將數學建模思想引入“貝葉斯公式”教學中的案例實施

曹建美，馮晨嬌，王鳳翔

（山西財經大學應用數學學院，山西太原030006）

0 引言

“概率論與數理統計”是研究隨機現象統計規律性的一門學科，因其抽象性強、題型靈活，需要扎實的“高等數學”基礎，被大多數學生認為是大學本科階段3門公共數學課程中最難學習的一門課程。數學建模是將實際問題抽象轉為數學問題，使用數學公式、圖形等進行推導演繹進而來研究實際問題的一種思想和方法［1］。將數學建模思想引入“概率論與數理統計”課程的教學改革，旨在增強大學生熟練運用數學知識解決實際問題的能力，培養學生的學習興趣，并進一步培養學生的創新能力。概括起來，教師可在新課導入、知識應用、課后拓展3個教學環節中結合數學建模進行案例教學［2-3］。本文選用“貝葉斯公式”一節，探討如何實施將數學建模思想引入“概率論與數理統計”課程的案例教學。

1 貝葉斯公式及全概率公式的推廣概述

1.1 貝葉斯公式與證明

設B1，B2，…，Bn為Ω的一個分割，即B1，B2，…，Bn互不相容，且B i=Ω，如果P（A）＞0，P（Bi）=0（i=1，2，…，n），則P(B i A)=,i=1,2,…,n。

證明：由條件概率的定義（所謂條件概率，是指在某事件B發生的條件下，求另一事件A的概率，記為P(A B)）

對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式，P(ABi)=P(B i)P(A Bi)

P(A)=P(B i)P(A Bi)

P(B i A)=,i=1,2,…,n

結論得證。

1.2 貝葉斯公式及其與全概率公式的聯系

介紹了貝葉斯公式后還需介紹全概率公式，因為全概率公式和貝葉斯公式是一組互逆公式。以下先了解全概率公式的概念。

設B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個分割，即B1，B2，…，Bn互不相容，且Bi=Ω，如果P（Bi）＞0（i=1，2，…，n），則對任一事件A有P(A)=P(B i)P(A|B i)

證明：因為

A=AΩ=A

且AB1，AB2，…，ABn互不相容，所以由可加性得

P(A)=P

再將P(AB i)=P(B i)P(A|B i),i=1,2,…,n代入上式即得：

由證明可知，全概率公式就是貝葉斯公式的一種變形，它與貝葉斯公式是互逆應用的，與貝葉斯公式一樣在實際生活中也有很廣泛的應用。以下來探討貝葉斯公式在幾個方面的應用。

1.3 貝葉斯公式推廣與證明

1.3.1 貝葉斯公式的推廣

設當試驗的隨機過程不少于兩個的時候，在影響目標事件的每一個試驗過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式即可進一步推廣。

1.3.2 貝葉斯公式推廣定理

設Ai（i=1，2，…，n）和Bj（j=1，2，…，n）是先后兩個試驗過程中的劃分，C為目標事件。當P（C）＞0，P（Ai）＞0，P（Bi）＞0，P（AiBj）＞0，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m時，則有：

P(B j|C)=,j=1,2,…,m

P(A i B j|C)=,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m

證明：（1）P(Ai|C)==

同理可以證明（2）、（3）。

1.4 貝葉斯公式推廣總結

整理文獻后，可把貝葉斯公式歸為兩種形式，即事件型和隨機變量型，這是就樣本本身的性質而言的。上述推廣結論是由不同的技巧推廣而來的。從公式的條件出發，討論拓寬公式應用的面。在經典的貝葉斯公式當中要求事件列是“互不相容”的，這方面削弱了這一條件給出廣義的貝葉斯公式，無論相容與否都可以直接計算。從公式的形式出發，增加公式的靈活度。例如：在經典的貝葉斯公式中，樣本是離散的，但是實際計算當中，遇到復雜事件的時候，就不太實用了，這時候可以把全概率公式推廣到隨機變量的情形。當然，隨機變量有可能是離散的，或者是連續的，也可能是混合型隨機變量，所以可以再利用分布律來求解有關問題。從公式的計算輔助出發，創新地利用公式的推廣，用在風險模型的改進、風險計算和風險過程的分析當中。但是可以發現，隨機變量的貝葉斯公式的推廣結論，要明顯少于事件型的推廣結論。一方面，隨機過程是一門很深很難的學科；另一方面，貝葉斯公式還是局限在概率的計算這個問題中，用于例子的一般計算，采用事件型就能夠完成。然而，隨著各個學科的相互滲透，事件型概率雖然已有較多的推廣形式值得學習和借鑒，但是當遇到實際問題時，還是要對貝葉斯公式形式作一些新的變化，使之能更好地為計算和研究服務。

