利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律
——“平面向量及其應用”內容分析與教學思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

關于數與形的聯系，華羅庚先生有詩曰：

數與形

本是相倚依

焉能分作兩邊飛

數缺形時少直觀 形缺數時難入微

數形結合百般好 隔離分家萬事休

切莫忘

幾何代數統一體 永遠聯系莫分離

這說明，當我們把數、形統一起來考慮時，對這兩者的認識都會變得更深刻；否則，將兩者孤立起來，那么數與形都不會走得太遠.“現代數學強調用代數的方法研究幾何，其本質是通過幾何圖形建立直觀，通過代數運算刻畫規律.”([1],p.40)

以往高中數學課程都是將代數與函數放在一起.與此不同，《普通高中數學課程標準(2017年版)》首次設置了“幾何與代數”內容主線，必修內容包括平面向量、復數和立體幾何初步，選擇性必修內容包括空間向量與立體幾何、平面解析幾何.如此設置的理由，“一是為代數、特別是線性代數的學習建立幾何直觀，這個幾何直觀對于學生的未來學習是非常重要的；二是讓學生知道如何用代數運算解決幾何問題，這是現代數學的重要研究手法.”([1],p.51)

顯然，要使數與形結合起來，需要橋梁，需要有數形結合的研究工具.笛卡爾發明了直角坐標系，成功地在數與形之間搭建了橋梁，而向量概念的建立，則使我們有了“集數與形于一身的數學研究工具”.正如課程標準指出：向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用.

下面我們從平面向量開始討論幾何與代數主線的內容.

1 課程定位

課程標準認為，本單元的學習，可以幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義；掌握平面向量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應用；用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題.本單元的內容包括：向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標表示、向量應用.

分析課程標準的上述表述，可以得出如下認識：

第一，向量是描述幾何圖形的基本工具，首先應讓學生理解這是一種怎樣的工具，掌握它的語言、方法；

第二，向量是一種量，類比數量的研究經驗，需要研究它的運算，有了運算才能用來刻畫幾何對象，否則它就只是一個“路標”；

第三，幾何圖形組成元素的相互關系(位置關系、大小關系)就是它的基本性質，所以如何用向量表示幾何基本元素是首先要解決的問題，這就是向量基本定理及其坐標表示關注的問題；

第四，向量應用范圍非常廣泛，但在高中，學習用向量法解決幾何問題是基本任務.

2 內容與要求

2.1 向量概念

(1)通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.

(2)理解平面向量的幾何表示和基本要素.

2.2 向量運算

(1)借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義.

(2)通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算規則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含義.

(3)了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義.

(4)通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積.

(5)通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.

(6)會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.

2.3 向量基本定理及坐標表示

(1)理解平面向量基本定理及其意義.

(2)借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.

(3)會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算.

(4)能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角.

(5)能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件.

2.4 向量應用與解三角形

(1)會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用.

(2)借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.

(3)能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.

可以發現，課程標準按照“背景——概念——運算——聯系——應用”的結構給出內容和要求，邏輯清晰、要求明確.

3 本單元的認知基礎分析

本單元內容對學生而言是全新的，“既有方向又有大小的量”在以往的數學學習中沒有正式接觸過，但他們從許多途徑積累了學習向量所需要的認知基礎.無論對教材編寫還是對教學，追溯一個數學內容的認知基礎，都是為了明確教學的出發點.因此，我們應把它放到其所在的知識系統中進行分析.

從哪些角度分析本單元的認知基礎呢？顯然，我們應該從向量這個研究對象的特點入手.

首先，向量是代數研究對象，所以代數學習中積累的知識經驗是向量的認知基礎之一，具體而言是運算對象的抽象與表示、運算體系的建立、通過運算解決問題的思想方法.所以，本單元內容的處理要始終強調通過類比數及其運算學習向量及其運算.

第二，向量是幾何研究對象，所以在幾何學習中積累的知識經驗是向量的另一個認知基礎，具體而言是幾何對象的抽象與表示、圖形性質的內涵與發現等等.特別是，向量運算法則、運算律都有明確的幾何意義，而且是以平面幾何的相關定理作為邏輯基礎的.例如，向量加法的定義、交換律以平行四邊形的性質定理為基礎，數乘向量的分配律以相似三角形的性質定理為基礎，數量積的定義、運算律以勾股定理(余弦定理)為基礎等等.

