商周太陽神鳥金飾中蘊含的數學文化

石勇國

(內江師范學院數學與信息科學學院 四川省高校數值仿真重點實驗室 641100)

1 引言

太陽神鳥金飾在2001年出土于成都金沙遺址[1]，是21世紀我國考古的一個重大發現．太陽神鳥金飾標記的時間為商周時期，大約三千年以前．其圖案設計精妙最為惹人注目，成都市政府很快用它作為城市形象標志和文化象征，已經運用到了立交橋、地鐵、機場等公共場所．2005年8月17日，國家文物局正式公布采用商周太陽神鳥金飾圖案為“中國文化遺產標志”．

很多學者對這件文物做過研究．文史研究人員專注于它的古蜀文化內涵[2]；藏族學者看到它與藏族文化之間的關聯[3]；考古研究者看到它精美的制作工藝[4]；作為數學研究者，第一眼看到這件文物時，我們關注它里面蘊涵的數學知識，以及當時我們中華民族的數學水平．太陽神鳥金飾映入眼瞼的數學問題即是如何用尺規進行圓的十二等分．關于等分圓周問題是平面幾何中的著名問題之一[5]．與等分圓周等價的問題是尺規作正多邊形問題(the construction of regular polygon with ruler and compass)，即是用無刻度的直尺和圓規作圖幾何問題．早在古希臘的歐幾里得(公元前325年—公元前265年)時代，人們就知道邊數形如2m，2m·3、2m·5的正多邊形可用尺規作出．金沙遺址中的文物實證了：比歐幾里得早約700年，中國人已經掌握這些尺規等分圓周的作圖法，并且運用到各種設計之中．

雖然中華人民共和國國家標準GBGB/T 25601-2010[6]規定了中國文化遺產標志形式、內容、比例等標準，但是里面缺乏太陽12道光芒的標準數據．我們也嘗試給予彌補．

2 金沙遺址中的相關幾何圖案

圖1 商周帶柄銅有領璧形器(左)，以及商周卷云紋金喇叭形器(右)

成都金沙遺址出土的一件青銅三鳥紋有領璧形器，如圖1，是與 “太陽神鳥”金箔圖飾(如圖2)有著類似設計的珍貴器物，制作于商代晚期．帶柄銅有領璧形器呈圓環形，環面近邊緣處有兩道同心弦紋，在弦紋與孔壁間鑄有三只相同的逆時針飛行的鳥紋圖案．金沙遺址還出土了商周卷云紋金喇叭形器，其腹壁上等距分布著的三朵卷云紋線條十分優美．這兩件文物都說明在商代，人們已經會圓的三等分．

圖2 商周太陽神鳥金飾

圖3 商代銅太陽形器

圖4 商周青銅螺形器

商周“太陽神鳥”金飾為商周時期的鏤空金器，如圖2，圖案分內外兩層，內層等距分布有十二條旋轉的齒狀光芒；外層由四只相同的、等間距的逆時針飛行的鳥組成．青銅三鳥紋有領璧形器與 “太陽神鳥”金箔圖飾說明在商周時代人們已經會圓的三等分、四等分、六等分與十二等分．

圖3的銅太陽形器，制作于商代晚期，在四川省廣漢市三星堆遺址出土，直徑85厘米，其周圍等距分布五條芒，大圈也等距分布5個圓孔．銅太陽形器說明在商代人們已經會圓的五等分．

圖4的商周青銅螺形器，制作于商周時期，在四川省成都金沙遺址博物館出土．說明在商代，人民對螺旋線已有認識，并且應用到青銅器上．

3 關于尺規作圖圓周等分問題

首先給出幾個基本等分圓的作法．

圖5 十二等分圓

圖6 三等分圓和六等分圓

圖5給出了十二等分圓．得到了正十二邊形．分兩步即可完成，首先，畫兩條互相垂直的直徑AB，CD；其次，分別以A,B,C,D為圓心,圓的半徑為半徑畫弧,與圓得到八個交點，則這八個交點與A、B、C、D四點共12個點把圓周十二等分了. 顯然十二等分圓中自然有三、四和六等分圓．

若已給定圓心為O，直徑為AB的圓，以A為圓心、半徑AO畫圓，與圓有兩個交點．再以B為圓心，半徑BO畫圓，與圓有兩個交點．則這些點繪制出圓的六等分點．圓的3、4、5、6、8、10、12、15等分方法，最早記錄于歐幾里得(前325年-前265年)的《幾何原本》第四卷第15章[7]或參見[8]中系統詳細的介紹.

