柔性關節機械臂的自抗擾預設定有限時間跟蹤控制

王 剛，李小華

（遼寧科技大學 電子信息與工程學院，遼寧 鞍山 114051）

隨著社會的發展和科技的進步，機械臂已廣泛應用于醫療、航空航天、農業采摘、仿生機器人等領域［1-4］。在實際應用中，機械臂總會遇到各種擾動，而且其動力學模型不可避免地存在不確定性，使系統穩態性能變差，甚至導致系統不穩定。因此，在控制器設計中，考慮擾動和不確定性是十分必要的。

關于機械臂系統的跟蹤控制問題，目前已有大量研究成果。按控制方法大致分為四種類型。第一類是基于PID的機械臂系統跟蹤控制［5-6］，其中包括一些智能PID的控制研究。如文獻［6］針對具有參數不確定的柔性關節機械臂系統，提出一種模糊整定PID控制器，增加控制器的魯棒性和自適應性。第二類是基于自適應、魯棒控制方法的跟蹤控制研究，可顯著提高系統對不確定因素和外部干擾的適應性［7-8］。第三類是基于韓京清提出的自抗擾控制（Active disturbance rejection control，ADRC）設計的控制器［9］，采用ADRC框架將系統的所有不確定性（包括內部和外部）作為一個附加的狀態變量，利用擴張狀態觀測器（Extended state observer，ESO）估計增廣狀態，并對總擾動進行實時補償，提高了系統的抗干擾性能［10-12］。第四類是基于backstepping技術的跟蹤控制研究，目前是研究的熱點。其中一類對系統中出現的參數不確定性采用神經網絡進行在線逼近，利用backstepping方法設計機械臂系統的自適應神經網絡跟蹤控制器［13-14］；一類文獻針對具有外部擾動的機械臂系統設計預設性能控制器，只要被控量的初始值在預設性能函數范圍之內，該控制器就能同時保證系統的動態性能和穩態性能都達到預期效果［15-16］；另一類基于有限時間穩定判據，針對具有外部擾動機械臂系統設計有限時間跟蹤控制器［17-18］，使系統的跟蹤誤差在有限時間內收斂到原點附近的小鄰域內或平衡點，且不受外部擾動的影響。但是有限時間控制方法的停息時間受系統初始狀態的影響，如果初始狀態不佳，則難以達到預定的停息時間。因此，文獻［19］將預設性能控制和有限時間控制相結合，提出預設有限時間控制的新方法，通過使用一個預設有限時間性能函數對跟蹤誤差進行約束，使得系統的停息時間與初始狀態無關。這類方法在控制器設計中具有更大的優越性。

本文針對一類具有外部干擾和不確定性的柔性關節機械臂系統，結合預設有限時間控制方法和自抗擾控制方法，提出一種自抗擾預設定有限時間跟蹤控制的新方法，與已有的預設性能有限時間控制方法相比，它可在系統存在外部干擾和不確定因素時準確保證系統的暫態和穩態性能符合預定要求，同時更好地提高系統的抗干擾性。

1 柔性關節機械臂模型及控制目標

柔性關節機械臂如圖1所示。電機的轉子直接耦合到其驅動的連桿上，再通過一個彈性聯軸器連接機械臂部分。這個彈性聯軸器可視為柔性關節。根據文獻［20］的假設，可以將柔性關節簡化成一個線性彈簧。

圖1 柔性關節機械臂模型Fig.1 Model of flexible joint manipulator

已知M為機械臂質量，g為重力加速度，L是機械臂質心到末端距離，q是機械臂角位置，θ是電動機軸角位置，K為彈性系數，u為控制力矩，I和J分別為連桿和電機的轉動慣量。柔性關節機械臂系統的動力學方程為［21］

式中：d1和d2為有界干擾信號；Δ1和Δ2為模型不確定部分，表示為

這里ΔI，ΔJ，ΔK和ΔM分別為變量I，J，K和M的不確定部分。定義系統狀態變量x1=q，，則式（1）可改寫為

其中

本文的控制目標：針對柔性關節機械臂系統（3），用backstepping方法設計自抗擾預設定有限時間跟蹤控制器，使得系統：（1）保證跟蹤誤差e1=y-yd在任意給定的有限時間內按預設的暫態和穩態性能收斂到平衡點附近的鄰域內；（2）閉環系統中所有信號是有界的；（3）在受到外部干擾和模型不確定情況下，實現該機械臂系統輸出的準確跟蹤。

