從問題類屬談初中生數學建模能力培養 ①

孫 凱

(江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

1 問題提出

問題解決能力是21世紀人才應具備的關鍵能力之一.數學建模作為連接數學與外部世界的橋梁，是將現實世界中的實際問題轉化為數學問題并用數學的知識解決問題的活動過程.進入21世紀，數學教育發達國家的數學課程改革都尤為注重數學建模能力的培養，并將其作為最重要的數學教育目標.在我國初中數學教學中，提到數學建模教學，廣大一線教師最先想到的是方程模型、不等式模型、函數模型，進一步還能想到幾何模型、概率模型等，大部分教師認為運用這些數學模型解決問題(應用題)就是數學建模，甚至將應用題教學與數學建模教學畫上等號，認為落實好應用題教學就是培養學生的數學建模能力.顯然，這種觀點是對初中數學建模教學尤其是數學建模內容的片面認識，對數學建模教學構成了一定的負面影響，阻礙了初中學生數學建模能力的有效培養.

2 對初中生數學建模能力的認識

2.1 數學建模的內涵

什么是數學建模？數學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程[1].從數學與現實世界的關系上看，數學建模就是將現實世界中的實際問題轉化為數學問題并用數學的知識解決問題(如圖1).這種從數學之外領域開始，移動到數學領域尋求答案，獲得數學的結論并翻譯到數學之外領域的過程叫做數學建模[2].數學建模目的是利用形式化的數學模型去反映(模寫、刻畫、表征)現實系統中的關系結構(關系——映射)，然后利用通過對模型的邏輯分析演繹得出的結論，把它反演(翻譯)回去解答現實原型中的某些問題(反演)[3].“數學建?！敝械摹皵祵W”具有多重含義，其首要含義是指數學化，即將現實世界的實際問題抽象、簡化、假設、提煉轉化為數學問題，最終實現把外部世界的問題轉入數學內部解決.“數學建?！敝械摹敖！笔侵附嫈祵W模型，數學模型是指反映特定問題或特定事物的系統特征或相互依賴的關系，運用形式化的數學語言，抽象、概括、近似地表達而形成的一種穩定的、系統的數學結構.從廣義上看，初中數學教學上的數學概念、理論體系、公式、定理、算法系統等都屬于數學模型；而狹義的數學模型是指反映特定問題或特定事物的數學結構.

圖1 建模循環模型

2.2 初中生數學建模的內容

從數學建模內容維度來看，初中生數學建模所面對的現實問題一般分為三類：現實原型、實際模型、數學形式.這種從數學建模內容視角對現實問題的分類就是“問題類屬”.現實世界中初看起來雜亂無章的生活現象，真實的實際問題，屬于現實原型；將現實原型進行修改和簡化，形成一種比較精確和簡潔的表達，這時可稱之為一個實際模型[4](也稱為“現實模型”)；將實際模型進一步簡化、假設，用數學符號表達實際模型中的變量和關系，形成數學形式，得到的結果就是一個數學模型.數學建模的最關鍵環節是“現實原型—實際模型—數學形式”這一子過程.

初中數學教材中呈現的實際問題(以下簡稱“應用題”)是教材編寫者進行一定的抽象、簡化、假設后的問題情境，屬于實際模型類問題.這類問題是既定的數學形式化結構披上了一層現實世界的外衣，是一種標準數學模型的回譯，表現為從數學知識往外看(現實世界).而真正的數學建模起始于沒有“編輯”的現實世界，要求在問題解決之前進行數學表述[5]，表現為從現實世界(現實問題)向內看(數學問題)，思考運用或創造什么樣的數學知識和方法解決實際問題.從過程維度來看，應用題教學是從實際模型到數學形式的活動過程，是數學建模最關鍵環節中的一個階段，不是完整意義上的數學建模教學.事實上，數學建模區別于一般應用題的一大特點是對現實問題的抽象假設，這對于學生而言是難點，但卻是數學建模的重要環節[6].初中數學教材上的數學概念、公式、定理等內容一般歸類為數學形式類問題，課題學習、綜合實踐活動等內容歸類為現實原型類問題.

2.3 初中生數學建模能力的內涵及水平劃分

數學建模能力就是將現實問題表述為數學形式，并使用數學求解，將數學結果轉譯為現實結果并檢驗的能力[7].初中生數學建模能力是指初中學生利用形式化的數學模型去反映現實問題中的關系結構，通過對數學模型的求解和檢驗，解答現實原型中某些問題的能力.PISA2012的數學測評框架把數學化能力當作數學的一種基本能力來區分水平[5]288.數學化是數學建模的最關鍵成分，數學化能力是初中生數學建模能力的本質和關鍵.因此，一般按照數學建模過程中數學化的復雜程度來劃分數學建模能力水平.

