成語與寓言中的概率思維

歐陽順湘

(哈爾濱工業大學(深圳) 518055)

英國經濟學家、政治社會學家白哲特(Walter Bagehot，1826-1877)曾說“生活是概率的大學?！? 法國數學家拉普拉斯在其《分析概率論》有句常被引用的名言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題.”Leo Breiman在其概率論著作[1]的序言寫道：“概率論有兩手，右手是嚴格地使用測度論的基礎工作，左手是‘概率地思考’，將問題變成賭博，投骰子，粒子運動問題.”另一方面，不少成語、寓言是生活智慧的結晶. 所以，很自然地，一些成語和寓言蘊含著概率思維. 我們可以通過成語與寓言來直觀地了解一些概率思想，也可以用概率思維來更好地理解一些成語與故事. 我們下面就按概率論中討論的一些內容分類介紹相關成語.

1 隨機現象與隨機事件

“天有不測風云”反映了人們對隨機現象無處不在的認識.“守株待兔”故事中的農夫錯在將隨機現象將當成確定性現象，或說錯在高估了兔子撞樹樁這個隨機事件發生的概率.“水中撈月”則是將不可能事件當作了可能事件. 還有些成語說明隨機事件發生可能性大小，如“穩操勝券”“十拿九穩”“百發百中”等.

“萬事皆有因”“有果必有因”則反映了人們對包括隨機現象在內的各種現象產生的原因的探究. 如一些人曾認為人的命運由生辰八字決定，認為一些結果是“命中注定”. 在婚配等問題上要研究是否“八字不合”. 實際上，人的生辰充滿隨機性，所有八字組合也只有有限種可能結果，遠遠不能決定豐富多彩的人生.

很多人認為隨機現象源于無知：古希臘哲學家德謨克利特認為“一切都遵照必然而產生”，牛頓、拉普拉斯等提倡決定論，愛因斯坦也認為“上帝不擲骰子”. 現在，一般認為量子力學中出現的隨機現象是真正的隨機.

隨機現象的出現并不是壞事. 例如，許多人設定密碼時常利用手機號、生日、或門牌號等. 密碼破譯者可能會利用這個偏好來猜測密碼. 如果是隨機生成的密碼，就很難猜測了.又如，在剪刀-石頭-布游戲中，有的高手能計算出對方出招的模式，預測出對方的下一手.為與高手對抗，可以考慮隨機策略，即隨機出剪刀、石頭或布，這樣可以達到納什均衡. 類似地，生物學中基因突變與重組的隨機性使得生物呈現出多樣性，從而保證了各種子代的產生以適應自然選擇. 這三者的策略可謂“隨機應變”——如果允許我們將它“曲解”為用“隨機”的辦法來對抗. “狡兔三窟”，也同樣是利用了隨機性來提高安全性，其做法異曲同工.

2 小概率事件

設某隨機事件A發生的概率為p>0，則它不發生的概率為1-p，在n次獨立重復試驗中，A不發生的概率為(1-p)n. 當n趨于無窮時，A發生的概率1-(1-p)n趨于1.

由此可知，一個隨機事件單次發生的概率雖然可能很小，但在充分多次獨立重復試驗中，它至少發生一次的概率將很大. 這就導致所謂的墨菲定律：一件事情發生的概率無論有多小，只要有可能發生，就幾乎一定會發生. 它可以解釋很多現象：為什么自然界中會出現一些巧奪天工的奇跡？為什么參加高考如此重要的事情，總有新聞報道說有學生臨到考場才發現忘帶準考證.

不少成語體現了小概率事件的作用([2]對部分此類成語做了一些討論). 如有的成語總結人多力量大：“三人行，必有我師焉”“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”“一根筷子容易折，一把筷子難折斷”；有的成語勸人堅持不懈：“水滴石穿”“鍥而不舍，金石可鏤”“只要功夫深，鐵杵磨成針”. 有的成語對人發出警戒，勸人謹慎：“常在河邊走，哪有不濕鞋”“不怕一萬，就怕萬一”“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”“千里之堤，潰于蟻穴”.