為實現這個控制目標，給出如下假設、引理和定義。

假設1F1(x1)，F2(x1，x3)為連續未知函數，其一階導數連續有界。

假設2 期望軌跡yd及其一階導數連續有界。

假設3 所有系統狀態xi(i=1，2，3，4)都可測量。

引理1［22］對于系統（3），如果存在一個正定、徑向無界、連續可微的Lyapunov函數V：Rn→R，以及常數a0＞0，b0≥0，使得下式成立則系統存在唯一解，且系統所有信號是一致最終有界的。

為了得到本文結果，先定義一個預設有限時間性能函數。

定義1［19，23］如果光滑函數ρ(t)滿足如下四個性質（4）在t≥Tf時間后ρ(t)=ρTf，則稱這個函數為預設有限時間性能函數。

本文選擇預設有限時間性能函數為［23］

其中ρ0＞0、ρTf＞0和Tf＞0是設計參數。從式（5）可以看出，ρ(t)滿足定義1的所有條件，且已在文獻［23］中被證明是光滑的。為方便后面推導，將ρ(t)簡寫為ρ。

2 控制器設計

采用backstepping方法給出柔性關節機械臂系統（3）的自抗擾預設定有限時間跟蹤控制器設計過程。

首先進行坐標變換

其中，α1，α2，α3是需要設計的虛擬控制律，并取

第1步 針對第一個子系統，選Lyapunov函數為

對其求導可得

令

則

取

其中，c1＞0為設計參數。將式（12）帶入式（11），可得

第2步 針對第二個子系統，選Lyapunov函數為

對式（14）求導，可得

為了避免虛擬控制反復求導帶來的計算復雜性，引入跟蹤微分器（Tacking differentiator，TD）對虛擬控制α1的導數進行估計［24］。跟蹤微分器TD1

式中：v11和v12是TD1的狀態變量；λ＞0和0＜δ＜1是設計參數，通過選擇合適的值，可以使v11和v12分別跟蹤信號α1和它的微分信號α˙1。

定義跟蹤微分器（16）的估計誤差

對未知函數F1(x1)，本文使用擴張狀態觀測器（Extended state observer，ESO）來估計［24］，這里給出擴張狀態觀測器建立方法。對于第二個子系統

其中，ω(t)是未知函數F1(x1)的導數，也是未知的。參照文獻［24］建立擴張狀態觀測器ESO1

式中：Z11和Z12是ESO1的狀態；E1是ESO1的Z11對x2的估計誤差；狀態Z12是對x22的估計；β11＞0和β12＞0是擴張狀態觀測器增益。

選擇適當的參數β11和β12，可以使觀測器很好地估計系統（19）的狀態x2及被擴張的狀態x22。定義ESO1擴張狀態的估計誤差

將式（17）和式（21）帶入式（15），可得

取第2步的虛擬控制為

將式（23）帶入式（22），使用Young’s不等式縮放，可得

其中，c2＞1為設計參數。

第3步 針對第三個子系統，選Lyapunov函數為

對式（25）求導可得

2.2 應對方式 干預前，兩組CSQ量表積極應對及消極應對評分比較，差異無統計學意義(P>0.05)；分娩前6 h及分娩后1周，觀察組積極應對評分均高于對照組，消極應對評分低于對照組，差異有統計學意義(P<0.05)。見表2。

對虛擬控制α2的導數使用TD2進行估計。設計TD2為

定義TD2的估計誤差

將式（28）帶入式（26），可得

取第3步的虛擬控制

將式（30）代入式（29），利用Young’s不等式可得

第4步 針對第四個子系統，選Lyapunov函數為

對其求導，可得

引入跟蹤微分器TD3對虛擬控制的導數進行估計，設計TD3如下

定義TD3的估計誤差

對未知函數F2(x1，x3)，利用ESO2進行估計

定義ESO2擴張狀態的估計誤差

將式（31）、式（35）和式（37）帶入式（33），可得

取第4步的控制律為

將u帶入式（38），使用Young’s不等式縮放，可得

其中，c4＞1是設計參數。

至此，可以給出本文的結果如下。

定理1對于滿足假設1～3的柔性關節機械臂系統，若有系統跟蹤誤差的初值根據虛擬控制律（12）、（23）和（30）以及控制律（39），則閉環系統的跟蹤誤差可以在任意給定的有限時間內按預設的暫態性能和穩態性能收斂到平衡點附近的鄰域內，且系統中的所有變量都是有界的，從而能實現系統輸出的準確跟蹤。

證明（1）穩定性的證明。

系統的Lyapunov函數為V=V4，有V≥0。在虛擬控制律（12）、（23）、（30）和控制律（39）的共同作用下有式（40）。因為TDi和ESOj的逼近誤差ηi(i=1，2，3)和εj(j=1，2)有界，所以知

