任意階算子的有理逼近—奇異標度方程

郭釗汝， 何秋燕， 袁 曉， 蒲亦非

(1.四川大學電子信息學院， 成都 610064； 2.四川大學計算機學院， 成都 610064)

1 引 言

近年來，分數階微積分理論與應用在電磁學、流體力學、圖像處理、聲音處理等眾多領域都引起了廣泛關注.具有分數階微積分運算功能的元器件稱為分抗元(Fractor).理想階分抗元的阻抗函數為

I(μ)(s)=F(μ)sμ(0<|μ|<1,s∈C)

(1)

式中，μ為運算階數(Operational order)；s是運算變量，又稱復頻率或拉普拉斯變量；F(μ)是分抗元的集總特征值—分抗值(Fractance)，簡稱分抗；sμ稱為μ階微積分算子，當μ取分數(0<|μ|<1)時，將sμ稱為分數階微積分算子，簡稱分數階算子或分數算子[1].

為了敘述簡潔方便而又不失一般性，定義歸一化運算變量(也稱歸一化頻率變量) .

w=τs=s/Ωτ

(2)

式中，τ為時間常數；Ωτ為對應的特征頻率.由此可將理想分抗元的阻抗函數歸一化為

(3)

歸一化變量w與函數ι(μ)(w)均為量綱一的量.(歸一化)算子wμ是一個無理函數[1].因此，算子wμ的有理逼近就轉化為了一個數學問題：構造一個有理函數序列{yk(w)，(k∈N)}，收斂于一確定的極限阻抗函數y(w)，即有

(4)

式中，極限阻抗函數y(w)等于ι(μ)(w)的逼近稱為理想逼近，在一定條件下或一定頻率范圍內近似等于ι(μ)(w)的逼近稱為非理想逼近.

人們提出二項式展開法[2-3]、連分式展開法[4-5]、Padé有理逼近法[6]等方法構造算子wμ的迭代函數.本文根據連分式展開法，利用標度拓展理論[1,7-9]推出一組全新的非正則標度方程—奇異標度方程(Strange Scaling Equation).目的考察奇異標度方程在迭代過程中，所獲得的有理函數序列{yk(w)}是否滿足分抗逼近所必須滿足的基本性質與運算性能.通過零極點分布探究物理可實現性、運算振蕩現象和運算振蕩周期.

2 標度拓展理論與奇異標度方程

2.1 半階算子迭代方程

半階算子w±1/2的有理迭代逼近過程[7-11]，以及許多經典的半階分抗逼近電路(比如Oldham分形鏈電路[12]，Carlson分形格電路[7-8]等)可用簡單的代數迭代方程—半階算子迭代方程式(5)來描述.

y(w)=F(y(w))

(5)

即給定一個恰當的初始有理函數y0(w)=N0(w)/D0(w)，由迭代函數F(·)可以得到

(6)

2.2 標度拓展—任意階算子與非正則標度方程

文獻[1]根據半階有效的Oldham分形鏈分抗與任意階有效的Liu-kaplan分形鏈分抗的對比分析發現，描述Oldham分形鏈分抗電路的代數迭代方程(5)是描述Liu-kaplan分形鏈分抗電路的非正則標度方程(Irregular Scaling Equation)的特例.由此袁曉[1]提出由半階算子迭代方程直接標度化生成非正則標度方程：

(7)

即可用來描述任意階算子wμ的有理逼近過程.式中正實數α，β稱為標度特征參量，σ=αβ稱為標度因子(Scaling Factor).當取0<|σ|<1稱為反比拓展，當取1<|σ|<稱為正比拓展[1,7-9].

根據標度拓展理論，文獻[7]將全頻有效的半階Carlson分形格分抗電路拓展到任意階標度分形格電路，文獻[13-14]提出任意階格形標度分數憶阻概念與電路實現.這些成果說明，標度拓展是獲得任意階算子有理逼近的一種有效手段.

2.3 連分式展開法與奇異標度方程

連分式展開法[15]有理逼近的理論基礎是恒等關系.