法國數學家波萊爾在1909年出版的一本談概率的書籍中介紹了“打字的猴子”，設想猴子隨機敲擊鍵盤. 于是就有了所謂的無限猴子定理：設有無限只猴子，且允許使用無限的時間，則一定會有一只猴子打出所要求的書籍或文章. 如打出大英圖書館的全部著作，或莎士比亞的著作等等. 但這里需要允許使用任意長的時間. 農夫“守株待兔”并非不可能事件，只要等待足夠長時間，也可以期望再次不勞而獲. 但農夫不事勞作，僅僅期待這個小概率事件多次發生以供生活所需，需要極大的耐心和時間成本，得不償失.

3 大數定律

大數定律說一事件在多次獨立重復試驗中發生的頻率穩定于該事件發生的概率. 例如，投擲一枚均勻的硬幣多次，其中正面朝上的次數大約為一半. 這與成語“萬變不離其宗”有類似處.

在生活中，人們常會咨詢多位朋友或專家的意見再做決策，其目的就是通過聽取各種意見，綜合考慮，盡力消除隨機因素的影響. 這就是“集思廣益”有作用的原理. 其思想與大數定律一樣.

伊索寓言“龜兔賽跑”講兔子因為在比賽中睡大覺而輸的故事. 常見解讀是兔子不夠穩重不值得學習，烏龜勤懇堪稱模范. 羅森塔爾認為這是對隨機性的漠視[3]. 他建議用概率視角準確理解這個故事. 按照大數定律，賽跑的關鍵不在于誰更可靠、誰更穩重，而在于誰的平均速度更快. 長遠來看，誰平均跑得快，誰在比賽中就一定能贏.

4 Poisson聚集

生活中不乏見到“屋漏偏遭連夜雨”這樣接二連三倒霉的事情，也可能遇到“雙喜臨門”這樣好運不斷的好事. 如某地突然連續出現多起刑事案件，又如近期與一個平常難得一見的朋友多次偶遇. 這樣的巧合為什么并不乏見？隨機地發生的事情，為什么會“碰巧”聚集在一起？“無巧不成書”的背后其實也有概率解釋. 數學上，人們稱之為Poisson聚集(Poisson Clumping). 下面的例子可以說明這種現象.

我們可以用參數λ=np=1為Poisson分布近似這個二項分布，即對任意k=0,1,2,…,n，

由此可得在一個小正方形區域中有不少于5個落點的概率約為0.004. 因此，平均而言，每250個小正方形區域中就有1個小區域中的落點數不少于5. 在上述隨機落點中，平均有10個小區域中的落點數不少于5. 所以，在一些小區域中有點的聚集并不是意外.

在第二次世界大戰中，倫敦受到德軍飛彈的打擊，一些地區似乎更常被打擊. 英國統計學家R.D. Clark用類似于上述例子中的方法，推斷出德軍的襲擊是隨機的.

5 貝葉斯定理

貝葉斯學派認為概率是人們對某件事情發生可能性大小的主觀判斷，隨著所知信息的改變而改變，即所有的概率都是條件概率. 信息可以消除不確定性.

《韓非子》中的寓言故事“智子疑鄰”以及《列子》中的寓言故事“疑鄰盜斧”說的是人們的主觀判斷受到一些因素的影響. 對這兩個故事的常見解釋是“應該實事求是,尊重客觀事實,不要主觀臆斷”. 事實上，雖然無根據的“臆斷”要盡量避免，但主觀判斷無處不在. 概率的頻率解釋要求試驗可多次重復，但有很多事件是難以重復的，如某地發生地震，其發生的概率就沒法用頻率解釋，只能用主觀判斷.

貝葉斯提出的貝葉斯定理可以幫助人們推理.下面是貝葉斯定理的簡單版本.