第三，向量集數與形于一身，所以在研究過程中始終要從數與形兩個角度考慮，從向量的表示，到向量的運算定義和性質，都是如此.向量是一個數形融合的工具，在應用向量解決問題時(高中階段主要是幾何問題，如推導正弦定理、余弦定理等)，具有獨特優勢，但這是學生以往經驗中不具備的.所以，“向量法”的奧秘需要我們有意識地引導學生加強體驗.

第四，學生初次接觸用向量的語言表示幾何中的定性關系(例如直線、平面的平行、垂直)、定量關系(例如比例關系、三角形定理、平行四邊形定理)，對于其中蘊含的數學思想需要在解決問題的過程中逐步領會.學習語言的最好方法就是用語言去表達，要通過適當的解題訓練，讓學生形成用向量語言表達數學問題的習慣.

第五，向量的概念、運算都有明確的物理背景，力、速度、位移、功等都是學生已經學習過的，這為本章的學習打下了很好的基礎.

4 內容的理解與教學思考

4.1 向量是一個怎樣的數學對象

理解研究對象是數學學習的首要一環，我們常說“理解基本概念”，其含義首先是理解研究對象.

課程標準指出，向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象.由此，我們可以從這兩種對象的特征入手做一些分析.

首先，幾何對象是圖形(點、線、面、體)和圖形的關系.向量作為幾何對象，主要是向量的幾何表示，用向量的語言表示空間圖形的概念、性質、關系和變換等，這就賦予了向量的幾何屬性.

其次，代數對象是數量和數量關系，代數的核心是運算.向量作為代數對象，是指向量作為一個運算對象，就要研究關于向量的運算法則和相應的運算律，以及通過向量運算解決數學和現實的問題.

4.2 向量是怎樣的基本工具

課程標準認為，向量是描述幾何圖形的基本工具，這個工具有什么特點呢？

首先，向量集數與形于一身，因此數形結合成為它的內在之意.利用它可以方便地為代數(特別是線性代數)建立幾何直觀，同時也可以通過代數運算(向量運算)研究幾何規律.因此，向量是數學研究中的一個基本工具.

其次，向量集大小與方向于一身，為解決數學中最本質的問題——度量，包括長度、角度，提供了有用、好用的工具.

第三，向量及其運算都有明確的物理背景，所以也是解決實際問題的重要工具.

4.3 如何構建向量的研究路徑

盡管向量也是幾何研究對象，但對它的研究是按代數對象的研究路徑展開的，在此過程中通過對向量運算、運算律的幾何意義的研究以及用于解決幾何問題來體現其幾何屬性：背景引入——向量的概念與表示——向量的運算、運算律及其幾何意義——向量基本定理及坐標表示——向量應用.其中，向量基本定理處于向量理論與應用的聯結點位置.

4.4 關于向量概念的教學

(1)引入向量概念要注意什么？

數學概念的引入要講背景.向量概念的引入，背景材料的選擇上要注意如下幾點：

典型性：位移、力、速度是典型的、學生熟悉的既有大小也有方向的量；

豐富性：要盡量舉不同領域的例子；

比較性：為了使概念清晰、可辨，比較是一個好方法，所以要提供比較對象，這里是以數量為比較對象，通過比較領悟向量的要素.

(2)向量概念的抽象要完成哪些事？向量的表示要“表示”什么？

這是向量概念教學要考慮的基本問題.向量概念的抽象按“共性特征的歸納——定義——表示——基本性質”的套路進行：

定義，要給出向量的內涵，規定向量相等的含義.這里，通過定義明確研究對象的內涵，由此可以判斷一個元素是否屬于研究對象的集合.對于一個集合，我們要求其元素具有互異性，但對集合中的元素個體而言，其具體屬性是多樣化的，因此必須在定義對象的時候明確“相等”或“相同”的含義，由此也清楚了我們到底關心什么.由向量相等的定義知道，我們最關心的是“大小”和“方向”.我們知道，對線段、角的度量是幾何的本質所在，而向量的大小本質上就是線段的長度，兩個向量的方向差別就是它們所成角的大小，向量的這種特性使向量成為表示幾何圖形的基本工具.