(8)

(9)

分別令

(10)

則得到兩個半階有效的(代數)迭代方程

(11)

(12)

容易驗證，上述兩組迭代方程構造的迭代過程

(13)

(14)

滿足計算有理性，運算有效性[1,7].

對迭代方程(11)，(12)分別進行標度拓展，得到兩組非正則標度方程—I型奇異標度方程

(15)

與II型奇異標度方程

(16)

顯然，該組方程滿足計算有理性.也即是說，給定初始有理函數y0(w)時，迭代生成有理函數序列

(17)

(18)

計算有理性(Computational Rationality)是構建分抗的有理函數序列yk(w)的基本要求.因為在分抗逼近電路中，應當使用可獲得的基本電路元器件—整數階元器件，而盡可能避免使用分抗元器件.

那么，奇異標度方程的有理函數序列yk(w)(式(17)，(18))是否具有分抗逼近所必須滿足的運算有效性與物理可實現性成為下節要探究的問題.

3 運算有效性—奇異標度方程的近似求解

運算有效性是指非正則標度方程y(w)=F(αy(σw))的真實解(Actual Solution)，也即迭代過程(給定初始有理函數y0(w))

yk(w)=F(αyk-1(σw)),k∈+

(19)

判定非正則標度方程的運算有效性，是分抗有理逼近或者標度方程描述的過程或系統是否具有分數階運算功能或分數階過程與現象的核心問題.但對于非正則標度方程[9,16]運算有效性的準確求解(特別是解析解的獲得)是一個極具挑戰性的課題[1].為了考察運算有效性，在不知如何求得真實解的情況下，只有采用近似求解法，考察奇異標度方程(15)和(16)的近似解是否包含簡單的算子wμ項.

3.1 I型奇異標度方程的近似求解

在極端條件下，對于I型奇異標度方程(15)有

(20)

因此，在極端頻率條件0←|w±1|<<1下，得到近似解

(21)

而在極端頻率條件1<|w±1|→時，方程(15)簡化為一個準正則(quasi-regular)標度方程

(22)

并有近似解析解(approach analytic solution)

(23)

近似解析解(23)表明，方程(15)描述了一個半階算子的運算有效性.

如果α=1,σ≠1，則有奇異標度方程

(24)

顯然，這是一個半階有效的非正則奇異標度方程.

3.2 II型奇異標度方程的近似求解

對于II型奇異標度方程(16)，在極端頻率條件下有

(25)

在極端頻率條件1<<|w±1|→下，近似得到一個準正則標度方程

(26)

并有近似的解析粗解

(27)

另一方面，在極端頻率條件0←|w±1|<<1時，近似得到一個標準的(normal)正則標度方程

(28)

并有近似的解析解—Liu氏粗解[1]

(29)

這兩種近似解的結果表明：II型奇異標度方程，不但描述了一種任意階算子的運算有效性—近似解為Liu氏粗解(29)，而且還描述了半階算子的運算有效性—近似的解析粗解為式(27).

4 運算性能和逼近性能—奇異標度方程的數值求解

近似求解只能判定奇異標度方程的運算有效性.數值求解能夠直觀地探究奇異標度方程迭代生成的有理函數序列所描述的運算性能和逼近性能.

4.1 數值求解算法—系數矢量序列迭代算法

根據式(4)，以I型奇異標度方程迭代生成的有理函數序列(17)為例，有

(30)

記分子多項式Nk(w)和分母多項式Dk(w)的系數矢量[1,7]為

βk=[βknk,βknk-1,...，βk0]

(31)

αk=[αknk,αknk-1,...,αk0]

(32)

并定義等次擴項運算

(33a)

(33b)

和增次擴項運算

(34a)

(34b)

則得

(35)

同理求得兩類奇異標度方程的有理函數序列的系數矢量序列，整理于表1中.

表1中，算符°：等長矢量的點積運算；頂標算符=：等次擴項；頂標算符←：增次擴項.

yk(j·10?)=Ak(?)exp(j·θk(?))