圖7 五等分圓和十等分圓

只使用直尺和圓規，作正7、9、11、13、17邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經使18世紀以前的數學家都束手無策．直到1796年，年僅19歲的高斯(Gauss)發現了正十七邊形可以尺規構造[9]．正是這一作圖發現，同時也是兩千年以來在這個古希臘尺規問題上的第一個進展，激發高斯投身于數學事業．高斯還進一步斷言：一個正n邊形可用尺規作出n是2的m(≥0)次方和任意個(可為0個)相異費馬數(即形如Ft=22t+1的素數)的乘積．然而高斯僅證明這一論斷的充分性，其必要性是由旺策爾(Wantzel)于1837年證明的．Erchinger在1800年左右首次精確地構造了正十七邊形．例如，當t=0,1,2,3,4時，對應的費馬素數Ft=3,5,17,257,65537以及2m與它們之積，可用尺規作出．但是，正7、9、11、13邊形不能用尺規作出；另外，時至今日，尚不知是否還有其它的費馬素數．

4 太陽神鳥金飾中太陽光芒的設計

圖8 光芒的作圖法

我們猜想古代蜀國人設計太陽光芒，作了下面三條假設：

(1)太陽的12道光芒形狀是一樣的，任意道光芒都可以由其中一道光芒繞圓心O旋轉而得到．

注：假設(1)是順乎自然的．關于假設(2)，相對于其他光滑弧線，圓弧用圓規更容易作出；在官方公布太陽神鳥金飾圖案上，使用三點確定圓周的方法，確定一個月牙光芒的兩個圓弧分別所在兩個圓的半徑接近，且接近內圓的半徑．關于假設(3)，切線的夾角為30°，接近測量值，而且便于尺規作圖．

根據以上三條假設，我們唯一確定了太陽光芒形狀．具體的作法有很多種，下面是其中一種作法:

進一步可以證明：三角形△GHC是邊長為r的等邊三角形；光芒的兩圓弧的圓心F和G，與分點D三線共點．

于是，我們還原了古蜀國手工藝人給當時諸侯王制作這樣一件王室精品圖徽的精細過程．刪掉一些相關的輔助線后，得到了圖9中的左圖，與官方公布的圖形(圖9中的右圖)做對比．在我們繪制的圖中，太陽加上光芒整個外圍圓半徑與內圓半徑之比OH:OD=1.52，而在官方公布的金沙遺址圖案中，我們測量比例約為1.54．與標準的圖形非常接近．出現誤差的原因主要有兩個，一是測量的誤差，另外是太陽神鳥的金箔經過三千多年，發生了形變，實屬難免．

圖9 對比圖，左邊是我們繪制的，右邊是金沙遺址博物館的標準圖

5 總結

太陽神鳥用抽象的方法，簡化了鳥的造型，將鳥的兩腿合并為一腿，縮小雙翼的尺寸，略去了羽毛紋路，使之能夠將四只大鳥置與圖徽的邊緣；這四只大鳥首足相連，引頸伸腿逆時針方向圍繞反方向旋轉的太陽飛翔，正反對比設計，使得圖案具有強烈的動感．整個太陽神鳥的設計集數學和美術于一身，充分表明了中國周時期不僅掌握了圓的性質和等分技巧，而且還將這些平面幾何方法運用到標商志性的圖案設計，堪稱現代商標圖徽的鼻祖．