關于設點法解一類圓錐曲線問題的思考

李暉

（泉州第五中學，福建 泉州 362000）

解析幾何的本質，就是用代數方法解決平面幾何問題。高中數學中，解析幾何模塊對學生提出了比較綜合的要求，也是高考對學生數學核心素養考查的重點和難點。在解決直線與圓錐曲線位置關系的問題中，通常有兩種方法：設線法與設點法。教師在解幾教學中，應注意解題方法的多中取精，著力培養學生總結優化方法和運算技巧的能力。

一、設線法與設點法的定義與適用場景介紹

所謂“設線法”，即以“線”為源頭，設出直線方程，通過聯立直線和圓錐曲線方程，利用方程思想，結合韋達定理解決問題［1］。利用這種方法可解決直線與圓錐曲線位置關系的許多問題：比如常見的求幾何量的范圍最值問題，定點定值問題等，是解析幾何問題的常規解法?！霸O點法”，即以“點為源頭”，設出曲線上點的坐標，利用點的坐標作為參數來解決問題，這種方法通常不需要聯立直線與圓錐曲線的方程。比如涉及到弦的中點問題中常見的“點差法”就是“設點法”的典型。在近幾年的高考中，大部分的圓錐曲線解答題都可以用設線法解決，但是也有一部分題目，用“設線法”計算量過大或者無法解決，設點法才是最優的解法。對“設線法”，學生經過長期的練習，都比較熟悉，難點主要在于應用數形結合對題目幾何條件的代數轉化，文章不再詳述。

二、例舉設點法在圓錐曲線教學的應用

對于設點法，學生通常比較陌生，什么情況下采用設點法，設點后又如何推進解題過程，筆者通過下面的例題進行分析。

例.已知拋物線Γ:y2=4x，經過點A(3,-2)的直線交拋物線Γ 于M,N兩點，經過定點b(3,-6)和M的直線與拋物線Γ 交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由。

解法一：設M(x0,y0)，N(x1,y1)，L(x2,y2)，則，直線MN的斜率為，則直線MN:

（注意：在計算過程中，我們還應敏銳地觀察到如果通過兩點坐標來表示直線方程的話，兩直線MN和將A(3,-2)，B(3,-6) 分別代入①②兩式得消去y0得y1y2=12，又則直線NL為。

解法二：①直線MN的斜率不存在時，A,B的橫坐標相同，此時N,L重合，不符合題意，

②設M(x1,y1)，N(x2,y2)，L(x3,y3)，

直線MN:y+2=k(x-3)與y2=4x聯立得k2-x2-(2k2+4k+4)x+(3k+2)2=0， ∴x1x2=

將代入上式消參得x=-3，因此直線NL恒過定點(-3,0)。

（一）分析例題脈絡，歸納“設點法”適用題型特征

此題題設條件多，關系錯綜復雜，但是仔細分析可以發現，直線MN過A(3,-2)，ML過B(3,-6)，所以N,L兩動點歸根結底是隨著動點M的變化而變化的，從而動直線NL其實跟動點M密切相關，所以此題可以采用“設點法”，將動點M的坐標設出，找出點N,L的坐標與M的坐標的關系，進一步表示動直線NL的方程，最后利用方程來分析定點問題。

實際上，通過總結近年來的一些高考試題及各地?？碱}，可以發現這樣的規律：一般地，如果我們把一道解析幾何解答題看成一個情節跌宕起伏的故事［2］，故事的起因是“曲線上的某個動點”，故事的發展經過是“該動點的運動引發了其他點、線、或者幾何量的變化”，故事的結局就是題目的結論。如果題目符合這種“動點起因”的特征，另外，在經過和結局中較少涉及如弦長這類與韋達定理關系密切的幾何量的計算時，通?？梢圆捎谩霸O點法”。

（二）比較兩種解法，體會“設點法”的計算優勢

解法一“設點法”解題過程中，用兩點M,N坐標表示出直線MN方程，再利用點的坐標滿足拋物線方程來化簡直線方程。并且，解題中敏銳地觀察到如果通過兩個點的坐標來表示直線方程的話，兩直線MN和ML方程的表示過程完全一樣，直線方程的結構形式也一樣?？芍苯油淼玫?，不必計算兩次，這將大大減小計算量。

解法二“設線法”解題過程中，需要直接用到N,L兩個點的坐標，與兩個一元二次方程根與系數的關系沒有明顯的直接聯系，若用求根公式將N,L兩個點的坐標分別用兩直線斜率k1,k2表示出來，再進一步表示直線NL方程，則計算量太大，不易進行實際操作。故在設MB方程時，將斜率用點M坐標表示，進而表示出直線MB方程，用設而不解的方法，結合韋達定理研究M,N,L三個動點坐標的關系從而研究動直線NL的方程，這樣處理雖然可以進行操作，但是，計算量仍然太大，尤其在最后一步消參的過程中，對學生運算能力和運算技巧的要求太高，所以對此題而言“設線法”不是好的方法。

（三）思考解題過程，總結“設點法”解題模式

可以看到，在整個解題過程中，動點的坐標貫穿始終。題目幾何條件的代數轉化，結論的直線方程的表示，都依賴動點坐標。在用“設點法”解題的過程中，要始終具有目標意識，用敏銳的觀察力，分析條件和目標的差異，用動點坐標作為參數去表示其他的點、線或幾何量，并要充分利用動點坐標滿足曲線方程的條件，及時進行有效地化簡調整（常用平方及xi,yi的切換），將條件不斷向目標轉化，推進解題過程，這是“設點法”的大致解題模式?？梢詫⑦@個模式總結為：設點——表示——化簡轉化——結論。

解析幾何最大的難點在于：①不知從何做起（即設點與設線的選擇；②計算繁瑣“永無止盡”。要突破這兩點就要膽大心細腳踏實地去細細品味例題，總結出自己的思路與思想［3］。下面表格對這兩種方法進行了總結［3］：

綜上所述，高三解析幾何的復習不僅需要培養學生知難而進的意志品質，更需要總結出一套行之有效的解題思路。在解題過程中要有目標意識，在用設點法或設線法求解時，要注意“主”與“輔”的關系［4］，要始終圍繞目標和解題計劃展開求解，抓住問題的主要矛盾，抓住矛盾的主要方面。在設點或設線法中，若能用某個點的坐標或某直線方程中的某一個或幾個變量去表示其余的點的坐標或直線的方程，這樣抓住“牛鼻子”就使得定值證明、最值求解和取值范圍問題迎刃而解了。