向量的基本性質，在定義一個研究對象時，我們總是要通過對基本性質的研究，進一步認識這個研究對象.“基本性質”是指對象要素之間的基本關系.這里可以引導學生思考：數的基本性質就是數的大小關系，向量的基本性質是什么？

從“大小”看，就是向量長度的大小，與數的大小關系類似，所以不必專門研究；

從“方向”看，由“特殊關系”入手(這是討論基本性質的基本著眼點)，有“同向”、“反向”和垂直，得到平行向量、共線向量等關系.

歸納起來，向量概念的教學就是要讓學生完成①定義向量概念，②認識“平面向量集合”中的元素，可以概括為如下流程：

現實背景(力、速度、位移等)——定義——表示(圖形、符號、方向、大小)——特例(零向量、單位向量)——性質(向量與向量的關系，相等是最重要的關系；重點考慮“方向”，得出平行向量、共線向量、相反向量等).

(3)為什么“向量是自由的”？

向量刻畫了現實事物的兩個最基本屬性——大小和方向，兩個向量如果方向相同，那么它們平行，而平行具有可傳遞性，所以向量可以“自由平移”.自由的向量才有力量！例如，如果向量不自由，那么“三角形法則”和“平行四邊形法則”就無法統一.由向量“自由性”，我們可以把向量平移，使所有向量的起點都與原點重合，這就可以使向量進一步代數化，將給問題的討論帶來方便.

4.5 定義向量運算應遵循怎樣的原則

如何定義帶有方向的量的運算？

類比數及其運算的研究，引進一種量就要定義運算，定義一種運算就要研究運算律.

根據定義數的運算的經驗，定義一種運算要講合理性，具體體現在兩個方面：數學內部的和諧性，即要符合運算的一般規律；與現實背景相吻合，即要反映現實中相應事物的規律性.

另一方面，位移、速度、力等是向量的現實背景，位移的合成、物體受力做功等反映了現實事物運動變化的客觀規律性，定義向量運算法則應該與這些規律具有一致性.正因為如此，在定義向量運算法則時我們總是從相應的物理背景出發，從中得到啟發并給出定義.

4.6 關于向量的加減

(1)如何說明向量加減運算法則的合理性？

定義向量的加減運算，關鍵是解決“方向的加減”.對照物理背景可知，加法的最佳背景是位移的合成、力的合成，分別對應于三角形法則和平行四邊形法則；減法的最佳背景是物體受力平衡.

圖1

圖2

由此可以得到：

由圖2還可得：

于是

所以，把向量減法定義為“減去一個向量等于加上它的相反向量”，符合數學內部的和諧性、與客觀世界規律無矛盾的要求.

根據向量加法、減法的定義，對于△ABC，我們有：

上述(*)式稱為“三角形回路”，可以推廣為

這一“向量回路”在解決幾何問題時有基本的重要性.

(2)如何引導學生發現和提出運算性質？

學生對運算律是熟悉的，但他們可能并不知道為什么一定要研究運算律，對其重要性沒有多大感覺.究其原因，一是運算律基本上就是“常識”，屬于不學也會的知識；二是其重要性要在代數的理論構建中才能顯示出來，對學生而言還沒有到這個時候.對于這種觀念性的東西，教師要從數學的嚴謹性角度加強引導.

運算性質與運算對象的特征有直接關系.因為向量有大小(代數)和方向(幾何)兩個要素，所以運算性質也要從代數和幾何兩個方面來考慮.

首先，類比數的加法運算律，容易想到向量加法的交換律、結合律，利用定義就可以驗證.教學實踐表明，有的學生不知道到底要驗證什么，他們往往機械地畫出兩個圖形(如圖3)：

圖3

另外一點是學生不太清楚加法的交換律與平行四邊形性質之間的邏輯關系(其實有的老師也不清楚)，這里要讓學生思考一下這個問題，使他們明確，加法交換律是平行四邊形性質的代數表示.也就是說，交換律的成立是以平行四邊形性質為邏輯基礎的：如圖4，根據平行四邊形的性質，有

圖4

由向量加法定義，有

所以

這里再次強調，因為向量集大小與方向這兩個最基本的幾何要素于一身，所以向量運算及其運算律也必然反映了最基本的幾何性質，因此向量是描述和研究幾何圖形的基本工具.對此，人教A版在本單元的小結中進行了總結.形成這樣的觀念是具備數學學科核心素養的表現，教師應有意識地進行引導.

