高中數學微專題教學的探索與實踐
——以一道定邊定角的三角形的最值問題為例

蔡娜

（福州第二中學，福建 福州 350001）

何謂“微專題”，它是圍繞一兩個緊密相關的知識或思想方法形成的一項專題復習。［1］它的典型特征是：小切口、深層次。以主干知識的一個關鍵詞為切口，對相關內容進行拓展。同時，它可以與特定目標解決的問題相結合。例如“最值”問題，它貫穿了高中階段數學的學習。必修一學習的函數，其性質核心之一就有求最值；必修五學習的基本不等式，也可以用來解決代數和式或者積式的最值；學習了幾何知識后，最值問題有了以形入手的解決手段。因此，“最值”這么一個小小的關鍵詞，大有文章可作，可以從數與形兩個角度切入，引出一系列問題，可見微專題以微見著的強大功能。

例.在三角形ABC 中，已知B=60°，AC=4，D 是AC 邊上的中點，求中線BD 的最大值。

一、明確問題是實施微專題的首要環節

在教學初期，我們已經解決了三角形六個元素知三求三的常規題型訓練，對于學生而言，這道例題的難點一開始是落在審題上，他們可能產生的困惑是：為什么求的是中線BD 的最值而不是定值。也就是，難點在于當已知量由三個降為兩個時，誰是定量，誰是變量，該如何分析。因此，筆者認為應從審題入手，分析定動，明確問題，初步解決學生的困惑。

二、挖掘本質是實施微專題的重要思路

當學生明確中線BD 是變化的之后，接下來該從哪里切入進行最值的處理呢？可以讓他們自行思考或者小組討論后匯報分析。筆者認為，可以引導學生從數的角度找到切入口。從數的角度，通過建立中線BD 的表達式，再求出BD 表達式的最值。這里，有兩個步驟的難點。

第一，在建立中線BD 的表達式時，可以從解三角形角度，挖掘一邊一對角三角形模型的邊角關系，把BD 放在三角形ABD 和三角形BCD 中，∠ABD利用∠BDC互補余弦值互為相反數，求出BD 的表達式；還有學生提出，把BD 放在三角形ABD 和三角形ABC中，利用公共角A 的余弦值，讀取兩次，也可以建立BD 的表達式。上述問題，其實還可以從向量入手，利用為基底，表示出及其模長，即：因 此，教學過程中，發現學生在模長的表示上比較吃力，主要原因是模長的幾何公式遺忘率比較高。這三種角度，既有解三角形的方法，又有向量的介入。一道題中融合滲透了這么多方法，對學生而言確實是思維和方法的多重考驗。因此“微專題”的深層次，往往還體現在每一個步驟，常常不只一種解決方法。

第二，一旦BD 的表達式有了，學生很快便從式子的結構特征中觀察發現，只要能找到和式與積式的等量關系，便可以利用重要不等式來解決和式或積式的最值，問題就水到渠成地被解決了。當然，教學過程中，在求最大值時，大部分學生都是從式子的結構特征想到走不等式，那難點是和式與積式的消元及范圍的求解。筆者還引導學生，利用正弦定理，把邊化成角，轉成三角函數來求最值，從課堂反應來看，這種方法學生基本都沒有想到。教師教學和引導中，一定要抓住問題的本質，啟發學生思考，打開智慧的大門。

三、技術介入是實施微專題的協助手段

“微專題”的深層次，除了涉及到多種重要方法的綜合使用，往往還有一些隱藏的捷徑。以這道題為例，靈敏的學生從形的角度，很快便發現了定邊定角的三角形，其外接圓是確定的，因此，當點B 和D 的連線過圓心時，BD 的長度最大。然后教師可以使用幾何繪圖板動態展示學生的觀察結果并嚴格證明。幾何畫板這一技術的介入，讓學生有了一定的猜想，并能夠用技術加以驗證，這樣，容易給學生直觀的感受，提高認識問題的深度和廣度。

四、合理變式是編制微專題的有效手段

“微專題”往往題量不多，題目簡短，但是，小身材，大容量?？赡芤砸活}為母題，產生相關變式。有效變式是一種重要的方法，對典型問題進行一題多變，有利于學生從不同的背景中掌握通性通法，透過問題的表面看本質。比如，筆者利用幾何畫板把這道題中點D 的位置到四等分點，如：在三角形ABC 中，已知B=60°，則BD 的最大值是______.

教師給出變式題，并提出問題，引導學生從形的角度找到最大值的位置特征。然后學生操作，給出結論，教師用幾何畫板驗證。這樣的設計意圖是通過位置的改變，來引發學生的思考。進而，當點D 移到線段AC 上的任一位置時，學生很快悟出，BD 的最大值與點D 的位置無關，那么這么一個定邊定角的三角形模型便提煉出一個結論，就是：在三角形ABC中，當已知一條邊AC 及其定角B 時，若則當B、O、D 三點共線時，BD 最大。

教師在微專題的授課采用了啟發式和探究式相結合的教學方法，主導性和學生的主體性有機結合，使學生能夠愉快地自覺學習，通過學生自己觀察、分析、探索等步驟，自己發現解決問題的方法［2］。整堂課，方法較多，難度較高，對學生綜合能力考察要求比較高。

五、提煉方法、形成策略是實施微專題的主要目的

通過這樣的微專題，充分挖掘出了“最值”這個關鍵問題的背后深層次的思想與多種解題方向，學生可以在原有函數和解三角形知識的基礎上鞏固自身的認知，提煉出解決問題的方法，從而形成一定的解題策略和數學模型。所以，微專題對于滲透數學建模、數學抽象等核心素養非常重要。在這樣循序漸進的引導分析中，每個學生如果能長此以往，跟隨著教師的課堂節奏，多思多悟，那么他們解決數學問題的能力必定與日俱增。

筆者認為，“微專題”就是以微見著，小專題，大效果，目標明確，建構模型，提升思維。既然微專題是針對真問題、小問題、實問題提出的，那么首先必須挖掘出學生中存在的問題，尤其是有價值的問題，串聯成合適的知識鏈，形成微專題。［3］教學時，教師應當結合教學對象及學生已有的知識架構來選取配置題目，以專題為背景，結合具體實例，教學講解，以多種方法促進學生思考與理解，從而讓學生對學過的知識融會貫通、印象深刻。