一個來自現實原型中的實際問題，經過數學化的過程，呈現為數學問題，能否有效建構數學模型是解決數學問題的關鍵.在初中階段，根據學生將現實問題與數學形式之間來回轉譯的能力，根據數學化的復雜程度，將初中生數學建模水平按從低到高劃分為三個層次：再現、聯系、反思.再現是指在簡單熟悉的問題情境下，識別出標準模型解決問題，表現為標準數學模型的再現；聯系是指在較綜合的問題情境下，遷移、組合、轉化標準模型解決問題，表現為標準數學模型的組合與變形；反思是指在復雜的問題情境下，檢驗、評價、比較、改進數學模型，表現為數學模型的改進和創造.

初中數學教材上呈現的源于現實世界的應用題往往是經過教材編寫者抽象、簡化、假設的問題情境，并不是真實的現實原型，而是實際模型.在這里并非否定教材上諸多實際模型的教學價值，而是希望廣大初中教師對此有較為清晰的認識，以便更好地開展數學建模教學.從數學建模水平維度來看，初中數學教材上呈現的實際模型類問題多屬于再現水平，對初中生更高層次數學建模能力的培養以及應用意識和創新能力的培養顯得力不從心.因此，在初中數學建模教學中，一方面要以教材上的實際模型類問題為基礎，引導學生積極參與數學建?；顒?，培養學生再現水平；另一方面要注重關聯或引入現實原型類問題情境，培養學生聯系和反思水平.

3 初中生數學建模能力次第水平示例

3.1 再現：銷售

一件夾克衫先按成本提高50%標價，再以8折出售，獲利28元.這件夾克衫的成本是多少元？

說明這是一道源于現實原型的，以實際模型形式呈現的銷售問題.問題中的成本、標價、折扣、售價、獲利等詞匯是學生分析和解決問題的主要障礙.弄清這些關鍵詞的意義，準確理解題意，用數學符號表達售價、成本和利潤，是構建一元一次方程模型解決問題的關鍵.這是一種數學標準模型的識別與運用，屬于直接套用，屬于數學建模能力再現水平.

3.2 聯系：方艙

為了應對2020年2月在武漢發生的新型冠狀病毒疫情，國家衛健委決定在武漢建立方艙醫院，其中一所方艙醫院的具體信息如下：

1.方艙醫院由四部分組成，分別是醫療功能單元、病房單元、技術保險單元、廢棄物處理單元；

2.整個方艙醫院面積為80000平方米；

3.廢棄物處理單元面積為總面積的5%；

4.病房單元面積是技術保障單元面積的4倍；

5.病房單元與醫療功能單元面積的和不高于總面積的85%.

求醫療功能單元的最大面積.

說明方艙醫院的建設問題是源于現實生活的真實問題.問題情境中給出部分信息，學生需要將現實原型信息進一步抽象、假設、簡化為數學問題，用數學符號表示病房單元和醫療功能單元的面積，建構一元一次不等式模型解決問題.問題情境中蘊涵方程模型、不等式模型，是數學標準模型的遷移、組合，屬于數學建模能力聯系水平.

3.3 反思：節水

我們常常聽到長輩告訴我們，洗澡時盡量用淋浴的方式，會比較節水.但事實是如此嗎？若某家庭有兩種可以選擇的洗澡方式，其中一種是泡澡浴缸：長為1.3米，寬為0.7米，高為0.7米的長方體浴缸(內部測量)，通常在泡澡時水深為0.5米.另一種為淋浴，利用淋蓬頭沖澡，其中淋蓬頭可以調整水流速度，分成高速水流和低速水流兩種，高速水流的出水量為15升/分鐘，低速水流的出水量為10升/分鐘[8].若小明選用泡澡方式，而小華選用淋浴方式，問哪種方式比較節水？

說明洗澡節水問題是一個復雜的現實問題情境，考慮到初中生的知識儲備與認知水平，對現實問題進行了一定的簡化、假設，情境中給出了一些關鍵信息.學生解決這個問題，仍需考慮淋浴時間、水流速度等因素，從實際問題中抽象出數學模型或作必要的假設進行探索，并對模型進行檢驗、比較、優化，屬于數學建模能力反思水平.

