直線永磁電機的自適應容錯控制

張濤濤，張雙燕，李萌，武力兵

（遼寧科技大學 理學院，遼寧 鞍山 114051）

隨著現代工業自動化的快速發展，具有結構簡單、控制性能優越、功率密度高等眾多優點的電機控制系統應用越來越廣泛［1-2］。在城市軌道交通系統中，直線永磁電機不需要轉換裝置，就能把電能轉變成直線運動機械能［3］，逐步取代傳統的旋轉電機。特別是直線游標永磁（Linear permanent magnet vernier，LPMV）電機，效率高成本低，應用前景非常廣闊。但LPMV電機系統具有強耦合特征，在長期運行過程中不可避免地會發生故障，如執行器、傳感器和系統內部元件等故障［4-6］。并且LVPM電機在動力傳動過程中會受到參數不確定性和外部擾動等因素的影響。傳統的魯棒控制方法不能有效地處理此類故障系統。

1991年，Kanellakopoulos等［7］針對非線性系統提出反步法（Back stepping）控制策略。作為一種倒推式設計方法，反步法將高階系統分解為多個子系統，對每個子系統設計一個虛擬控制律，借助于Lyapunov函數連接起來，最后通過穩定性分析保證各子系統的收斂性，進而實現整個非線性系統的穩定。這種方法可以有效解決帶有參數不確定性和外部擾動非線性系統的魯棒控制問題。周麗等［8］針對一類不確定嚴格反饋非線性系統，結合滑?？刂坪头床椒刂撇呗?，使跟蹤誤差在有限時間內漸近趨于很小的鄰域內。于金鵬等［9］采用模糊逼近（Fuzzy approximation）技術，將自適應反步法應用于永磁同步電機（Permanent magnet synchronous motor，PMSM）中，設計出具有高性能的魯棒控制器。唐紅雨等［10］結合滑模技術設計自適應控制器并應用到LPMV電機中?；谧赃m應迭代學習技術，陳升等［11］針對一類下三角非線性系統給出自適應容錯模糊控制方法。針對帶有執行器故障和參數不確定性的線性系統，Li等［12］設計魯棒自適應容錯控制器，并進行穩定性分析。牛瑞燕等［13］將自適應容錯控制技術應用于帶有執行器故障的雙關節剛性機械手非線性模型中。蔣陽等［14］研究新型抗低頻擾動反電勢觀測器，對直線游標永磁電機進行無位置控制。針對永磁直線同步電機系統，許德智等［15］研究基于神經網絡自適應技術的超扭曲終端滑?？刂撇呗?。本文針對帶有執行器故障的LPMV電機非線性系統，采用反步法設計自適應容錯控制器，保證所有閉環輸出信號是有界的，同時也保證系統輸出能夠漸近跟蹤到預先給定的參考信號。

1 直線游標永磁電機數學模型

采用組合永磁體陣列的初級LVPM電機結構如圖1所示。初級和次級分別對應電機的動子和定子。電機永磁體在電機的轉子上，定子為凸結構。定子移動一個轉子極距時，動子繞組的磁鏈會產生一次周期性的變化。

圖1 直線游標永磁電機結構Fig.1 Configuration of linear vernier permanent magnet motor

利用反步法與自適應容錯理論設計LPMV電機控制器，分為兩步：第一步設計虛擬控制α1，使第一個閉環子系統達到穩定狀態；第二步設計自適應故障補償控制u，抵消掉外部擾動和執行器故障對系統的影響，并實現漸近跟蹤的控制目標。

參照旋轉坐標系，把初級及次級坐標系分別視為定子坐標系和動子坐標系。LVPM電機的電壓方程

式中：q為交軸，d為直軸；id和iq為d，q軸電流；ωe為動子電氣角速度；φf為永磁體磁鏈；R為每相繞組電阻；ud和uq為d，q軸電壓；Lq為交軸勵磁電感；Ld為直軸勵磁電感；且φd=Ldid+φf，

忽略電阻，LVPM電機的推力方程

式中：第一項為永磁磁鏈與q軸電流產生的力；第二項為d軸跟q軸電感不相等引起的推力，如果采用隱極機形式或者i=0控制策略，則此項不存在；第三項是由d軸和q軸之間的互感產生的推力，通常情況下，互感都比較小，此項可以忽略不計。

