例談高中數學解題教學的原則

廣東省河源市源城區東埔中學(517000)廖新紅

美籍數學教育家波利亞有一句膾炙人口的名言:“掌握數學就是意味著善于解題”.對于學生而言,解題是學好數學的重要途徑;對于教師來說,解題教學是數學教學的重要組成部分.通過聽課學習及研討,我們發現,不少高中學校的數學解題教學存在以下突出問題:

(1)題目的選擇過難,超出了學生的知識現狀.

(2)有些老師給出題目后,留給學生嘗試求解的時間嚴重不足.

(3)有些教師往往只講解題過程,忽略了向學生介紹自己的思路以及解題的程序.

(4)解題教學后反思不夠.

實際上,高中數學教師在解題教學中應當遵循一些基本原則,才能使學生在數學解題課堂上學得輕松明了,不至于云山霧罩、似懂非懂.下面,本人通過例題探索高中數學解題教學的一些基本原則.

1 探索高中數學解題教學的基本原則

1.1 選題優化原則

選題優化原則,是指課堂教學所選取的例題、練習題和作業題,應有啟發性,并能層層遞進,能突出通性通法,利于強化重點、突破難點、矯正誤點,從而符合優質選題要求的解題教學原則.

例1(2018年高考天津卷理科第15 題)在ΔABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bsinA=.

(1)求角B的大小;

(2)設a=2,c=3,求b和sin(2A?B)的值.

這道例題考查正、余弦定理,兩角差的正、余弦公式及二倍角的正、余弦公式這些重要知識點.這道例題的選擇,體現了高考真題的綜合訓練價值,能突出解三角形中常見的邊化為角的轉化與化歸的通性通法,有利于強化解三角形一章中的重點內容“正弦定理與余弦定理”,更能突破“解三角形與三角恒等變換有機綜合”的難點,同時還能矯正一個“由就直接得出”的誤點.選擇這道題作為高三復習課的例題,符合選題優化原則,有利于提高解題教學的有效性.

選題優化原則,是高中數學解題教學的首要原則.在數學教學中,“教什么”遠比“怎么教”和“教如何”更重要.

1.2 嘗試性原則

嘗試性原則,是指在課堂解題教學中,在老師講解一道題之前,提前讓學生先嘗試求解幾分鐘(也可提前一天讓學生先做)獲得解題感知或解題經驗,這種先練后講,練在講之前的解題教學原則稱為嘗試性原則.

嘗試性原則,能增加學生的基本活動經驗,可防止教學的突兀性,提升解題教學效果.

1.3 暴露性原則

暴露性原則,是指在課堂解題教學中,教師要向學生主動暴露自己的解題思路且自然而清晰,從而引導學生學會思考的解題教學原則.

例2(2018年遼寧高三模擬理科第21 題)函數f(x)=xex?lnx?ax.

(1)若函數y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線y=2(e?1)(x?1)平行,求實數a的值;

(2)若函數y=f(x)在[1,+∞)上單調遞增,求實數a的取值范圍;

(3)在(1)的條件下,求f(x)的最小值.

暴露性原則,有利于將教師的所思、思維受阻時的解決途徑詳細地為學生呈現出來.教師在解題教學中遵循暴露性原則,有利于教會學生思考,比單純的呈現解題過程更有利于發展學生的思維.

1.4 程序性原則

程序性原則,是指課堂解題教學中,要向學生概括(或由學生概括)解某一道題的大致步驟的解題教學原則.

例3(2019年高考全國I 卷理科第18 題)如圖1,直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.

圖1

(1)證明:MN//平面C1DE;

(2)求二面角A?MA1?N的正弦值.

老師在講解這道題的過程中,應向學生概括出(或由學生概括出)解答本題的大致步驟.

比如完成本題第一問分三步進行:第一步連接B1C與ME,由三角形的中位線定理證出ME//B1C;第二步由及點N為A1D的中點證出于是得出四邊形MEDN為平行四邊形,隨后證出MN//ED,第三步由直線與平面平行的判定定理證出MN// 平面C1DE.

