Heisenberg群上內插的L∞范數估計

陳 平

(江蘇第二師范學院數學與信息技術學院,江蘇 南京 210013)

1 預備知識

設(X,d)為完備的可分的度量空間.μ,ν為X上的概率測度,記為μ,ν∈P(X).X上的最優運輸問題是指以下變分問題:

(1)

式中,c(x,y):X×X→(0,+∞]稱為費用函數,μ,ν稱為第一和第二邊際測度,集合π(μ,ν)中的元素γ稱為運輸計劃,其定義為π(μ,ν)={γ∈P(X×X):(π1)#γ=μ,(π2)#γ=ν},這里π1(x,y)=x,π2(x,y)=y分別為對第一和第二變量的典范投影. 稱問題(1)的解為最優計劃,而(1)的值被稱為最優費用.

定義1[4-5]對于給定的映射T:X→X以及μ∈P(X),T#μ給出了X上的一個概率測度,其定義如下(T#μ)(A)=μ(T-1(A)),其中A?X為任意Borel集合.

引理1[4-5]如果費用函數c(x,y)是下半連續的,且最優費用(1)是有限的,則γ是最優運輸問題(1)的解當且僅當γ集中在c-循環單調集合Γ上,即γ(XΓ)=0.

定義3[7]設μ,ν∈P(X),如果對任意集合A?X,由ν(A)=0可得μ(A)=0,則稱測度μ關于測度ν絕對連續,并記為μ?ν. 特別的,當測度μ關于n維(n≥1為整數)Lebesgue測度Ln絕對連續時,可以定義測度μ的密度f:X→[0,+∞),即μ=f·Ln,如果||f||Lp存在,則稱||f||Lp為測度μ的Lp范數,記為||μ||Lp,這里p∈[1,+∞).

2 Heisenberg群上的內插

Heisenberg群(Hn,d,L2n+1)是具有分層Lie代數單連通的Lie群,是次黎曼流形的一種,這里d指測地距離.本文主要考慮Heisenberg群上的如下最優運輸問題:

(2)

這里φ:[0,+∞)→R為下半連續的、具有嚴格凸性的函數;第一邊際測度μ關于Lebesgue測度L2n+1絕對連續,即μ?L2n+1;第二邊際測度ν為有限原子,即ν的支撐集合sptν為有限個點組成的集合. 由最優運輸理論[4,5]可知,由于費用函數φ(d(x,y))是下半連續的,因此問題(2)存在解. 這里我們主要關心與變分問題(2)涉及到的內插μt的范數估計. 內插μt的本質是Hn上的概率測度. 首先,我們給出有關定義.

定義5[4-5,7]對于上述最優運輸問題(2),設γ是該問題的解,則對任意t∈[0,1],Heisenberg群上內插是指如下測度:μt=(et°S)#γ.

引理2[7-8]Heisenberg群(Hn,d,L2n+1)具有測度收縮性質,即對任意一點y∈Hn和任意子集A?Hn以及任意t∈[0,1],有下式成立L2n+1(A)≤(1-t)-2n-3L2n+1((et°S)(A,y)).

定理1設γ是最優運輸問題(2)的解,則對于任意t∈[0,1),內插μt具有絕對連續性質和如下L∞范數估計:

(1)μt?L2n+1,

(2)||μt||L∞(Hn)≤(1-t)-2n-3||μ||L∞(Hn).

(3)

注意到利用反證法可以證明Ωi(t)∩Ωj(t)=?,?i≠j.事實上,假設該結論不成立,即存在x∈Ωi(t)∩Ωj(t),由φ的嚴格凸性可得:

φ(d(xi,yj))+φ(d(xj,yi))=φ(d(xi,x)+d(x,yj))+φ(d(xj,x)+d(x,yi))=φ(td(xi,yi)+

(1-t)d(xj,yj))+φ(td(xj,yj)+(1-t)d(xi,yi))

tφ(d(xj,yj))+(1-t)φ(d(xi,yi))=φ(d(xi,yi))+φ(d(xj,yj)).

該式與φ(d(x,y))-循環單調性(見定義2)矛盾,從而結論得證.

其次我們進行范數估計. 因為μ?L2n+1,記f為μ的密度,由定義3可知μ=f·Ln+1,此外對任意Borel集合A?Hn,有

μ(A)≤||f||L∞(Hn)L2n+1(A).

(4)

再由定義1可得

式中,?i=π1((et°S)-1(A)∩Ωi×yi).由(3)式和(4)式可得

進一步的,由引理2可得

又因為對任意i≠j,有Ωi(t)∩Ωj(t)=?,所以

作為該定理的一個重要推論,我們可以考慮Hn上的如下變分逼近問題

min{Cε(γ,ν);γ∈Π}.

(5)

解γε的內插(et°S)#γε的正則性估計結論. 以下對式(5)中的符號做出說明:ε>0為任意常數,μ,ν∈P(Hn),Π:={γ∈P(Hn×Hn):(π1)#γ=μ,spt((π2)#γ)?K},其中K?Hn為緊集,且滿足spt(μ)∪spt(ν)?K. 此外

ε3n+2Card(spt((π2)#γ)),

式中,W1(μ,ν)是測度μ,ν的1-Wasserstein距離,即

(6)

該定義可見[5],φ:[0,+∞)→R是任意嚴格凸函數,Card(A)表示集合A的基數.此外,1-Wasserstein距離即為問題(1)中X取為Hn,c(x,y)取為測地距離d(x,y)時的特殊情形.

式(5)稱為變分逼近問題的原因在于,對任意ε>0,由變分法的直接方法可得(5)存在解,記為γε,文獻[7]證明了當φ(d(x,y))=d2(x,y)時,γε的弱收斂極限即為問題(6)的解.

證明設νε,B:=(π2)#(γε|B).因為γε是問題(5)的解,因此γε也是如下變分問題的解:

更進一步的,γε|B是如下問題的解:

令φ*(x)=x+εφ(x):[0,+∞)→R,因為φ是嚴格凸函數,所以φ*也是嚴格凸函數. 更進一步,γε|B是最優運輸問題(2)的解,其中μ取為με,B?L2n+1,ν取為νε,B,而費用函數為嚴格凸函數φ*,因此由定理1可知結論成立.