優越擴張下的投射性

汪 杰，周 珺，趙志兵

安徽大學 數學科學學院,合肥 230601

0 引言

廣義傾斜模(也稱Wakamastu傾斜模)首先由Wakamastu[1]提出并研究的,后成為傾斜理論和同調代數理論的重要研究對象.一方面,廣義傾斜模本身具有很好的性質,更重要的是廣義傾斜猜想,即具有有限內射維數的廣義傾斜模是余傾斜?；虻葍r的,一個具有有限投射維數的廣義傾斜模是傾斜模,這一猜想與很多重要的同調猜想聯系在一起.例如可利用著名的有限維猜想,推出廣義傾斜猜想,進而可利用廣義傾斜猜想,推出對稱猜想和廣義猜想[2-4].本文中的R,S均指帶有單位元的交換環,R-模均指酉模.

定義1.1 設RW是一個有限生成的左R-模,若稱RW為一個廣義傾斜模(或稱為Wakamastu傾斜模)[2],如果滿足下列條件:

(1)對于每個i≥1，ExtRi(RW,RW)=0;

(2)存在正合列

使得每個Ti∈addRW(i≥0),這里的addRW指的是由所有的同構于RW的有限直和的直和項構成的左R-模的全子模范疇,且用HomR(-，RW)作用后上述正合列仍是正合的.

作為Gorenstein投射模[11]的推廣的形式,Bennis和Quaighi[5]定義了X-Gorenstein投射模類,這里的X指的是包含投射模類的一個模類并統一了一些重要的模類.事實上,若令X為所有的模類,則X-Gorenstein投射模即為經典的投射模,若令X為投射模類,則X-Gorenstein投射模即為經典的Gorenstein投射模.

P:…→P1→P0→P0→P1→…

注2:根據文獻[6]中的結果,本文有:

優越擴張是一類重要而有意義的環擴張,經典的例子包括域上的群代數是這個群的具有有限指數的正規子群代數上的一個優越擴張,一個環上的矩陣是這個環的一個優越擴張等等,見文獻[7].在優越擴張下,許多的同調性質和表示性質均是保持的[8].

定義1.3 設R是S的子環且R與S具有相同的單位元,則稱S是R的一個環擴張,記為RS.一個環擴張RS稱為優越擴張,若滿足:

(1)S是R的有限正規擴張,即存在a1,a2…an∈S,使得S=Ra1+Ra2+…+Ran.

(2)S作為R-模是自由的,即有RS?RR(n).

(3)S是R-投射的,即若SM是SN的子模,當RM|RN時必有SM|SN,這里M|N是指M是N的直和項.

1 主要結果

命題2.1 如果RW是一個廣義傾斜R-模,RS是一個優越擴張,則SS?RW是一個廣義傾斜模.

證明:顯然有SS?RW是有限生成的,這是因為SR是一個有限生成的自由模.對任意的i≥1,有:

ExtSi(SS?RW,SS?RW)?ExtRi(RW,HomS(SR,S?RW))

?ExtRi(RW,RS?RW)?ExtRi(RW,RW(n))由于對任意的i≥1,ExtRi(RW,RW)=0,從而ExtRi(RW,RW(n))=0;于是對任意的i≥1,有:ExtSi(SS?RW,SS?RW)=0.

另一方面,因為RW是一個廣義傾斜R-模,于是存在正合列:

T:0→RR→T0→T1→…→Ti→…

其中Ti∈addRW(i≥),且用HomR(-,RW)作用上述正合列仍正合.現用張量積SS?R-作用得到:

SS?RT:0→SS?RR?S→SS?RT1→SS?RT2→…→SS?RTi→…

其中,SS?RTi∈addSS?RW(i≥1),從而有:

HomS(SS?RT,SS?RW)?HomR(T,HomS(SSMSS?RW))?HomR(T,RS?RW)?HomR(T,RW)?RS

第一個同構是由連接同構得到,第二個同構是由張量賦值同構得到.由于HomR(T,RW)是正合的,且RS是自由的,所以HomS(SS?RT,SS?RW)是正合的.

綜上所述,SS?RW是一個廣義傾斜模.

命題2.2 設RS是一個環的優越擴張,RW是一個廣義傾斜R-模且模X是一S-模,當且僅

ExtSi(SS?RX,SS?RW)?ExtRi(RX,HomS(SR,SS?RW))?ExtRi(RX,RS?RW)?ExtRi(RX,RW(0))

0=ExtSi(SS?RX,SS?RW)?ExtRi(RX,HomS(SR,SS?RW))?ExtRi(RX,RS?RW)

命題2.4 設RS是一個的優越擴張,RW是一個廣義傾斜R-模.若RM是一個投射模[11],則SS?RM是一個投射模.

ExtSi(SS?RM,SS?RY)?ExtRi(RM,HomS(SS,SS?RY))?ExtRi(RM,RS?RY)?ExtRi(RM,RY(n))=0

這是因為對于任意的i≥1,有ExtRi(RM,RY)=0,又因為有RS?RR(n),所以可得到式:ExtSi(SS?RM,SY(n))=0.于是對任意的i≥1,有ExtSi(SS?RM,SY)=0;

HomS(SS?RP,SY)?HomR(P,HomS(SS,SY))?HomR(P,RY)

所以HomS(SS?RP,SY)是正合的.

命題2.5 設RS是一個環的優越擴張[12],RW是一個廣義傾斜R-模.M是一個S-模，則有RM是一個投射模當且僅當SM是一個投射模.

證明：“?”:根據命題2.4,以及X-Gorenstein投射模類保直和項的性質易知顯然成立.

ExtRi(RS?SM,RS?RX)?ExtSi(SM,HomR(RS,RS?RX))?ExtSi(SM,SS?RX)

ExtSi(SS?RX,SS?RW)?ExtRi(RX,HomS(SS,SS?RW))?ExtRi(RX,RS?RW)?ExtRi(RX,RW(0))=0

HomR(RS?SP,RX)?HomS(P,HomR(RS,RX))?HomS(P,SS?RX)