完成本題第二問分四步進行:第一步由底面ABCD為菱形及∠BAD=60°推出ΔABD為等邊三角形,再由點E為BC的中點及ΔCBD為等邊三角形推出∠BDE=30°,從而AD⊥DE,再由直棱柱的定義得出D1D⊥底面ABCD,從而D1D⊥AD,D1D⊥DE,這樣為建立空間直角坐標系創造了完備的條件;第二步以點D為坐標原點,以的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖2 所示的空間直角坐標系D?xyz,然后寫出四個點A,M,A1,N的坐標及向量的坐標;第三步分別求出平面A1MA和平面A1MN的法向量;第四步利用法向量法求出二面角A?MA1?N的余弦值和正弦值.

圖2

在數學解題教學中,教師經常運用程序性原則,能逐步提升學生的歸納概括能力,培育學生數學解題的邏輯性,從而循序漸進地提升學生數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

1.5 直觀性原則

直觀性原則,是指課堂解題教學中,教師應盡可能借助信息技術或直觀操作演示或畫圖形將抽象的知識,直觀化地呈現在學生面前的解題教學原則.

例4(2019年高考全國I 卷文科第20 題)已知函數f(x)=2 sinx?xcosx?x,f′(x)為f(x)的導數.

(1)證明:f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點;

圖3

這時可作出f′(x)的準確圖像,如圖4,加以驗證.

圖4

(2)因為當x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,且f(π)=0,所以a≤0.由(1)知f′(x)在(0,π)內只有一個零點.設此零點為x0,則當x ∈(0,x0)時,f′(x)>0;當x ∈(x0,π)時,f′(x)<0.所以f(x)在(0,x0)上單調遞增,在(x0,π)上單調遞減.又f(0)=0,f(π)=0.

這時老師可以結合上述信息畫出函數f(x)的大致圖像,如圖5.結合圖像容易得出當x ∈[0,π]時,f(x)≥0 的結論.又當a≤0,x ∈[0,π]時,ax≤0,能使f(x)≥ax.

圖5

同時畫出y=f(x)及y=ax的大致圖像,如圖6.故a的取值范圍是(?∞,0].

圖6

在數學解題教學中,教師遵循直觀性原則,能將抽象的數學問題直觀化,促進了信息技術與數學教學的深度融合,降低了學生聽課的難度,提升了學生直觀想象的數學核心素養,很好的體現了數形結合的數學思想方法.

1.6 解后反思原則

解后反思原則,是指課堂解題教學中,老師在解完一道題后要及時地總結或反思本題考查的基礎知識、基本思想方法、基本技巧等,通過總結解題經驗對后續解題起到借鑒作用的解題教學原則.

例5(2018年高考全國I 卷文科第21 題)已知函數f(x)=aex?lnx?1.

(1)設x=2 是f(x)的極值點,求a,并求f(x)的單調區間;

本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值、不等式恒成立問題.本題解答后要注意帶領學生反思,防止“入寶山而空返”,錯失提升良機.可反思以下四點:

(1)若x=x0是函數f(x)的極值點,那么____.對于可導函數y=f(x),“f′(a)=0”是“函數y=f(x)在點x=a處取得極值”的____條件.

(2)用導數法求函數的單調區間的步驟.(不要忽略函數的定義域喔!)

(3)證明函數不等式f(x)≥(或≤)g(x)的方法.

(4)當a≥0 時,討論函數f(x)=(1+ax2)ex?1 的單調性.

當然,解后反思不僅包括解后帶領學生反思,而且包括解后教師在教學方法、教學細節等方面的自我反思.

2 結束語

以上結合實例探索了高中數學解題教學的六個基本原則,由于能力所限,文中難免出現錯誤,懇請專家批評指正.另外,高中數學解題教學可能還有其它的一些原則,懇請專家予以補充.