角速度ωe=pπv/t，并且采用id=0控制策略，則推力方程簡化為

LVPM電機動力方程為

式中：p為極對數；τ為極距；v為動子線速度；ωe為動子機械角速度；F1為直線電機的負載阻力和電機本身的定位力之和；Bv為粘滯摩擦系數；M為動子總質量。

設v為實際速度，s為動子位移；令，以及u=iq。根據式（3）與式（4）將LVPM電機的數學模型轉化為狀態空間表達式

由于系統建模過程中存在參數不確定性，且在長時間運行過程中不可避免地發生執行器故障，因此采用如下容錯控制系統

式中：執行器失效因子ρ∈(0，1]；d是系統外部擾動；θ=[θ1，θ2，…，θr]T∈Rr為未知的參數不確定向量；g(x1，x2)=[g1(x1，x2)，g2(x1，x2)，…，gr(x1，x2)]T∈Rr為相應的向量函數。

對于系統（6），采用自適應反步容錯方法，使非線性系統的所有閉環控制信號是有界的，并且系統輸出x1在執行器發生故障時依舊能漸近地跟蹤到給定的參考信號xr。

假設1 外部擾動d是有界的，即|d|≤d*；

假設2 參考信號xr及其一階和二階導數和都是有界的；

假設3 控制增益b≠0，且其符號是已知的。

2 自適應容錯控制器設計

容錯控制系統（6）為二階系統，采取反步法倒推出要求的容錯控制器。

對V2求導得

選擇自適應容錯控制器以及相應的參數更新律

選擇參數更新律

定理1對于帶有執行器故障和參數不確定性的LPMV非線性系統（6），在假設1～3的條件下，自適應容錯控制器（9）、（14）和（15）連同參數更新律（17）～（19）能保證所有閉環信號一致有界，并且輸出信號漸近地跟蹤到期望的參考信號。

3 仿真實驗

為了驗證LVPM電機反步自適應容錯控制策略的有效性，采用MATLAB程序設計仿真計算。

位移x1與跟蹤信號xr的時間響應曲線如圖2所示。位移x1的軌跡從（0，0）點開始做周期性正弦運動，振幅有界區間為［-2，2］，說明位移在運行過程中是穩定的。跟蹤信號xr的位移軌跡與系統輸出位移x1幾乎完全重合，說明自適應漸近跟蹤控制精確有效。

LVPM電機系統動子線速度x2的軌跡如圖3所示。線速度x2從（0，2）開始做周期性余弦運動，振幅有界區間為［-2，2］。說明動子線速度x2在運行過程中是穩定的，電機控制系統是有效的。

圖2 位移x1與跟蹤信號xr的時間響應Fig.2 Time response of displacement x1 and tracking signal xr

圖3 動子線速度x2的軌跡Fig.3 Trajectory of linear velocity x2 of mover

外部擾動d^的運動曲線如圖4所示。在電機剛開始運行時，外部擾動d^為最大值1，隨后迅速下降，在電機運行10 s后達到穩定狀態，在區間（0.6，0.65）之間細微起伏，仿真曲線后期有界，說明控制系統自適應補償有效。

圖4 擾動d^的軌跡Fig.4 Trajectory of disturbance d^

故障補償參數軌跡如圖5所示。在電機剛開始運行時，為最大值1，與擾動在此時的最大值1相對應；隨后迅速下降，與擾動的下降對應，說明電機控制系統故障補償的及時性和準確性。隨后開始做振幅逐漸變小的周期性運動，振幅區間為（0.9986，1），說明擾動的變化是周期性的；在故障補償律的作用下，擾動趨于穩定，故障補償參數也逐漸變小趨于穩定。仿真曲線后期有界，說明控制系統自適應補償機制有效。

圖5 故障補償參數ζ^的軌跡Fig.5 Trajectory of fault compensation parameterζ^

自適應參數θ^的軌跡如圖6所示。θ^恒正，軌跡從（0，0.1）開始做周期性正弦運動，振幅有界區間為［0.09，0.11］，說明自適應參數θ^是穩定的。在運行過程中，θ^與位移x1和跟蹤信號xr同步，說明電機控制系統能精確有效地進行在線自適應容錯控制。

圖6 自適應參數θ^的軌跡Fig.6 Trajectory of adaptive parameterθ^

控制輸出u的軌跡如圖7所示。u從（0，0）開始做周期性簡諧運動，振幅為（-4，2），電機控制系統的控制輸出穩定，說明LVPM電機非線性系統的自適應容錯控制模型有效。

圖7 控制輸出u的軌跡Fig.7 Trajectory of control output u

4 結論

本文綜合考慮參數不確定性、外部擾動和執行器故障對直線游標永磁電機非線性系統的影響，運用反步法設計自適應控制器和相應的故障補償律，并進行Lyapunov穩定性分析和仿真實驗，取得良好的漸近跟蹤效果，從而驗證容錯控制方法的有效性和優越性。未來將進一步研究帶有狀態約束的LVPM電機系統的事件觸發控制問題。