一道課本習題的變式研究

周軍高

數學學習的目的不僅僅是解決問題，同樣重要的是解題之后的歸納、總結和思考，這包括對問題的題設和結論進行適當的變化，開展深層次、多方位的探索和研究.如此既能使數學學習有趣，又能促進數學思維的發展和創新能力的提升.本文以一道課本習題為切人點，進行變式研究，希望對同學們有所啟發.

例 （人教版《數學》八年級下冊習題17.1第14題）如圖1.△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上.求證：AE²+AD²=2AC².

證明：連接BD，如圖2.

由“邊角邊”易知△ACE≌△BCD.

首先，注意到要證明的結論只與AE，AD，AC有關，而這三條線段都是在△CDE中的，于是可以將原來的問題簡化為下面的命題：2AC².

于是，變式1中的命題正確.

再觀察圖2，不難發現∠ADC=∠BDC=45°，即DC平分∠ADB.于是我們思考：

變式2 對于四邊形ACBD， 若滿足AC =BC.∠ACB= ∠ADB=90°，如圖4，那么DC平分∠ADB嗎？

分析：過C作CE上直線BD，作CF⊥AD，垂足分別是E，F，則∠CED=∠CFD=90°.由四邊形內角和性質得∠ECF=90°.易證△BCE≌△ACF（角角邊）.

∴CE=CF，DC平分∠ADB.

再觀察圖4，進一步思考：

變式3 CD，AD，BD之間有怎樣的數量關系？

分析：由上面的結論△BCE≌△ACF，得BE=AF由DC平分∠ADB，得到∠BDC=∠ADC=45°，所以△CED和△CFD都是以CD為斜邊的等腰直角三角形，故DE=DF.于是AD +BD =（DF+AF） +（DE-BE） =DF+A F+DF-A F=2DF在等腰Rt△CFD中，CD=√2-DF，故CD=√2/2（AD+BD）.

綜合上面分析，可以得到下面很有意思的結論，

變式4如圖4，四邊形A CBD中，如果A C=BC，∠ACB= ∠ADB=90°，那么DC平分∠ADB，并且CD=√2/2（AD+BD）.

再看變式4，將圖4中的△ABD沿直線AB翻轉180°，其他條件不變，如圖5.想一想，此時射線DC具有什么特征呢？CD，AD，BD之間又有怎樣的數量關系？

分析：如圖6.過C作CE上直線肋，作CF⊥AD，垂足分別是E，F，則∠CED=∠CFD=90°.

因∠ADB=90°，由四邊形內角和性質得∠ECF =90°.又∠ACB =90°.故∠BCE=∠ACF，可得△BCE≌△ACF（角角邊）.

∴CE=CF，DC平分∠ADE.于是得到此時射線DC平分△ABD的外角.

由△BCE≌△ACF得BE=AF.△CED和△CFD都是以CD為斜邊的等腰直角三角形，故CF=DF=DE=CE.于是AD-BD=（AF+ DF） -（BE-DE）=A F+DF-A F+DF=2DF.在等腰Rt△CFD中，CD：√2DF，則CD=√2/2.

（AD-BD）.

于是，我們得到一個類似的結論：

變式5如圖5，四邊形A CDB中，如果AC=BC，∠ACB= ∠A DB=90°，那么DC平分△ABD的外角，并且CD=√2/2（AD一BD）.

綜合變式4、變式5.可以得到下面更一般的結論：

變式6 已知Rt△ABC與Rt△ABD有公共的斜邊AB，且AC=BC，∠A CB= ∠A DB=90°.則C，D兩點的距離為CD=√2/2（AD+BD）或CD=√2/2|AD-BD|.