試用組合分析法表示廣義Fibonacci數列

廣東省東莞市麻涌中學(523130)吳貞霞

對于廣義Fibonacci 數列的通項表示一般有三種方法,使用最多的便是采用特征方程或采用發生函數求解而得[1-5],其次還有不少學者采用類似文獻[1]的行列式表示方法,且方法具有一般性.然而筆者發現很少有人采用組合分析法表示廣義Fibonacci 數列通項,是否存在這樣的表示方法呢?答案是肯定的,本文將采用組合分析法給出二階廣義Fibonacci數列的通項公式,并且進一步采用組合分析法研究了高階廣義Fibonacci 數列通項表示法.

1 準備

定義1數列Fn若滿足Fn+1=uFn+vFn?1(u,v ∈+),F0=0,F1=1,則稱數列Fn為二階廣義Fibonacci 數列.我們熟知的Fibonacci 數列實則當u=v=1 的情況.

定義2數列Fn若滿足Fn=u1Fn?1+u2Fn?2+u3Fn?3,F0=0,F1=0,F2=1,則稱數列Fn為三階廣義Fibonacci 數列.

定義3數列Fn若滿足Fn=u1Fn?1+···+ukFn?k,F0=0,···,Fk?2=0,Fk?1=1,則稱數列Fn為k階廣義Fibonacci 數列.

2 主要結論及證明

定理1若數列Fn為二階廣義Fibonacci 數列,則.

證明(用組合分析法進行證明)設G(n)表示一個司機要行駛到第n個城市的方法總數,規定

1.相鄰兩個城市間有u條路線可選擇,稱之為1 路.任意間隔一個城市的兩個城市間有v條路可選擇,稱之為2 路,且2 路均不經過中間那個城市.

2.司機從第i個城市開至i+1 或開至i+2 個城市時都必須停車加油后才能繼續前進.

3.司機每次加油后只能行駛1 個2 路,或行駛1 個1 路.

顯見G(1)=1,G(2)=u,且

令G(0)=0,則

因此數列(2)與二階廣義Fibonacci 數列有相同的初始值和相同的遞推關系,從而可知G(n)=Fn(n=0,1,2,···).

事實上,我們還可以采用數學歸納法證明.這類二階廣義Fibonacci 數列在現實生活中有著數學建模的作用,并且更加貼近生活.對其研究就顯得更加重要了.我們將上述定理證明過程中的模型簡單地應用于該類數列的性質定理,易得以下若干結論.

定理2若數列Fn為二階廣義Fibonacci 數列,則

Fm+n=FmFn+1+vFm?1Fn.

證明由定理1 證明過程中的模型,Fm+n表示司機到達第m+n個城市的線路總數,則我們可將其分類,即司機恰好在第m個城市加油的路線總數為FmFn+1,而恰好不在第m個城市加油的路線總數為vFm?1Fn,故Fm+n=FmFn+1+vFm?1Fn,證畢.

例1數列Fn二階廣義Fibonacci 數列,且滿足u=2,v=3,求數列通項公式(采用組合分析法表示)

自然會問,對于高階廣義Fibonacci 數列的通項是否也能采用組合分析法進行表達呢?

本文所給出的結論均是在初始值給定的情況下而得,其實對于任意的初始值都能用組合分析法得出相關結論,只需要將上述的模型中改變前k個城市的路線數量即可,此處從略.

3 小結

采用組合分析法不僅給出了二階廣義Fibonacci 數列的通項公式,還進一步研究了高階廣義Fibonacci 數列通項公式.