“算兩次”思想的妙用

葛岫紅

在數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數、三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立起等量關系.我們把這種思想稱為“算兩次”.“算兩次”也稱為富比尼原理，是一種重要的數學思想，下面以“算兩次”面積為例，說明這種數學思想的妙用.

一、求線段的長度

例1（2019年·天津）如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為12.E是邊CD上的一點，連接AE.折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經過點B，得到折痕BF點F在AD上.若DE=5.則GE的長為____.

解：由折疊及軸對稱的性質可知△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG.故BF⊥AE.所以∠AFH= ∠A ED（均與∠DAE互余），則△ABF≌△DAE（角角邊），AF=DE=5.

∴AG：2AH=120/13

∵ AE=BF=13.

∴ GE=AE-AG=49/13.

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二、推導乘法公式

例2 圖2是由邊長為a和6的兩個正方形組成的.通過用不同的方法計算圖中陰影部分的面積，可以驗證的一個公式是_____

點評：這里，通過“算兩次”陰影部分的面積得到了等量關系.

三、求線段的和差

例3 如圖4，在長方形ABCD中，AB=3，AD=4.P是AD上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F則PE+PF的值是（?）.

A. 12/5

B.25

C.5/2

D. 13/5

練習

1.如圖6，在◇ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD 于點F.若AE=4，AF=6，◇A BCD的周長為40.求oABCD的面積.

2.如圖7，在△ABC中，AB=AC.點D是BC上的任一點.DE⊥AB，DF ⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為E，F，G.

求證：DE+DF=BG.

（答案在本期找）