張義
一次函數刻畫現實世界數量之間的變化關系,不等式則刻畫現實世界數量之間的大小關系,它們聯袂可以解決現實生活中的方案優化設計、投資費用評估、生產獲利計算等問題,有關的試題也備受命題專家青睞,成為中考中一道亮麗的風景線.本文選取數例加以剖析,供大家參考.
例1 某廠現有A種金屬70 t.B種金屬52 t,計劃用這兩種金屬生產M,N兩種型號的合金產品共80 000套,已知生產一套M型號的合金產品需要A種金屬0.6 kg,B種金屬0.9 kg,可獲利潤45元;生產一套Ⅳ型號的合金產品需要A種金屬1.1 kg,B種金屬0.4 kg,可獲利潤50元,設生產N型號的合金產品x套,用這批金屬生產這兩種型號的合金產品所獲的總利潤為y元.
(1)求y與x的函數關系式,并求自變量x的取值范圍.
(2)在生產這批合金產品時,Ⅳ型號的合金產品生產多少套時該廠所獲利潤最大?最大利潤是多少?
不等式組的解集是40 000 ≤x≤44 000.
∴ y與x的函數關系式是
y=5x+3 600 000(40 000≤x≤44 000).
(2)因k=5>0,故y隨x的增大而增大.
∴當x=44 000時,有y最大=3 820 000.
即生產N型號的合金產品44000套時,該廠所獲利潤最大,最大利潤是3 820 000元.
評注:利用一次函數解決最大利潤問題,一般是根據題目中提供的條件選取一個與利潤有關的變量,先列出關于這個變量的一次函數關系式.然后求出這個變量的取值范圍(可以結合已知條件列出關于這個變量的不等式組進行確定).雖然一次函數的圖象是一條直線,但當自變量限定在某一范圍內時,兩個端點處的函數值就是其最值.根據一次函數的增減性便可確定最大值或最小值.
例 2康樂公司在A.B兩地分別有同型號的機器17臺和15臺,現要把這些機器運往甲地18臺,運往乙地14臺.從A,B兩地運往甲、乙兩地的費用如下:
(1)如果從A地運往甲地x臺,求完成以上調運所需總費用y(元)與x(臺)的函數關系式.
(2)請你為康樂公司設計一個最佳調運方案,使總的費用最少.最少的費用是多少?
解析:本題所提供的信息縱橫交錯.我們可以通過繪制圖1來理清調運機器臺數的情況.
(1) y=600x+500(17 -x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13 300.
(2)由(1)知,總運費y是關于x的一次函數,且k=500>0,故y隨x的增大而增大.
∴該公司完成以上調運至少需要14 800元的運費,最佳的方案是:由A地調3臺至甲地,14臺至乙地:由B地調15臺至甲地.
例3 某西瓜產地組織40輛汽車,裝運A,B,C三種西瓜共200 t到外地銷售,按計劃,40輛汽車都要裝運,每輛汽車只能裝運同一種西瓜,且必須裝滿.根據下表提供的信息,解答后面的問題.
(1)設裝運A種西瓜的車輛數為戈,裝運B種西瓜的車輛數為y,求y與x的函數關系式.
(2)如果裝運每種西瓜的車輛數都不少于10輛,那么車輛的安排方案有幾種?請寫出各種安排方案.
(3)若要使此次銷售獲利達到25萬元,應采取哪個車輛安排方案?
解析:(1)由題意,裝運A種西瓜的車輛數為x,裝運B種西瓜的車輛數為y.則裝運C種西瓜的車輛數為(40-x-y).于是就有4x+5y+6 (40-x-y)=200,整理得y=40-2x.
(2)由(1)可知,裝運A,B,C三種西瓜的車輛數分別為x,40-2x,x.
由題意得{x≥10. 解得10≤x≤15.
40-2x≥10
∴x的值是10,11,12,13,14,15.安排方案有6種,見表3.
(3)設銷售利潤為W(百元),則W=4x×16+5 (40-2x)x10+6xx12=2 000+36x.
由已知得2 000+36x≥2 500.故有x≥13 8/ 9
則x=14或x=15,故應選方案5或方案6.