圓錐曲線中一個完美交點性質的簡證及再探究

安徽省渦陽第一中學(233600)丁猛 賈其源

安徽省合肥市第八中學合肥市蒲榮飛教育名師工作室(230071)蒲榮飛

文[1]探究得到了橢圓中一個完美交點具有如下性質:

性質如圖1,橢圓C:的右焦點為F,右準線l與x軸交于點N,AB為垂直于x軸的動弦,直線AF與BN交于點M,則點M恒在橢圓C上.

然后又將其類比到雙曲線和拋物線,得到

性質1如圖2,圓錐曲線C的焦點為F,該焦點對應的準線l與其對稱軸交于點N,AB為垂直于該對稱軸的動弦,直線AF與BN交于點M,則點M恒在圓錐曲線C上.

圖2

文[2]在此基礎上進行了變式研究,得到

性質2如圖2,圓錐曲線C的焦點為F,該焦點對應的準線l與其對稱軸交于點N,AB為垂直于該對稱軸的動弦,直線AF與圓錐曲線的另一交點為M,則直線BM必過定點N.

針對以上兩個性質,兩文均使用了解析法,證明過程較為繁復.本文擬先給出一種較為簡潔的平幾證法,然后再給出另一個變式性質,供參考.

1 平幾簡證

圖3

圖4

圖5

故由Menelaus 逆定理知B,M,N三點共線.

2 變式性質

對性質1,2 繼續進行變式探究,可以得到

性質3如圖6,圓錐曲線C的焦點為F,該焦點對應的準線l與其對稱軸交于點N,過焦點F的直線與曲線C交于A,M兩點,直線MN與過點A且與對稱軸垂直的直線交于點B,則點B恒在圓錐曲線C上.

圖6