對運算律幾何意義的考察，立足點在運算.直接從幾何角度看運算，可以從兩個向量的特殊關系入手，發現如下問題值得研究：共線向量的加法有什么特殊性，不共線時有什么幾何特征.

對于共線向量的加法，實際上和實數的“代數和”完全一致，人教A版讓學生自己探究這個問題，可以培養學生聯系的觀點、分類討論的能力.

當a，b不共線時，|a|，|b|，|a+b|構成三角形的三邊，可得三角形不等式.

4.7 數乘向量

(1)數乘向量運算律的邏輯基礎是什么？

數與向量相乘，是兩個不同數學對象之間的運算，運算結果是向量.也就是說，這里的“主角”是向量，為什么呢？

類比“自然數的乘法是自相加的縮寫”，可以提供直觀背景：n個向量a相加的和定義為na，即

另外，(-n)a=n(-a)=-(na)，這可以根據相反向量的意義進行說明.

由上述定義，可以驗證下列運算律：

Ⅰ.ma+na=(m+n)a；

Ⅱ.m(na)=(mn)a；

(*)

Ⅲ.na+nb=n(a+b).

在上述定義下，可以證明運算律(*)依然成立.

最后，像從有理數集拓展到實數集一樣，我們可以將數的范圍擴展到實數，得到a的任意實數倍λa，而且運算律(*)仍然成立.

這里要特別提醒注意，運算律λ(a+b)=λa+λb，它的本質就是相似三角形對應邊成比例定理的代數化形式：

圖5

所以，數乘向量分配律的邏輯基礎是相似三角形定理.

(2)如何理解向量共線定理？

人教A版先給出向量共線定理：

設a是非零向量，則向量b與a共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使b=λa.

然后說：設非零向量a位于直線l上，那么對于l上的任意一個向量b，都存在唯一一個實數λ，使b=λa.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.([2]，p.15)

實際上，這就是“一維向量基本定理”.在此基礎上，我們可以給出相應的坐標表示，這與平面向量基本定理及坐標表示是一樣的.

因為一維向量基本定理及其坐標表示非常直觀，人教A版為了削支強干而沒有詳細討論這一內容.但教學中可以讓學生研究一下這個內容，讓他們通過數軸上的單位向量，建立數軸上的向量與數軸上點的坐標之間的一一對應關系，既作為共線向量定理的應用，又為平面向量的坐標表示打下基礎.

4.8 向量的數量積

從前面的討論可以看到，向量的線性運算有實數運算的“影子”，共線向量的線性運算本質上就是實數的運算，但兩個向量的乘法與數的乘法差異很大.數學中定義了兩種向量乘法，一種是向量的數量積(也稱內積、點乘)，結果是一個實數；一種是向量的矢量積(也稱外積、叉積)，結果是一個向量.它們都有明確的物理意義和幾何意義.

(1)如何理解

向量數量積的物理背景是力對物體做功，即力F作用在物體上，并使物體在力的方向上產生位移s，這個力對物體做了功，其大小是W=|F||s|cosθ，其中Fcosθ是力F在位移s方向上的投影，θ是向量F與s的夾角.

受此啟發，定義向量的數量積概念：兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數量積，記為

a·b=|a||b|cosθ.

規定：零向量與任一向量的數量積為0.

顯然，|a|cosθ是向量a在b方向上的投影，|b|cosθ是向量b在a方向上的投影.

數量積的上述定義，與物理規律相吻合，與數的乘法法則也不矛盾：

設a，b是共線向量，那么θ=0或π.θ=0時，a·b=|a||b|；θ=π時，a·b=-|a||b|.這與“同號兩數相乘得正，異號兩數相乘得負”是異曲同工的.

(2)如何研究數量積的幾何意義？

從定義可以直接發現，數量積的幾何意義表現在向量的長度和夾角兩個方面.如何研究幾何意義呢？與研究向量線性運算的幾何意義一樣，我們從特殊情形(要素的特殊化、關系的特殊化)入手.觀察定義，特殊情形包括：

①兩個向量有一個取“特殊值”單位向量，如b=e，則有

a·e=e·a=|a|cosθ，

這實際上就是一個向量在另一個方向上投影的數量.