有界，取a0=min{2c1，2(c2-1)，2(c3-1)，2(c4-1)}，則式（40）可寫為V˙≤-a0V+b0。根據引理1可知，閉環系統中所有變量是有界的。

（2）證明跟蹤誤差能在任意給定的停息時間內收斂到平衡點的任意給定的小鄰域內。

如果取ρTf足夠小，即可實現機械臂系統輸出的準確跟蹤。證畢。

3 仿真實驗

為了驗證本文所提方法的有效性，對此類單關節柔性機械臂控制系統進行仿真實驗?？紤]模型（1）參數為［25］：M=2.3 kg，L=1 m，I=2.3 kg·m2，J=0.5 kg·m2，K=15 N·m/rad，g=9.8 m/s2。模型不確定部分

其中，外部擾動d1=sint，d2=cost，參考輸入yd=0.5(sin 0.5t+sint+sin 2t)。各狀態變量的初始值為：x1(0)=0.15，x2(0)=0.6，x3(0)=0.7，x4(0)=0.5。性能函數參數選取ρ0=0.8，Tf=2，ρTf=0.03?？刂茀颠x取c1=5，c2=17，c3=180，c4=180。TD1、TD2和TD3參數λ=9，δ=0.5。ESO1和ESO2參數選取β11=100，β12=300，β21=100，β22=350。

由定理1計算出系統的自抗擾預設定有限時間跟蹤控制器，對系統（3）進行仿真實驗，所得結果如圖2～圖9所示。

圖2是機械臂輸出的位移跟蹤結果，設計的控制器能夠保證機械臂系統的輸出在給定的2 s時間內跟蹤上期望軌跡，并有很好的跟蹤效果。

圖2 輸出跟蹤曲線Fig.2 Output tracking curve

圖3是跟蹤誤差曲線，跟蹤誤差能夠被預設性能函數約束，并在指定2 s的時間內減小到事先設定范圍（-0.03，0.03）內，系統的動態性能和穩態性能得到保證。

圖3 跟蹤誤差曲線Fig.3 Tracking error curve

圖4是系統的控制輸入信號。由于初始時誤差較大，故初始輸入較大，但隨著誤差的迅速減小，控制輸入也迅速減小。

圖4 系統控制輸入uFig.4 System control input u

圖5和圖6分別是兩個擴張觀測器的估計效果；兩條曲線重合度較高，即擴張狀態觀測器的輸出很好地估計了F1(x1)和F2(x1，x3)，符合設計需要。

圖5 ESO1觀測效果Fig.5 Observation effect of ESO1

圖6 ESO2觀測效果Fig.6 Observation effect of ESO2

圖7～圖9分別為跟蹤微分器TD1、TD2和TD3的跟蹤效果。兩條曲線變化趨勢相同，即跟蹤微分器很好地估計系統的虛擬控制律，達到設計效果。

圖7 TD1的跟蹤效果Fig.7 Tracking effect of TD1

圖8 TD2的跟蹤效果Fig.8 Tracking effect of TD2

從這些實驗結果可以看出，本文所提出的方法在系統存在外部干擾及模型不確定性的情況下，仍然能夠具有很好的跟蹤效果，體現了本文方法在抗干擾方面的優越性。

圖9 TD3的跟蹤效果Fig.9 Tracking effect of TD3

將本文方法與文獻［24］中的自抗擾控制方法進行對比，取相同的控制參數，即c1=1，c2=15，c3=c4=180，ESO和TD的參數都相同，本文方法的預設性能參數同前，兩種方法的跟蹤誤差變化曲線仿真結果如圖10所示。本文方法在2 s時間內跟蹤誤差就進入到預先設定的范圍（-0.03，0.03）內，而文獻［24］的方法在2 s之后誤差依然在波動，導致系統的輸出跟蹤精度較差，相對穩定性較差。因此，從跟蹤效果可以看出，本文提出的方法更有優越性。

圖10 本文方法與文獻［24］方法的對比Fig.10 Comparison between the methods in this paper and in literature［24］

4 結論

本文提出一種柔性關節機械臂的自抗擾預設定有限時間跟蹤控制的新方法，同時考慮系統的外部干擾、模型不確定性及未知非線性函數，將其等效為總擾動，利用擴張狀態觀測器估計這個總擾動，并對其實時補償。該方法借助于一個有限時間性能函數，使系統輸出能夠在一個預先給定的停息時間內跟蹤上參考信號，且保證跟蹤誤差按預設的暫態和穩態性能收斂到平衡點附近的鄰域內。因采用自抗擾技術，該方法具有很好的抗干擾性。停息時間是一個設計參數，因而與系統初始條件無關。仿真結果驗證了本文提出的控制方法的有效性和抗干擾方面的優越性。