對一道創新性題目的思考與探究

廣東省揭陽市揭東區第二中學(515500)楊邦彬

2019年,教育部出臺了《中國高考評價體系》[1],提出了“一核、四層、四翼”的總體框架,其中:“一核”是高考的核心功能,即“立德樹人、服務選才、引導教學”,回答“為什么考”的問題;“四層”為考查內容,即“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”,回答“考什么”的問題;“四翼”為考查要求,即“基礎性、綜合性、應用性、創新性”,回答“怎么考”的問題.文[2]指出,高考數學科的考試設計應關注探究能力、數學學習能力的考查,通過創新題型,對學生的創新能力進行考查;高考數學的試題情境可分為課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境3 類,其中,探索創新情境包括推演數學命題、數學探究、數據分析、數學實驗等問題情境,關注與未來學習的關聯和數學學科內部的更深入的探索.基于《中國高考評價體系》對試題在創新性方面的要求,在高考備考中,進行了大膽的探索和嘗試,打破常規,命制一些新穎、靈活的題目,以期對學生有較好的引導作用.

文[3]在直線與圓的位置關系中,對開放性試題的形式、閱卷過程發現的問題做了研究.本文就直線與圓的位置關系、直線與圓錐曲線的位置關系,繼續進行挖掘、探究.

典例已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2 的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方.

(I)求圓C的方程;

(Ⅱ)過點M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(點A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由;

(Ⅲ)就本問題,請你嘗試提出有意義的問題并解答.(請注意完整、清晰、簡潔地敘述你所提的問題)

解析(I)圓C的方程:x2+y2=4.(過程從略)

第(Ⅱ)問是探索性問題,求解的關鍵是把幾何問題代數化,即把條件“x軸平分∠ANB”等價轉化為“直線的斜率互為相反數”,然后借助方程思想求解.以下考慮(Ⅱ)的解答.

第(Ⅲ)問是創新題型,對學生的創新能力進行考查.通過開放性提問,由考生自己提出問題并解答,思路開放,現將探究過程整理如下:1.逆命題;2.改變點M的位置;3.改變圓的半徑的大小;4.變換圓錐曲線類型.解答如下:

問題1(逆命題 )圓C的方程:x2+y2=4,過點M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(點A在x軸上方),x軸上存在點N(4,0),x軸是否平分∠ANB?

簡析首先想到的是,交換條件和結論,命題還成立嗎?由此可以提出逆命題.解決方法同典例第(Ⅱ)問,把問題“x軸平分∠ANB”等價轉化為證明“直線的斜率互為相反數”,問題便迎刃而解.(過程從略)

除了提出逆命題,還可以通過改變題目條件提出有意義的問題.

問題2(改變點M的位置)圓C的方程:x2+y2=4,直線l與圓C交于A,B兩點,與x軸交于圓內點M(m,0)(m ?=0),問在x軸上是否存在定點N(n,0),使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出m,n的關系式;若不存在,請說明理由.

簡析該問題是在典例第(Ⅱ)問的基礎上,按照從具體到一般的思路,提出此問題.類比典例第(Ⅱ)問的求解過程,得到:mn=4,所以當點時,x軸平分∠ANB.反之亦然.

觀察到mn=4=22,恰好為圓的半徑的平方.那么問題來了,mn是不是只與半徑有關?可作進一步探究.

問題3(改變圓的半徑的大小)圓C的方程:x2+y2=r2,直線l與圓C交于A,B兩點,與x軸交于圓內點M(m,0)(m ?=0),問在x軸上是否存在定點N(n,0),使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出m,n的關系式;若不存在,請說明理由.

簡析該問題是在(Ⅲ)探究問題2 的基礎上,將圓的半徑一般化.通過求解,得到:mn=r2,所以當點時,x軸平分∠ANB.反之亦然.

圓具有mn=r2的性質,其他的圓錐曲線是否也具有類似性質?繼續大膽猜想、探究、求證.

問題4-1(變換圓錐曲線類型 )橢圓C的方程:直線l與橢圓C交于A,B兩點,與x軸交于橢圓內點M(m,0)(m ?=0),問在x軸上是否存在定點N(n,0),使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出m,n的關系式;若不存在,請說明理由.

簡析該問題是在(Ⅲ)問題3 的基礎上,將圓的方程變換為橢圓方程,將曲線類型進行類比、拓展,這是一種常見的探究思路.設出直線方程,與橢圓方程聯立,通過求解,得到:mn=a2,所以當點時,x軸平分∠ANB.反之亦然.

橢圓同樣具有mn為定值,即mn=a2的性質,如果將橢圓變換為雙曲線、拋物線,mn是否仍為定值?這將激發學生繼續探究的動力.

問題4-2(變換圓錐曲線類型 )雙曲線C的方程:直線l與雙曲線C交于同支的A,B兩點,與x軸交于點M(m,0)(m ?=0),問在x軸上是否存在定點N(n,0),使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出m,n的關系式;若不存在,請說明理由.

簡析通過求解,得到:mn=a2,所以當點時,x軸平分∠ANB.反之亦然.

問題4-3(變換圓錐曲線類型 )拋物線C的方程:y2=2px(p>0),直線l與拋物線C交于A,B兩點,與x軸交于拋物線內點M(m,0)(m ?=0),問在x軸上是否存在定點N(n,0),使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出m,n的關系式;若不存在,請說明理由.

簡析通過探究求解發現,mn并不是定值,而是m+n為定值,即m+n=0,所以當點N(?m,0)時,使得x軸平分∠ANB.反之亦然.

“典例”的設計,契合了文[2]所指出的“高考數學科的考試設計應關注探究能力、數學學習能力的考查;關注與未來學習的關聯和數學學科內部的更深入的探索.”通過探索創新情境的訓練,有助于學生對數學學科內部更深入的探索、對數學的理解.

通過研究高考題發現,圓錐曲線的定值或定點問題是一種常見題型.

真題鑒賞:

1.(2013年高考陜西卷理科第20 題)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.

(I)求動圓圓心的軌跡C的方程;

(Ⅱ)已知點B(?1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

2.(2015年高考新課標I 卷理科第20 題)在直角坐標系xOy中,曲線與直線y=kx+a(a>0)交于M,N兩點.

(I)當k=0 時,分別求C在點M和N處的切線方程;

(Ⅱ)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

(I)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(Ⅱ)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

以上呈現了3 道高考真題,從中不難發現,都與“典例”有著相同的淵源,只是以不同圓錐曲線為問題背景,考查數學抽象,邏輯推理,數學運算[4]等核心素養.有了探究結論,可以嘗試自己命題:

變式(根據2021年八省聯考第21 題改編,僅供參考)雙曲線C:的左頂點為A(?2,0),右焦點為F,點B在C上.當BF⊥AF時,|AF|=|BF|.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于P,Q兩點.

(I)求雙曲線C的標準方程;

(Ⅱ)點N(1,0),總滿足x軸平分∠PNQ,證明:直線PQ過定點.

第(Ⅱ)問也可改為:“直線PQ過點F,在x軸上是否存在點N,使得x軸平分∠PNQ?若存在,求出點N的坐標;若不存在,說明理由.”(解答從略)

結束語著名教育家波利亞(Polya)認為,中學數學教育的根本目的是“教會學生思考”[5].創新性題目的出現,考查了考生對問題的思考、分析與探索.在高考備考中,通過設計創新題型,對學生的創新能力進行考查,使學生能更好地適應新高考的要求,能在《中國高考評價體系》要求下脫穎而出.學生具備一定的數學學習能力后,也能嘗試自己命題,體驗學習數學的樂趣,有效提高數學學科素養.