關于整環上保持逆矩陣的函數

戴嬌鳳，譚宜家

(福州大學 數學與計算機科學學院，福州 350108)

保持問題是矩陣代數中的重要研究內容之一，它在系統控制、微分方程等領域有著廣泛的應用.最早的保持問題出現在1897年，G·Frobenius研究了域上矩陣空間保持行列式的線性算子，獲得了n×n復矩陣空間Mn(C)上保持行列式的線性映射f的形式：?A∈Mn(C)，f(A)=PAQ或f(A)=PATQ，其中:P,Q為Mn(C)中的可逆矩陣，且det(PQ)=1，這里C是復數域(參見文獻[1]).

之后，多位學者研究了有關矩陣代數中的保持問題，取得了豐富的研究成果[2-13].2011年，Yao 等[14]研究了保持某種矩陣性質的函數，開辟了研究保持問題的一個新的方向.最近，樊玉環和袁海燕[15]刻畫了域上全矩陣空間保持逆矩陣的函數的形式.本文在上述基礎上進一步探討整環上全矩陣空間和上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數，所得結果推廣了文獻[15]的重要結論.由于整環中的非零元不一定可逆，本文的證明方法與文獻[15]有所不同.

1 基本概念與符號

本文中, 如無特別說明，R表示一個含有單位元1的結合環.

一個環R稱為整環，如果?a，b∈R，由ab=0可推出a=0 或b=0，這里0表示環R中的零元.顯然，如果R為整環，那么?a，b，c∈R，a≠0，由ab=ac(或ba=ca)可推出b=c.

設f是R到自身的一個映射，Mn(R)和Tn(R)分別是R上n階矩陣空間和n階上三角矩陣空間.?A∈Mn(R)(或?A∈Tn(R))，定義f(A)=(f(aij)).

定義1 設f是R到自身的一個映射，如果?a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，則稱f是環R的一個自同態.

定義2 設f是R到自身的一個映射，如果?A、B∈Mn(R)(或?A、B∈Tn(R))，由AB=En可推出f(A)f(B)=En，則稱f是R上n階矩陣空間(或n階上三角矩陣空間)的保持逆矩陣的函數, 這里En表示n階單位矩陣.

2 主要結論

定理1 設R是一個整環,f:R→R是一個映射,n(n≥3)是一個整數,則下列條件等價

1)f是R上n階矩陣空間Mn(R)的保持逆矩陣的函數；

2)f是R上n階上三角矩陣空間Tn(R)的保持逆矩陣的函數；

3)f=f(1)δ，其中f(1)2=1，δ是R的非零自同態.

證明：1)?2)顯然.

2)?3)：對于任意x∈R,設

因為f為保持逆矩陣的函數，所以

從而有

f(1)2+f(x)f(0)+(n-2)f(0)2=1

(1)

f(1)2+(n-1)f(0)2=1

(2)

f(1)f(-x)+f(x)f(1)+(n-2)f(0)2=0

(3)

由式(1)、(2)知f(x)f(0)=f(0)2.

如果f(0)≠0，則f(x)=f(0)(因為R是整環)，即對于任意x∈R，均有f(x)=f(0).那么由式(2)得nf(0)2=1,而由式(3)得nf(0)2=0,矛盾，故f(0)=0.因此式(2)變為f(1)2=1，于是f(1)=1或f(1)=-1(因為R是整環)；同時式(3)變為f(1)f(-x)+f(x)f(1)=0，于是f(-x)=-f(x).

進一步，對于任意x,y,z∈R,我們設

那么B1B2=En.

因為f為保持逆矩陣的函數，并且f(0)=0 ，f(-x)=-f(x)，所以

于是, 對于任意x,y,z∈R,均有

f(1)f(xz-y)-f(x)f(z)+f(y)f(1)=0

(4)

如果f(1)=1, 則式(4)變為

f(xz-y)=f(x)f(z)-f(y)

(5)

在式(5)中令y=0,則有f(xz)=f(x)f(z)(因為f(0)=0)；在式(5)中令z=-1,則由f(-x)=-f(x)得f(x+y)=f(x)+f(y).所以f是R的一個非零自同態.

再令δ=f，則f=f(1)δ，并且δ是R的非零自同態.

如果f(1)=-1， 則式(4)變為

-f(xz-y)=f(x)f(z)+f(y)

(6)

現令δ=-f，則δ(1)=1，δ(0)=0，δ(-x)=-δ(x)，此時式(6)變為δ(xz-y)=δ(x)δ(z)-δ(y)，同理可得δ(xz)=δ(x)δ(z)，δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，所以δ為R的非零自同態.至于f=f(1)δ是顯然的.

3)?1)：設f=f(1)δ，其中f(1)2=1，δ是R的非零自同態.因為R是整環，所以f(1)=1或f(1)=-1.如果f(1)=1，那么f=δ.此時f是R的非零自同態，所以f(0)=0.

現設A=(aij)，B=(bij)∈Mn(R)，且AB=En，則有

于是

f(A)f(B)=(f(aij) )n×n(f(bij) )n×n=

f(AB) =f(En)=En.

如果f(1)=-1，那么f=-δ，δ是R的非零自同態，此時

f(A)f(B)=(-δ)(A)(-δ)(B)=δ(A)δ(B)=δ(AB)=δ(En)=En.證畢.

由于任何域是整環，并且域上任何非零自同態為單自同態，在定理1中令f(1)=c.那么由定理1的(1)和(3)，我們有

推論1[15]f是域F上n(n≥3)階矩陣空間的保持逆矩陣的函數的充要條件是f=cδ，其中c=±1，δ是域F的單自同態.