設事件A或Ac導致事件B發生，且A,Ac發生的概率P(A),P(Ac)已知，不為零，在A或Ac發生的條件下B發生的概率P(B|A),P(B|Ac)也已知. 如果事件B發生了，概率不為零，我們可以用貝葉斯公式確定A發生的概率

其中B發生的概率可以全概率公式計算如下

P(B)=P(B∩A)+P(B∩Ac)

=P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac).

我們稱P(A)為A的先驗概率，在B發生后，A發生的概率更新為P(A|B)，稱之為A的后驗概率. 如果還有別的信息，我們可以將P(A|B)當作A發生的先驗概率，重復上述過程再次更新我們對A發生的概率的認識.

《戰國策》中記載有寓言故事“三人成虎”：

龐蔥與太子質于邯鄲，謂魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”龐蔥曰：“夫市之無虎明矣，然而三人言而成虎.今邯鄲去大梁也遠于市，而議臣者過于三人，愿王察之.”王曰：“寡人自為知.”于是辭行，而讒言先至.后太子罷質，果不得見.

這個故事生動地刻畫了魏王不斷修正自己對“市有虎”這件事發生的概率的大小的過程. 我們用貝葉斯定理量化說明這個過程如下:

用T表示“市有虎”這件事. 一般而言，鬧市難得有虎，可假設有虎的先驗概率較小，為0.03，即

P(T)=0.03,P(Tc)=0.97.

用R1,R2,R3分別表示第一、二、三人向魏王報告市有虎. 設三人的行為獨立且相同，在市有虎的條件下，報告有虎的概率為0.7，沒虎卻有意生謠或看錯了(如把玩具虎當作真虎)的概率為0.1，即對i=1,2,3,有

P(Ri|T)=0.7,P(Ri|Tc)=0.1.

由貝葉斯公式，一人言市有虎的條件下，魏王相信市有虎的概率被修正為：

這個概率比先驗概率稍微有所增加；但不足以使魏王相信，所以魏王說“否”. 現在第二人言市有虎，我們把有虎的后驗概率P(T|R1)≈0.178當作T的先驗概率，重復前面的計算，可得后驗概率

這個概率也不大不小，所以魏王“疑之”. 再次重復，可得在第三人言市有虎的條件下，魏王認為市有虎的后驗概率為

P(T|R3)≈0.914.

至此，魏王“信之矣”.

《戰國策》中記載“曾參殺人”與“三人成虎”類似. 伊索寓言“狼來了”，也是一個不斷修訂概率的過程. 但“狼來了”與“三人成虎”“曾參殺人”有所區別(1)《貝葉斯版的“三人成虎”》(王志祥，宋 濤，數學文化，8(4):111-112, 2017；或同作者所著《數學雜談》，天津大學出版社，2017)一文用貝葉斯公式討論了三人成虎. 我們認為該文的邏輯適合于分析“狼來了”，不適合于分析“三人成虎”. 請讀者留意.. 一是三人依次欺騙同一人(魏王、曾母)；一是同一人(放羊娃)三次欺騙同一批農夫.

從“三人成虎”等故事可見“眾口鑠金”的危害, 需要警惕謠言. 奉行“事不過三”準則的人也要警惕，明辨是非. 在現代信息交流便利的情況下，網絡謠言盛行，其原因可以用貝葉斯推理解釋，但我們也可以用貝葉斯推理來幫助我們甄別謠言. 其應用原理與上述三人成虎的概率推理類似. 垃圾郵件過濾，語音識別，拼寫檢測，搜索引擎和輸入法智能糾誤等都與此類似.

6 結語

我們從概率視角解釋了“水滴石穿”“集思廣益”“無巧不成書”等成語以及“狡兔三窟”“龜兔賽跑”“疑鄰盜斧”“三人成虎”等寓言故事. 這樣做，一方面可以使人們對一些成語與寓言故事有新的認識，了解到其中所蘊含的概率智慧. 另一方面，通過人們熟知的成語和寓言故事來闡述概率思維可以激發學習者的學習興趣，加深學習者對概率的理解.