4 培養初中生數學建模能力的教學策略

4.1 立足教材，掌握標準模型，在實際模型類問題的解決中培養再現水平

模型思想是初中數學課程的十大核心概念之一.模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義[9]7.為促進學生模型思想的形成，教材編者注重數學知識與現實世界的聯系，在每個章節中都設置了應用類的實際問題，意在促進學生經歷運用數學知識解決實際問題的過程，初步形成模型思想，體會數學的應用價值，提高數學學習興趣和應用意識.從建模教學內容來看，學生的大部分時間是在學習數學內部的內容，比如數學概念、性質、定理等，這種學習可以看作數學標準模型的學習，最終指向實際問題的解決.從數學建模過程來看(如圖2)，以教材為載體的初中數學教學中，用方程、不等式、函數、圖形、概率等數學模型解決實際問題屬于從實際模型到數學模型，這類問題情境中的數學模型容易識別，直接套用標準模型即可解決，是培養學生數學建模能力再現水平的重要途徑.在實際模型類問題教學中，應引導學生將實際模型進一步抽象化、符號化，經歷識模、建模、解模等活動，提高數學建模能力的再現水平.

圖2 建模過程

4.2 觀察生活，發掘現實問題，在現實原型類問題的解決中培養聯系水平

數學學習的最終目標是讓學習者會用數學眼光觀察現實世界、會用數學思維思考現實世界、會用數學語言表達現實世界.這里所謂的用數學語言表達現實世界其實質就是數學建模.為彌補教材上實際模型類問題在培養學生數學建模能力聯系水平上的缺失，教師應善于發掘現實世界中的實際問題，選擇適切的、真實的、綜合的問題情境，使學生完整經歷現實問題——實際模型——數學模型——求解結果——檢驗解釋的建?；顒?，尤其是將現實問題簡化、假設、概括后抽象出實際模型的過程，培養學生將現實問題數學化的能力.現實原型類問題初看起來雜亂無序，這就要求教師在教學時引導學生精選變量和關系，保留問題的“主干”，削減問題的“枝杈”，簡化描述，提出合理的假設，建立相應的數學模型，并用恰當的數學符號表示，最終用數學知識解決問題，以培養學生數學建模能力的聯系水平.比如在“方艙”建?；顒又?，先由學生獨立閱讀獲取信息，再自主完成信息的分析、篩選、簡化、假設，將實際問題進一步數學化，用數學語言正確表達模型的結構特征以及相互關系，獲得數學模型并解決問題.

4.3 任務驅動，聯系現實世界，在綜合實踐類活動中培養反思水平

“綜合與實踐”是指學生運用學習掌握的數學知識、思想和方法解決現實問題，可以理解為數學探究和數學建?；顒?其主要內容為：結合實際情境，經歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程[9]41.綜合實踐活動在培養學生問題意識、應用意識、創新意識等方面具有得天獨厚的優勢，是培養學生數學建模能力的有效途徑.在初中數學教學中，受考試指揮棒和知識本位等因素影響，廣大一線教師特別注重數與代數、圖形與幾何、統計與概率三個部分的教學，往往忽視或直接放棄課程內容中綜合與實踐部分的教學.事實上，綜合與實踐課程內容的主要功能是在數學與外部世界之間搭建橋梁，是學生主動運用數學知識以及其他學科知識解決實際問題的重要途徑，也是培養學生數學建模能力的有效路徑.因此，教師應充分挖掘教材上綜合與實踐課程內容的教學價值，注重發掘現實生活中的問題，每個月或每學期組織開展一次綜合實踐活動，驅動學生用數學的眼光觀察現實世界，發現和提出有價值的問題，自主探究、合作交流，動腦、動手、動口，經歷建立數學模型解決問題的活動過程，使學生感悟數學來源于實踐，又應用于實踐[10].比如將上述“節水”問題進一步還原為更“原始”的形態，將一些數據信息剔除，呈現為現實原型問題：“我們常常聽到長輩告訴我們，洗澡時盡量用淋浴的方式，淋浴會比浴缸泡澡更節水.事實是如此嗎？”對學生而言，這樣的實際問題就是一種主題綜合實踐活動，解決這個問題需要學生完成數據收集、模型假設等工作，將實際問題轉化為數學問題，抽象出數學模型進行探索，使學生完整經歷引模、建模、解模、驗模的活動過程，從而有效培養學生數學建模能力的反思水平.