時，主動節叉GI輸入扭矩為T1，從動節叉GII輸出扭矩為T2。由于萬向節只能在其十字軸平面內傳遞力，圖中表示為R，該力可分解成垂直于節叉軸線同時垂直于節叉平面的扭轉力P和平行于節叉軸線及在節叉平面內的折彎力Z。輸入扭矩和輸出扭矩有以下關系[2]：

T1=2P1h

T2=2P2h

(1)

(a)

(b)

主動節叉所受的彎矩M1和從動節叉所受的彎矩M2分別為：

M1=2Z1h

M2=2Z2h

(2)

由于兩個節叉的自身對稱特性，結合圖3可知，主動節叉GI和從動節叉GII旋轉180°后又回到各自的初始狀態，故十字軸萬向節的扭轉力P和折彎力Z的周期均為180°。

當主動節叉轉動角度為0°和90°時，節叉的扭矩和彎矩見表1[2]：

從表1可知，節叉所受最大彎矩與十字軸萬向節傳遞的扭矩大小、輸入輸出軸間夾角大小有關。若要對中間軸進行比較完整的受力分析，還需要知道節叉在任意位置時的受力狀態。

表1 特殊位置節叉的扭矩和彎矩

1.2.2 單十字軸萬向節狀態變換

雙十字軸萬向節中間軸的參數設定如圖4所示：

圖4 中間軸模型參數

Fig.4 Parameters of intermediate shaft

先對其中的上萬向節進行分析，如圖5所示，上萬向節的坐標系S定義如下：坐標原點B為十字軸中心點，X軸為主動節叉的軸線，Y軸為主動節叉耳軸線，Z軸為從動節叉耳軸線。輸入軸線與輸出軸線成夾角狀態的萬向節，可由輸入軸線與輸出軸線同軸狀態的萬向節，經過以下步驟得到：

1)將主動節叉軸線AB與從動節叉的軸線BC擺成同軸狀態，主動節叉耳孔軸線Y1Y1與從動節叉耳孔軸線Y2Y2成垂直狀態，主動節叉耳孔軸線Y1Y1在XY平面內；

2)將從動節叉繞其節叉耳孔軸線Y2Y2順時針旋轉β21角；

3)將主動節叉繞其軸線AB順時針旋轉φ1角；

4)將從動節叉繞其軸線BC順時針旋轉-φ2角，直到主動節叉耳孔軸線Y1Y1與從動節叉耳孔軸線Y2Y2垂直。

結合圖3、圖4和圖5的參數設定并用向量形式表示，根據萬向節變換步驟1，此時為初始狀態，各向量在坐標系S上的表示見下表2。

表2 初始狀態向量表示

注：上標0表示向量的初始狀態。

(a) 步驟1

(b) 步驟2

(c) 步驟3

(d) 步驟4

圖5 十字軸萬向節旋轉過程

Fig.5 Transformation of U-joint

步驟2、步驟3和步驟4的變換矩陣[5]分別為：

為了方便書寫，將坐標變換矩陣RBC簡寫成：

初始狀態向量經過步驟2、步驟3和步驟4的變換后的結果見表3。

表3 變換后向量表示

1.2.3 單十字軸萬向節受力平衡求解

cosβ21tanφ2=tanφ1

(3)

若以主動節叉耳孔軸線在主動軸和從動軸所成平面內為初始位置，稱為同相或0°相關。若以主動節叉耳孔軸線在上述平面的垂直平面內為初始位置，稱為正交90°相關[2、6]，并有以下關系：

cosβ21tan(φ2+90°)=tan(φ1+90°)

化簡后有：

tanφ2=cosβ21tanφ1

(4)

(5)

正交時式(4)可寫成：φ2=atan(cosβtanφ1) ，對式子連邊對時間t求導：

(6)

不考慮內摩擦功率損失時，輸入功率等于輸出功率：

T1ω1=T2ω2

(7)

式(7)中，ω1為主動節叉角速度，ω2為從動節叉角速度：

(8)