2 在“新課導入”環節結合數學建模思想和方法，通過案例教學導入新知

例1.由包括中國學者在內的新冠病毒（COVID-19）緊急系統性綜述工作組完成的一項研究在《柳葉刀》雜志發表［4］，該研究科學論證了保持1 m以上社交距離、戴口罩和眼睛防護是預防新冠病毒感染的有效手段。其中，戴口罩這樣一項在中國司空見慣的預防措施，在歐美國家卻成了較難實行的一項措施。試用概率知識解釋戴口罩的必要性。

分析（實際問題數學化）：在一個高風險地區，假設該地區的居民能夠保持安全的社交距離與眼部防護，如果已知一個人感染了新冠肺炎，求他是因為沒戴口罩被感染的概率。

之后，需要“設事件”，設B表示“居民感染新冠”，A1表示“居民佩戴口罩”，A2表示“居民不佩戴口罩”，則該數學問題是求P（A2|B）。

解：首先，對該問題進行一些合理的假設。

2.1 模型假設

①假設在一個偏好戴口罩的地區，有95%的人習慣戴口罩，5%的人不習慣戴口罩；

②假設在一個不偏好戴口罩的地區，有5%的人習慣戴口罩，95%的人不習慣戴口罩；

③假設在高風險地區，佩戴口罩時被感染的概率為3.1%，不戴口罩時被感染的概率為17.4%［4］。

2.2 模型建立

根據條件概率公式，P（A2|B）=P（A2B）/P（B）。對于分子，根據乘法公式，可知P（A2B）=P（A2）P（B|A2），對于分母，要求P（B）。從題中可以看出，排除其他情況，有兩個情況可能會出現“居民感染新冠”這個結果，分別是情況1——居民佩戴口罩（A1），或情況2——居民未佩戴口罩（A2）。因此，“居民感染新冠”可包括兩種情況：居民佩戴著口罩同時被感染，或者居民未佩戴口罩同時被感染，即B=A1B+A2B，從而P（B）=P（A1B+A2B）。由于A1B與A2B不同時發生，故P（B）=P（A1B）+P（A2B）。使用乘法公式，P（A1B）=P（A1）P（B|A1），P（A2B）=P（A2）P（B|A2），得到P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），這就是已經學習過的全概率公式。將分子、分母分別代入，可得到P（A2|B）=P（A2）P（B|A2）/［P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）］，即可推導得出貝葉斯公式。

2.3 模型計算

如果是在不偏好佩戴口罩的地區，由假設，P（A1）=5%，P（A2）=95%，P（B|A1）=3.1%，P（B|A2）=17.4%，該概率為：

P(A2|B)=

為了便于學生比較，可引導學生自行計算“如果已知一個人感染了新冠肺炎，求他是戴口罩情況下被感染的概率”，即計算P（A1|B）。在一個偏好戴口罩的地區，由假設，P（A1）=95%，P（A2）=5%，P（B|A1）=3.1%，P（B|A2）=17.4%，該概率為：

P(A1|B)=

（4）模型應用。

通過計算發現，如果一個居民不幸感染了新冠，在不偏好戴口罩的地區，他是在沒戴口罩情況下被感染的概率高達99.1%，而在偏好戴口罩的地區，這一概率約為22.8%。這個結果充分驗證了西方國家和中國在預防新冠肺炎時面臨的防疫形勢，結果令人信服，同時從概率論的角度解釋了戴口罩進行防疫的必要性。

在求解的過程中用到了一個公式：P(A2|B)=，即概率論中非常重要的貝葉斯公式。教師可繼續引導學生總結貝葉斯公式的使用條件、適用題型（執果索因）、推廣形式（可推廣到n個原因）。