(36)

幅頻特征

Ak(?)=|yk(j·10?)|

(37a)

Λk(?)=lgAk(?)

(37b)

相頻特征

θk(?)=Arg{yk(j·10?)},?∈R，

(38)

階頻特征

(39)

表1 奇異標度方程的迭代算法公式

Tab.1 Iterative algorithm formulas of the strange scaling equations

y±k(w)βkαky+Ik(w)αk+αk-1σk-1←αk-1σk-1+αβk-1σk-1y-Ik(w)αk+αk-1σk-1αk-1σk-1←+αβk-1σk-1←y+IIk(w)αβk-1σk-1+αk-1σk-1←αk-1σk-1+αβk-1σk-1y-IIk(w)αβk-1σk-1←+αk-1σk-1αk-1σk-1←+αβk-1σk-1←

運算性能由相頻特征和階頻特征完全表征.接下來以初始阻抗y0(w)=1為例，對比標度拓展前后的頻域特征曲線來著重考察奇異標度方程迭代生成的有理函數序列的運算性能與逼近性能[17].

4.2 I型奇異標度方程迭代生成的有理函數序列的運算性能分析

圖1 標度拓展前的頻域特征

(a) Amplitude-frequency characteristics; (b) phase-frequency characteristics; (c) order-frequency characteristics

圖2 標度拓展前的階頻特征

圖3 標度后的階頻特征

Fig.3 Order-frequency characteristics after the scaling

(a) Proportional expansion; (b) inverse expansion

4.3 II型奇異標度方程迭代生成的有理函數序列的運算性能分析

II型奇異標度方程，既描述了一種半階算子的運算有效性，又描述了任意階算子的運算有效性—這是標度拓展理論的升華.

圖4 標度拓展前的階頻特征

Fig.4 Order-frequency characteristics before scaling expansion

4.4 奇異標度方程迭代生成的有理函數序列的逼近性能分析

(40a)

(40b)

奇異標度方程的本征Κ指標為Κ=lg4.

標度拓展后，I型和II型奇異標度方程迭代生成的有理函數序列的逼近帶寬指數分別為

(41a)

(41b)

奇異標度方程的運算振蕩周期W=2|lgσ|.

圖的階頻特征

逼近效益(approximation benefit)—逼近帶寬指數與迭代次數之比.標度拓展前，逼近效益分別為

(42a)

(42b)

標度拓展后，逼近效益分別為

(43a)

(43b)

拓展增益(extension gain)能夠定量表征標度拓展后相對于標度拓展前獲得的更高的逼近效益程度.

(44a)

(44b)

由此可見，標度拓展極大地提高了逼近帶寬和逼近效益.

標度拓展后的逼近帶寬指數和逼近效益與迭代次數k以及運算振蕩周期W密切相關，下一節將介紹運算振蕩現象和運算振蕩周期.

5 奇異標度方程的零極點分布—物理可實現性與運算振蕩現象

奇異標度方程迭代生成的有理函數序列{yk(w),k∈}可表示為

(45)

其中，zi為零點值；pi為極點值. k次迭代后，分別對應有k/2個零點，k/2個極點，交錯成對出現.

在復平面內的零極點分布[18]決定了奇異標度方程迭代生成的有理函數序列yk(w)的物理可實現性.根據零極點頻率指數與運算特征的局域化特征關系，可分析運算振蕩現象和運算振蕩周期.

5.1 物理可實現性

物理可實現性要求阻抗函數的零極點或是在復平面(即黎曼曲面的主葉)的負實軸上，或是共軛成對出現在復平面的左半平面.復平面零極點分布在實軸上為強逼近，分布在虛軸上為弱逼近，阻抗函數在整個復平面上達到一致收斂—強逼近要求往往難以實現[1].