由式(5)到式(8)，可解得同相時主動節叉扭矩T1與從動節叉扭矩T2滿足以下關系：

(9)

正交時滿足以下關系：

(10)

P1=P2cosβ21+Z2sinβ21cosφ2

(11)

正交時可解得：

P2=P1cosβ21+Z1sinβ21sinφ1

(12)

根據式(3)～(4)和(9)～(12)可化簡可得同相節叉和正交節叉的彎力公式：

Z1=P1tanβ21sinφ1

Z2=P2tanβ21cosφ2

(13)

參考文獻2中表1的特殊位置的扭矩及彎矩結果與式(1)～(2)、(9)～(10)、(13)計算的結果相符。

1.3 雙十字軸結構中間軸彎矩與傳遞扭矩的關系

由于單萬向節傳動比不固定，一般會采用多個萬向節組成特定角度布置的傳動系統來實現等速傳動。常見的等速雙萬向節傳動系統有Z型布置和A型布置，圖4所示的中間軸模型類似A型布置。根據多萬向節等速傳動原理[6]，可令輸出節叉1為同相、上節叉2為正交、下節叉3為正交、小齒輪節叉4為同相。若定義扭矩正向傳遞為輸出節叉1到小齒輪節叉4，則扭矩反向傳遞為小齒輪節叉4到輸出節叉1。上一小節所得公式同時適用于雙十字軸結構中間軸扭矩正向傳遞和扭矩反向傳遞情況。對于扭矩反向傳遞，由式(1)～(4)和(13)可得：

tanφ4=cosβ43tanφ3

tanφ1=cosβ21tanφ2

M4=T4tanβ2sinφ4

M3=T3tanβ2cosφ3

M2=T2tanβ1cosφ2

M1=T1tanβ1sinφ1

(14)

式(14)中，輸出節叉1轉角φ1、上節叉2轉角φ2、下節叉3轉角φ3、小齒輪節叉4轉角φ4初始值均為0°，轉角的變化范圍均為0°～180°。兩個萬向節之間的中間連接軸的扭矩有：

T3=T2

(15)

在中間軸設計時，令上下萬向節的相位角θ與上下萬向節平面的夾角γ的差值盡量等于0°，可實現近似的等速傳動。上節叉2轉角與下節叉3轉角，扭矩正向傳遞及扭矩反向傳遞時分別有以下關系：

φ3=φ2+γ-θ

φ2=φ3+γ-θ

(16)

以電動助力轉向系統(EPS)為例，結合圖6對EPS系統坐標系Sc做如下定義：坐標原點O為上萬向節十字軸中心，X軸為上管柱軸線，Y軸垂直于上管柱軸線同時在水平面上，Z軸向上并垂直于轉向管柱軸線。上萬向節平面與EPS系統坐標系Sc的XY平面的夾角稱為連接角δ，一般左舵車的中間軸連接角為正值，右舵車的中間軸連接角為負值。在坐標系Sc下，輸出軸的轉角φ的初始零位為Y軸的正方向，定義左打方向為正轉，右打方向為反轉。結合公式(14)中輸出節叉1轉角φ1的定義，可知輸出節叉1轉角φ1超前輸出軸的轉角φ的角度為連接角δ：

φ=φ1-δ

(17)

作用在節叉上的力偶矩，定義其使節叉產生繞Z軸折彎的分量為豎直軸彎矩，使節叉產生繞Y軸折彎的分量為水平軸彎矩。則輸出節叉1上的彎矩M1可分解成豎直軸彎矩M1z和水平軸彎矩M1y：

M1z=M1cosφ=M1cos(φ1-δ)

M1y=M1sinφ=M1sin(φ1-δ)

(18)