②兩個向量的方向有特殊關系，包括

i)當a⊥b時，a·b=0；

③由定義可得

這實際上就是余弦定理.由|cosθ|≤1還可以得到

④|a·b|≤|a||b|，這就是三角形不等式.

⑤我們對數量積做如下變形(要用分配律)：

這里a，b，a+b是三角形的三邊.由此可見數量積與三角形的三條邊長|a|，|b|，|a+b|之間的關系.

(3)數量積的運算律有什么重要意義？

類比數的乘法運算律，可以提出數量積是否也有運算律的問題.已知向量a，b，c和實數λ，由向量的數量積定義可以推出下面的運算律：

①a·b=b·a；

②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；

③(a+b)·c=a·c+b·c.

運算律的證明不難，關鍵是要讓學生在運用中逐步明白它們的價值.例如，利用分配律可以得到：

(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2，

這是平行四邊形的一條性質，用向量數量積的分配律非常容易地得到了證明.而用向量法研究幾何圖形的度量性質，主要依靠數量積的分配律.

4.9 向量基本定理及坐標表示

(1)向量基本定理“基本”在哪里？

在中學數學里，冠以“基本”的定理不多見，足見這一定理的重要性.如前所述，因為這一定理給出了用向量表示平面上任意一點的充要條件，所以從理論上講，我們就可以憑借它將平面圖形的基本元素作出向量表示，這樣就可以通過向量運算解決任何幾何問題.

利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質和基本定理的運用轉化成為向量運算律的系統運用，其要點是：

圖6

點——根據向量的自由性，選平面內的一個點O為“基準點”，以O為向量的起點，這時就可以建立起向量的終點與平面內的點之間的一一對應關系.當然，這個對應與O點的選取有關，如圖6：

直線——一個點A、一個方向a就定性刻畫了一條直線.引進數乘向量ka，那么直線上任意一個點就可以用實數定量表示，進而得到一維向量的坐標表示.

平面——一個點A、兩個不平行(非0)向量a，b在“原則”上確定了平面(定性刻畫，這與“兩條相交直線確定一個平面”有異曲同工之效)，因此把{a，b}叫做平面的一個基底.引入向量的加法a+b，結合數乘向量(向量伸縮)，平面上的任意一點X就可以表示為λa+μb，從而成為可定量運算的對象.

(2)給定一個基底，平面上的任意一個向量就可以由它唯一表示.怎樣的基底更好用？

設{ex，ey}是一個單位基底，ex，ey的夾角為θ.我們有

這就可以把點的向量表示和平面直角坐標系中的有序數對建立一一對應關系.也就是說，在平面直角坐標系中，我們不但可以用坐標(x，y)標記平面上點的位置，而且也可以用坐標表達平面上的向量：

在x軸、y軸上分別取與坐標軸方向相同的單位向量i，j，以{i，j}為基底，這時我們有

i·i=j·j=1，i·j=j·i=0.

如圖7所示，對坐標平面內的任意一個向量a，因為向量是自由的，所以可以想象它的起點在原點.由向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a=xi+yj.

圖7

這樣，平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，而且有序數對(x，y)恰好就是向量a的終點坐標，這就是平面直角坐標系中向量與點的坐標之間的一一對應關系.其中，

i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).

x，y分別叫做向量a在橫軸和縱軸方向的分量.

(3)為什么要研究向量的坐標表示？

一個明顯而主要的理由是，利用向量的坐標表示，可以把向量的運算化歸為其分量的運算，這樣就實現了用向量表示幾何基本元素，通過實數運算研究幾何圖形和圖形的關系，從而也就徹底實現了幾何對象的代數化.用代數方法刻畫幾何對象，進而用代數方法論證幾何關系，其中間橋梁就是向量.具體而言我們有：

設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ為實數，θ是a與b的夾角，那么

(i)a+b=(x1+x2，y1+y2)；

(ii)λa=(λx，λy)；

(iii)a·b=x1x2+y1y2.