圖7 I型奇異標度方程在復平面內的零極點圖

Fig.7 Zero-pole map in complex planes of the type I singular scaling equations

5.2 運算振蕩現象

為了更好地觀察和探究奇異標度方程有理函數序列yk(w)的零極點分布規律，根據零極點頻率指數oi和χi與零極點關系式

(46)

得到有理函數序列的零極點頻率指數分布(如圖8和圖9)，令第i對零極點頻率指數為第i個一次子系統Ei(w)，那么一次子系統Ei(w)的頻域特征函數——相頻特征.

(47)

階頻特征

(48)

具有偶對稱性和局域化特性(圖8(a))，正是這種每個一次子系統都會產生波峰的局域化特性，使得有理函數序列yk(w)在頻域產生了準周期性的運算振蕩現象，運算振蕩現象是所有一次子系統的集體行為，如圖8(b)所示.

圖8 頻域特征與零極點頻率指數的關系

(a) 一次子系統Ei(w)的局域化特性；(b) 階頻特征的運算振蕩現象

Fig.8 The relationship between frequency performance and Zero-pole frequency index

(a) localization performance of the primary subsystem Ei(w); (b)operational oscillation of the order-frequency characteristics

奇異標度方程，Oldham分形鏈，Carlson分形格等經典的逼近過程均有準周期性的運算振蕩現象. 拓展來說，任何一個具有物理意義或源自于物理可實現系統的非正則標度方程，必定存在具有準周期性運算振蕩現象的真實解．

下一節將介紹奇異標度方程迭代生成的有理函數序列yk(w)的每個一次子系統之間的距離，也就是運算振蕩周期W是多少.

5.3 運算振蕩周期

同理可得，兩類奇異標度方程的有理函數序列的運算振蕩周期都為W=2|lgσ|.這與大多數描述標度化電路的非正則標度方程(格形標度方程等[19]、Hill標度方程[20]、Liu-Kaplan標度方程[21])真實解的運算振蕩周期W=|lgσ|不同，這是奇異標度方程的有理函數序列的另一奇特性質.

表2 I型奇異標度方程迭代生成的有理函數序列的零極點頻率擬合方程

Tab.2 Zero-pole frequency fitting equations of the iterative generation’s rational function sequences of the type I strange scaling equations

標度因子運算振蕩周期(2lgσ)零點頻率指數擬合方程極點頻率指數擬合方程y+Ik(w)σ=0.52lg0.5≈0.602 1oi=-0.64i+6.8χi=-0.64i+7.1y-Ik(w)σ=52lg5=1.397 9oi=-1.4i+0.95χi=-1.4i+0.16

6 結 論

通過方根連分式法和標度拓展理論得到的奇異標度方程的運算性能，呈現與以往所了解的方程不同的運算有效性：奇異標度方程能夠等程度地、均勻地、平穩地向高頻段或低頻段逼近算子wμ.I型奇異標度方程的運算階與標度因子無關，是半階算子的非理想逼近過程.II型奇異標度方程是理想逼近過程，受標度因子的影響，在高頻或低頻域內，運算階可以是半階算子，也可以在一定條件下嚴格限定逼近任意階算子.

根據兩類奇異標度方程迭代生成的有理函數序列{yk(w)}，探究運算性能、逼近性能、物理可實現性與運算振蕩周期方面的特別之處.并解釋了物理可實現系統的非正則標度方程的運算振蕩現象.由奇異標度方程迭代生成的有理函數序列，用系數矢量序列迭代算法得到的頻域特征圖，驗證了近似求解的運算階的正確性且歸納了逼近帶寬指數、逼近效益和拓展增益，I型與II型奇異標度方程迭代生成的有理函數序列標度前后的逼近效益都因標度拓展有了極大地提高.由零極點分布，得到兩類奇異標度方程迭代生成的有理函數序列是強逼近且物理可實現的.運算振蕩周期和標度因子有關：W=2|lgσ|.

奇異標度方程包含了十分豐富的內容，關于奇異標度方程還有許多問題值得深入研究.用K線圖、O、P指標與逼近帶寬量化挖掘奇異標度方程的其他奇特性質，搭建該方程的對應電路.找尋奇異標度方程在流體力學、黏彈力學、圖像處理、聲音處理、憶阻等方面的應用.