1.4 雙十字軸結構中間軸滑動力與傳遞扭矩的關系

EPS系統安裝在整車上時，機械轉向機安裝在副車架上，上轉向管柱安裝在橫梁上。在汽車行駛并有轉向運動的過程中，由于有路面顛簸沖擊，中間軸上萬向節中心點到下萬向節中心點的距離會產生變化，根據整車CAE分析，一般該距離變化幅度會在±2 mm內[7]。若雙十字軸結構中間軸在傳遞扭矩的時候產生軸向滑動，將會產生軸向滑動力Fi(僅考慮中間軸伸縮過程產生的穩定滑動力，不考慮靜動摩擦力轉變的突變力)。中間軸拉伸時Fi為負，中間軸壓縮時Fi為正。該滑動力近似的正比于中間軸傳遞的扭矩T2：

圖6 EPSc系統坐標系Sc定義(圖片來源：參考文獻3)

Fi=kT2+F0

(19)

上式中，k為中間軸滑動力系數，F0為中間軸初始滑動力。一般的，注塑滑動結構的中間軸滑動力系數k≈10，中間軸初始滑動力F0約為20 N；球滑動結構的中間軸滑動力系數k≈4，中間軸初始滑動力F0約為10 N。在坐標系Sc下，對于左舵的中間軸，中間軸的軸向滑動力、水平滑動力、豎直滑動力分別為：

Fix=Ficosβ21

Fiy=Fisinβ21cosδ

Fiz=Fisinβ21sinδ

(20)

2 中間軸受力分析實例

下面以左舵的注塑滑動結構中間軸為例，假設施加在小齒輪軸節叉上的扭矩T4=90 Nm，小齒輪軸以ω4的轉速勻速轉動。用上述公式對其進行受力分析，并已知硬點參數如下表4：

表4 中間軸硬點參數

根據上表4的中間軸硬點參數計算可得：

表5 中間軸計算結果

上下萬向節平面的夾角γ為48.965°。相位角由于裝配原因，會產生大約±5°的公差。若EPS的轉向管柱帶有位置調節功能，中間軸硬點參數也會隨著調節位置不同而產生變化，本計算不考慮這種變化狀態下的受力。小齒輪節叉4轉角φ4勻速轉動，可得到不同位置節叉的轉角隨時間變化的曲線及扭矩隨小齒輪節叉4轉角φ4變化的曲線：

圖7 不同位置節叉的轉角曲線和扭矩曲線

Fig.7 Rotate angle and transmission torque of each fork

從圖7可見，給輸入節叉一個勻速轉動速度，中間兩個節叉轉速不均勻，而最后的輸出節叉轉角已經基本能實現勻速轉動。給輸入節叉一個固定扭矩，中間兩個節叉扭矩不均勻，而最后的輸出節叉的扭矩已經基本能實現比較平穩的扭矩輸出。

圖8是方向盤正轉和反轉時中間軸給轉向管柱的彎矩示意圖。

(a) 方向盤正轉

(b) 方向盤反轉

圖8 轉向管柱輸出軸的彎矩

Fig.8 Bending torque on output shaft of steering column

上圖是沿著坐標系Sc的X軸反方向看過去所得圖，圖中的虛直線平面即上萬向節平面，帶箭頭虛弧線指的是旋轉方向，帶箭頭的虛直線指的是彎矩最大的方向，此時節叉耳軸線Y1Y1與上萬向節平面垂直。方向盤每轉動一周，最大值出現兩次。

圖9是中間軸伸縮運動對轉向管柱產生的沿坐標系Sc三個方向的分力。

圖9 中間軸最大分力

實際上由于整車振動的隨機性，沿坐標系Sc三個方向的分力在某個中間軸轉角下，取值可正可負，上圖只是其取值為正時的最大包絡，反應出該位置可能出現的最大值。該最大值可用于轉向管柱支撐軸承的壽命計算。

3 結論

本文通過向量的坐標變換計算，推導出十字軸萬向節轉角公式、十字軸萬向節扭矩及彎矩公式，最終得到中間軸施加在轉向管柱上的扭矩及彎矩曲線，并分析了其受力特點。由于轉向系統的轉速較低，準靜態平衡受力分析基本能滿足需求，扭矩及彎矩曲線可用于指導轉向管柱支撐軸承的噪音分析及壽命計算。