由向量運算的坐標表示，可以得出許多有用的結論，例如：

(i)當且僅當x1y2-x2y1=0時，向量a，b(b≠0)共線；

(iii)P1(x1，y1) ,P2(x2，y2) 兩點間的距離公式：

(iv)夾角公式：

5 幾何中的向量法

5.1 向量法有哪些特點

其次，向量法是利用運算律、通過向量運算解決幾何問題，而代數運算是程序化的，這和平面幾何中用演繹法、通過邏輯推理解決問題的味道大不相同.實際上，平面幾何中證明問題并沒有通用方法.

第三，向量法中使用的幾個“一般定理”是：向量加法法則及運算律；向量數乘的意義及其運算律；向量數量積的意義和運算律；向量基本定理.

綜上可見，這幾個“一般定理”對最基本的幾何圖形性質作出了向量表達，從而也就奠定了解決幾何問題的基礎.由此出發，利用向量表達基本幾何元素，通過向量運算解決問題，而運算的過程實際上就是利用基本幾何圖形性質的過程.所以我們說，向量集數與形于一身，向量運算既是數的運算，也是“圖形的運算”，根據圖形的基本特征，利用圖形中元素的基本關系列出向量等式，使計算與圖形融為一體，這是體現向量法解題特點的關鍵.

5.2 關于余弦定理、正弦定理的證明方法

課程標準提出：“借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.”根據這個要求，人教A版采用向量法證明這兩個定理.可以發現，用向量法證明余弦定理非常簡捷(但不容易想到)，而用向量法證明正弦定理則非常繁瑣(這也說明，在解決具體問題時，向量法并不總是最優方法).另外，從向量的應用切入“解三角形”的課題也不夠自然.

如何自然而然地引入“解三角形”課題呢？

首先，這個課題的起點在初中平面幾何的全等三角形判定定理(初中教科書成為“基本事實”).由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形狀、大小已經由這三組要素分別唯一確定.這是定性的結論.

數學的研究往往是先做定性探究，再做定量分析.這是一個由表及里、逐步精確、精益求精的自然進展.從定量的角度看，上述三個定理表明，三角形的任意元素可由這三組要素分別唯一確定，即三角形的三邊邊長、三個內角的角度、面積、高、外徑、內徑等等幾何量都可以用這三組要素分別表示，這些幾何量之間存在的基本函數關系就是三角定律.那么，如何推導這些基本關系？

(1)正弦定理的推導

三角形面積是基本而重要的，由SAS容易知道，對于△ABC，設A，B，C所對邊分別是a，b，c，那么：

簡單變形即得正弦定理.由正弦定理直接可得ASA的解.

因為面積是基本而重要的幾何量，三角形面積公式很容易得到，而正弦定理就是面積等式的推論，因此正弦定理的推導應首選這個方法.

另外一種常用方法是從銳角三角函數出發建立正弦定理的猜想，然后給出證明，而證明又化歸到直角三角形中去.這里需要注意的是如何使猜想來得自然，其要點是抓聯系的紐帶，即在

①

中以c為紐帶，將兩者聯系起來，得到

②

再利用sinC=1，從形式的統一性上將上式改寫為

③

人教A版在引導學生猜想的過程中強調了如下幾點：

第一，①中的邊角關系對一般三角形是不成立的；

第二，①的兩個關系式有共同要素，由此可以建立聯系，得到一個新的邊角關系式；

第三，表達形式的改變，使其變得具有對稱性，和諧優美的表達恰恰反映了三角形的本質特征，可以看成是“對稱支配力量”的體現.

在科學發展史上，以對稱美、和諧美、統一性等為指導思想，從理論上先猜想結論，再通過實踐證實的事例很多.上述做法可以理解為使學生認識數學的文化價值、審美價值的一個小小舉措.

(2)余弦定理的推導

圖8

從“自然”的角度看，在利用圖8，通過asinB=CD=bsinA等證明正弦定理的基礎上，繼續利用它得出

c=bcosA+acosB.

①

同理有

a=ccosB+bcosC，

②

b=acosC+ccosA.

③

解方程組①②③即可得出余弦定理.