在解決實際問題的同時，通過數學建模思想，由淺入深，循序漸進地推導出本次課程的主題內容——貝葉斯公式，學生感覺公式的給出合情合理，避免了直接講解公式時學生感覺知識點的學習如無本之木、無源之水的困境。

3 在“知識應用”環節利用數學建模思想和方法進行案例教學達到知識鞏固

例2.利用概率知識解釋“狼來了”的寓言故事中村民對放羊娃的信任度是如何下降的。

解：（1）模型假設。

①假設一個孩子是誠實的孩子的概率為0.8；②假設一個誠實的孩子會說謊的概率為0.1；③假設一個不誠實的孩子會說謊的概率為0.5。

（2）模型建立。

用A1表示“孩子是誠實的”，A2表示“孩子是不誠實的”，B表示“孩子說謊”，根據貝葉斯公式：

P(A1|B)=

（3）模型計算。

由假設可知，P（A1）=0.8，P（A2）=0.2，P（B|A1）=0.1，P（B|A2）=0.5，則放羊娃第一次說謊后，村民對其信任度為：P(A1|B)==0.444

在放羊娃第一次說謊后，在村民眼中，這個孩子是誠實的概率降為0.444，即此時可認為P（A1）=0.444，P（A2）=0.556。繼續計算，放羊娃第二次說謊后，村民們對放羊娃的信任度：

P(A1|B)=≈0.138

（4）模型應用。

放羊娃兩次說謊后，村民們對放羊娃的信任度從最初的0.8下降為0.138，所以這個故事的結局是悲慘的，放羊娃因為自己的一再說謊付出了生命的代價。本例是貝葉斯公式的一個應用案例，通過對“狼來了”這一寓言故事進行數學建模分析，既讓學生深刻理解了該寓言故事蘊含的“誠信做人”的深刻內涵，同時還能幫助學生掌握貝葉斯公式的使用條件、適用題型，并培養學生利用所學數學知識解決實際問題的能力，極大地激發了學習興趣。

4 在“課后拓展”環節結合數學建模思想和方法來進行案例教學達到知識拓展

例3.垃圾郵件的識別、智能手機自動翻譯、語音識別等很多人工智能現象的關鍵算法核心都是貝葉斯公式。請各小組結合數學建模的思想和方法探討貝葉斯公式是如何應用到這些實際問題中建模的，并提交小組報告一份。

這是一個開放性的課后拓展作業，學生在課后可以查閱資料，小組討論，團隊協作，結合數學建模的思想和方法完成一篇研究報告。限于篇幅，這里不再贅述。

5 結語

貝葉斯公式在很多數學模型中有很重要的作用。對貝葉斯公式進行仔細分析，用例子說明了它的用法及所適用的概型，為了解決實際問題的需要，將貝葉斯公式進行了推廣，用例子說明了推廣的貝葉斯公式在實際應用中所適用的概型比貝葉斯公式的更廣。因此，貝葉斯公式在數學模型的求解中有著十分廣泛的作用，它是數學模型中一個經常會被用到的工具。社會在飛速發展，決策者必須綜合考察以往的信息及現狀從而做出綜合判斷，決策概率分析越來越顯示其重要性，其中，貝葉斯公式主要用于處理先驗概率與后驗概率，是進行決策的重要工具。

教師在課堂教學各個環節中有意識地融入數學建模的思想和方法進行案例教學，將“概率論與數理統計”的理論知識與實際問題結合起來，可以達到3個方面的教學效果：第一，讓學生充分認識到該課程的實際應用，使得課程學習從“無用”變得“有用”；第二，讓學生逐步了解了數學建模的本質，掌握了數學建模的基本方法，培養了學生解決實際問題的能力和創新能力，激發了學習興趣，使得課程學習從“無趣”變得“有趣”；最后，學生對課程知識的理解得到深化，提高了學習效率，使得課程學習從“困難”變得“不難”。隨著教學活動的不斷深入，如何更加有效地融入數學建模的思想和方法，不斷提高教學質量，這是需要進一步探討和完善的地方。