判定平行四邊形的思路

王保全

如何根據平行四邊形的判定條件判定一個四邊形是平行四邊形，是“平行四邊形”一章的重點.判定一個四邊形是平行四邊形大致上有五種方法，這五種判定方法可以劃分為三類.

1.與四邊形的對邊有關

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形：

（3） -組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.與四邊形的對角有關

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

3.與四邊形的對角線有關

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

不難看出，要判定一個四邊形是平行四邊形，可以依據不同的題設條件，選擇不同的判定方法.通常，我們都從以下三個方面人手.

—、從對邊上

如果在對邊上有已知條件，或者已知條件和對邊有密切聯系，?？紤]使用（1）或（2）或（3）.

例1 如圖1所示，在oABCD中，E，F分別是AB，CD上的點.BF平分∠ABC交CD于F，DE平分∠CDA交AB干E.M，N分別是DE，BF的中點.求證：四邊形ENFM是平行四邊形，

解析：由已知條件知△ADE和△CBF都是等腰三角形，從而DF=BE.又因為四邊形ABCD是平行四邊形，則有DF//BE，因此可知四邊形DEBF是平行四邊形.根據平行四邊形的性質可知DE=BF，DE //BF.又因為M，N分趴是DE，BF的中點，則有ME=NF.于是根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可知四邊形ENFM是平行四邊形.

點評：上面用的是“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理.也可用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”去證.此時要在證明四邊形DEBF是平行四邊形的基礎上，繼續證明△DMF≌△BNE.

二 從對角上

如果在對角上有已知條件，或者已知條件和對角有密切聯系，?？紤]使用（4）.

例2如圖2所示，在◇ABCD中，若AE.CF分別是∠BAD和∠DCB的平分線，四邊形AFCE是平行四邊形嗎？如果是，請說明理由.

解析：解題的關鍵，是設法根據已知條件和三角形外角定理證明該四邊形的兩組對角分別相等.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ ∠B=∠D， ∠BAD= ∠DCB.

又AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，

∴ ∠4=∠3=∠2=∠1.

又∠AEC=∠B+ ∠3，∠A FC=∠D+∠1，

∴ ∠AEC=∠AFC.

∴ 四邊形AFCE是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）.

點評：如果題目中的已知條件與角有關，那么我們要充分利用這些條件，盡量考慮用“對角相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理，

三、 從對角線上

如果在對角線上有已知條件，或者已知條件和對角線有密切聯系，應優先考慮使用（5）.

例3 如圖3所示，在oABCD中，對角線AC與BD交于點O.點E.F分別是AO.CO的中點，求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

解析：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AO=CO.BO=DO.

又∵E，F分別是AO，CO的中點，

∴ EO=FO.

∴ 四邊形BEDF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

點評：此題中的已知條件與對角線有關，故可從平行四邊形的對角線的性質入手，聯系對角線的特點判定平行四邊形.

練習 1.在四邊形ABCD中，對角線AC.肋相交于點O.現給出下列四組條件：

①AB//CD，AD//BC;

②AB=CD，AD=BC;

③AO=CO，BO=DO;

④AB//CD，AD=BC.

其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有（?）.

A.4組 B.3組 C.2組 D.1組

2.如圖4，在下列條件中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（?）.

A.A B=DC，BC//AD

B.∠BAD= ∠BCD.∠1=∠2

C.AB=DC.AO=CO

D.BC=AD，BC∥AD

（答案在本期找）