這個證法運算比較復雜，并且需要分銳角三角形和鈍角三角形討論.能不能改進方法，使證明簡捷一些呢？

6 教學建議

向量的數學內涵深刻、有明確的物理背景，是一種有用的數學語言，是數形結合的強有力工具.本單元的教學有兩個基本任務，一是讓學生理解這種語言，二是讓學生通過用向量語言、方法表述和解決平面幾何問題，初步掌握向量法，形成用向量的習慣.中學階段主要通過解決幾何問題，讓學生體悟向量法的簡捷，感受向量的力量.

6.1 向量的教學中存在的主要問題

(1)對向量及其運算的理解還不夠到位，特別是對“向量集數與形于一身”的含義、“方向”的重要性及其數學表達的意義、用向量研究圖形位置關系和數量關系的優勢等缺乏必要的思考.

(2)沒有反映向量法的本質，披著向量法的外衣，實際上還是綜合幾何的方法.

(3)把向量法中的代數化曲解為“坐標運算”，窄化了向量法的應用范圍.

為此，我們需要加深對“方向”的重要性的認識，加強從四個“一般定理”出發思考和解決問題的教學，加強“代數運算”和“圖形運算”的結合.

6.2 加強學科之間的聯系

向量的概念、運算都有明確的物理背景，因此向量的教學必須引導學生借助物理背景，如：

位移、速度、力等——向量的定義與表示；

位移的合成——向量加法的三角形法則，力的合成——向量加法的平行四邊形法則；

物體受力平衡——相反向量、向量的減法法則；

物體受力做功——向量的數量積；

力的分解——平面向量基本定理、“基底”概念和向量的坐標表示.

另外，還要加強應用向量解決物理問題，從而使學生體會向量與實際的聯系.

6.3 加強數學內部的聯系與綜合

由內容本身所決定，向量的學習必須注重形與數的結合.應該在一開始就采取措施讓學生養成從形與數兩方面看向量、用向量的習慣：

向量的概念與表示，相伴相隨的是大小、方向、有向線段表示、代數表示，建立向量的直觀形象和代數抽象表達；

建立向量的運算體系，“運算法則”和“幾何定理”、“運算律”和“運算的幾何性質”都是融合一起的；

向量投影、投影向量，向量基本定理的幾何直觀與代數表達；

用向量解決幾何問題，對象是幾何圖形及其關系，方法是代數運算；等等.

6.4 加強類比，按研究一個數學對象的基本套路展開有序教學

與數及其運算的研究進行類比，與對一個幾何圖形的研究套路進行類比，形成向量的研究內容與架構、基本路徑、基本方法等等.

通過與數及其運算的類比，得出整體架構：運算對象——運算法則——運算性質——聯系與綜合——應用；

通過與研究幾何圖形的類比，得出整體架構：向量的圖形表示——向量運算的幾何意義(性質)——幾何圖形元素與關系的向量表示——通過向量運算研究幾何圖形的性質與度量；等等.

6.5 在一般觀念指導下展開研究

在本單元的教學中，要引導學生思考和體會一些基本問題，例如：

如何抽象一個運算對象，定義一個運算對象要完成哪幾件事情；

引入一種量就要研究關于它的運算，定義一種運算就要研究運算律；有了運算，向量的力量無限；沒有運算，向量只是一個路標；

向量運算的幾何意義(幾何性質)，就是與特殊向量相關的運算、兩個有特殊關系的向量的運算所表現的特殊性；

向量基底表示向量中體現的數學思想，特別是單位正交基的使用；

向量法——先用幾何眼光觀察，再用向量法解決；等等.

6.6 加強用“幾個一般定理”解決問題的訓練

向量的加法法則、數乘向量、向量的數量積和向量基本定理等幾個“一般定理”的靈活應用需要一定的訓練，要讓學生養成用向量思考和解決幾何問題的習慣.

三角形、平行四邊形是最基本的幾何圖形，平行、垂直是最基本的關系，幾個“一般定理”是對這些基本圖形和基本關系的向量表達.要注意利用這幾個“一般定理”，加強用向量的語言和方法處理平面幾何中基本問題的訓練.例如，線段的定比分點，余弦定理、正弦定理的發現與證明，三角形的“心”的性質，平行四邊形中邊、對角線之間的關系，等等.

6.7 關于投影向量

投影向量是本次課標修訂中引入的概念.

圖9