例談數學核心素養培育問題

佛山市順德區第一中學(528300)關嘉欣

2017年,新版普通高中數學課程標準明確提出數學六大核心素養:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.數學學科核心素養的確立讓數學教學回歸學科本質,強調學科的獨特育人價值.

在新高考、新課標、新教材的背景下,我們都知道數學核心素養的重要性,但到底如何在課堂教學中培育學生核心素養呢?其實,為了落實數學核心素養的培育,我們需要找到核心素養與具體的課程內容(包括知識與方法)的內在關聯,在知識講授的過程中有意識地有針對性地滲透.下面我想以必修一第三章第2 節“函數的單調性與最(小)值”為例談談如何在課堂教學中落實數學核心素養.

“函數的單調性與最(小)值”這節課要求學生能準確用符號語言刻畫函數的單調性與最值、利用函數單調性的定義證明具體函數的單調性、把現實問題抽象為數學模型,并能利用函數單調性與最值的知識來解決.因此,這節課是很好地滲透數學核心素養的載體.下面從教學過程的5 個方面來展開闡述.

1 感知概念,滲透數學抽象的核心素養

(1)思考這兩張新冠肺炎疫情數據關系圖呈現了什么信息?

圖1

預設 隨時間的推移,全國現存確診人數先上升后下降;全國累計確診人數一直上升,前面升得比較快,后面升得比較慢.兩張圖都反映了函數圖象的變化情況.

(2)分析下列熟悉的函數圖象,你發現了什么共同性質?

圖2

預設 上述函數圖象都有函數值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質:函數的單調性.

設計意圖①從真實情境:新冠肺炎疫情圖出發,理解函數單調性的現實意義,感受數學與生活的密切聯系,能從情境中抽象出數學概念,積累從具體到抽象的活動經驗,養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣;

②從學生熟悉的函數圖象入手,這當中有遞增的,也有遞減的,也有增減變化的,通過豐富的實例讓學生對函數單調性的概念有初步直觀感性認識,運用數學抽象的思維方式思考并解決問題.

2 探究概念,滲透直觀想象、邏輯推理的核心素養

2.1 用圖象語言刻畫單調性,滲透直觀想象的核心素養

(1)觀察你們熟悉的一次函數、二次函數圖象,分析它們的單調性.

圖3

預設學生分析結果

①左圖從左到右,圖象上升→y隨著x的增大而增大→單調遞增.

②中間圖從左到右,圖象下降→y隨著x的增大而減小→單調遞減.

(2)觀察右圖,如何刻畫它的單調性?說明函數的單調性是一個整體性質還是一個局部性質?

③右圖在(?∞,0]單調遞減;在[0,+∞)單調遞增,說明函數的單調性是一個局部性質.

(3)思考 用圖象來判斷單調性萬能嗎?如果不是,可能會有什么問題?

預設 可能存在的問題:①圖象不夠嚴謹,眼見不一定為實.②如果函數畫不出圖象,那就判斷不了單調性.因此,我們需要從圖象語言過渡到符號語言.

設計意圖 ①從學生熟悉的函數入手,借助幾何直觀理解問題,形成數學直觀,在具體的情境中感悟事物的本質,滲透直觀想象的核心素養;②引發沖突,指出函數單調性是一個局部性質;③通過討論用圖象判斷函數單調性的局限性,引發學習符號語言刻畫單調性的動機.

2.2 用符號語言刻畫單調性,滲透邏輯推理的核心素養

(1)如何用符號語言刻畫函數y=f(x)在區間D上單調遞增?

把“在區間D上,函數值隨著自變量的增大而增大”這句話翻譯成符號語言.

①自變量的增大:x1

②函數值隨之而增大:f(x1)

(2)問題集中在自變量,需要回答:

①自變量在哪里取值?(x1,x2∈D)

②自變量如何取值?(需要進一步探究)

(3)如何取x1

①如果1,3∈D,f(1)

②在D上取無數多個點x1

圖4

圖5

分析 ①②無法確保的原因是都有可能?x1,x0∈D,雖然x1f(x0),因此,需要對?x1,x0∈D進行否定,而對存在量詞的否定就是全稱量詞,因此只需要把?x1,x0∈D改為?x1,x0∈D.

設計意圖 ①分析過程從特殊到一般進行推理,能用數學語言有邏輯地表達與交流,滲透了邏輯推理的核心素養;

②“任取x1,x2”對學生而言是難點,需要重點突破.為了解決這個難點,通過反例引發沖突與思考,加深對任意性的理解.結合第一章關于全稱量詞與特稱量詞的學習,學生能說出特稱量詞的否定是全稱量詞.

3 建構概念,滲透數學建模的核心素養

(1)經過上述討論,請你嘗試用符號語言給出函數f(x)在區間D上單調遞增的定義.

預設 一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D ?I,如果?x1,x2∈D,當x1

圖6

圖7

對學生給出的定義進行整理補充,并重點剖析概念:

①局部性:指明函數單調性發生在哪個區間;

②任意性:x1,x2的取值是任意的;

③同號性:x1,x2與f(x1),f(x2)的符號保持一致性.因此,也可用(x1?x2)(f(x1)?f(x2))>0 與來刻畫.

(2)類似地,請你給出函數單調遞減的定義.

預設 一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D ?I,如果?x1,x2∈D,當x1f(x2),那么就稱f(x)在區間D上單調遞減.特別地,如果f(x)在它的定義域上單調遞減時,我們就稱它為減函數.

設計意圖①讓學生自主歸納建構概念,培養學生抓住本質準確表達的能力,提高學生用數學的語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養,從而滲透數學建模的核心素養;

②讓學生學會使用類比給出相似概念,體會類比這一數學方法.

4 辨析概念,滲透直觀想象的核心素養

例1根據單調性的定義,完成概念辨析:

(1)若f(2)

(2)f(x)在[2,3]上單調遞增,則f(2)

(4)若f(x)單調遞增,若f(a)

例2判斷課本P73 題目7、13 這三個函數的單調性:

(1)G(n)=3n+1,n ∈{1,2,3}.

(3)f(x)=[x],x ∈(?2.5,3].

結合圖象分析.

圖8

總結

設計意圖從具體函數入手,借助幾何直觀理解問題,形成數學直觀,在具體的情境中感悟事物的本質,滲透直觀想象的核心素養,理解函數單調性的概念.

5 應用概念,滲透邏輯推理、數學運算的核心素養

例3根據定義,研究函數f(x)=kx+b(k ?=0)的單調性.

例4物理學中的玻意耳定律(k為正常數)告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大.試對此用函數的單調性證明.

例5根據定義證明函數在區間(1,+∞)上單調遞增

小結用定義法證明函數單調性的一般步驟:

(1)取值:在區間D上,任取x1,x2,令x1

(2)作差:求f(x1)?f(x2);

(3)化簡:因式分解,變形為因式相乘除的形式;

(4)定號:確定f(x1)?f(x2)的正負;

(5)下結論:根據“同增異減”原則,指出函數在區間上的單調性.

設計意圖通過證明函數的單調性,加深對定義的理解,掌握代數式作差、通分、因式分解的運算法則,探究運算思路,設計運算程序,從而培養邏輯推理與數學運算的核心素養.

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現,是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現.但這種素養的獲得并不是憑空產生,它依托于數學學習過程與真實情境.

因此,我們要在教學設計上多下功夫,在日常的教學與課堂中,以具體數學知識為載體,以數學方法與思想為工具,滲透數學核心素養.只有這樣,數學核心素養才不會成為無源之水,紙上之言,才能真正落到實處,幫助到學生.