基于分布魯棒優化的電-氣綜合能源系統彈性提升策略

張亞超，易 楊，胡志鵬，謝仕煒，黃張浩，鄭 峰

（1. 福州大學電氣工程與自動化學院，福建省福州市350108；2. 國網浙江省電力有限公司杭州供電公司，浙江省杭州市310017）

0 引言

近年來，極端天氣對電力系統的安全穩定運行造成了極其惡劣的影響，如2018 年中國超強臺風“山竹”造成大面積用戶停電［1］。僅考慮配電網N-1 安全準則不足以避免極端天氣下的大規模停電事故，為盡可能降低小概率-高損失極端事件的影響，發展彈性配電網是能源轉型背景下智能電網發展的必然趨勢［2-3］。另一方面，在能源互聯網的發展背景下，作為綜合能源系統中主要的能源供輸網絡［4-5］，電-氣互聯系統實現了電力、天然氣2 種不同形式能源的緊密耦合［6］，可利用天然氣管道對極端天氣的抵御能力為配電網提供能量補給并加速其恢復過程，為提高配電網彈性提供了新的途徑。

針對配電網彈性提升，文獻［7］提出了考慮分布式可再生能源配置的魯棒優化（robust optimization，RO）模型，并采取配電網重構、微網分區等策略提升配電網彈性。文獻［8］提出配電桿塔加固和線路走廊清障的防御方案。上述研究僅從配電網角度出發，未計及天然氣網對配電網彈性提升的作用。文獻［9］對災害條件下電-氣互聯系統的恢復過程進行彈性量化評估，驗證了電力、天然氣網耦合運行時具備更強的彈性。文獻［10-11］從電力、天然氣系統綜合規劃角度構建RO 模型，表明綜合能源系統在應對極端災害方面具有較大優勢。上述研究通過辨識最嚴重攻擊策略制定加固規劃和運行決策，并未考慮自然災害下元件發生故障的概率信息，使得彈性增強策略不夠完善。

針對電力系統元件的故障概率評估，文獻［12］提出一種考慮在時空雙維度下極端天氣對電力系統元件影響的彈性評估框架。文獻［13］結合元件脆弱性曲線建立了考慮風速、風向影響的故障率模型。文獻［14］基于歷史災害數據擬合配電網線路故障概率曲線，提出一種離線仿真和在線匹配相結合的線路故障概率評估方法。

由此可見，有必要在面向彈性提升的RO 模型中融入元件的故障概率信息，建立分布魯棒優化（distributionally robust optimization，DRO）模型以改善RO 模型決策偏保守的缺點［15］。目前已有研究采用不同的DRO 模型求解含不確定量的優化問題［16-17］，文獻［18-19］分別基于不確定量的矩信息和概率密度函數置信帶構造其模糊集；文獻［20］提出基于綜合范數約束的不確定量概率分布置信集，并在此基礎上建立多離散場景的DRO 模型。

綜上，本文提出一種考慮極端天氣下元件故障概率信息的電-氣綜合能源系統彈性提升模型，分別構建配電網DRO 問題和天然氣網運行可行性校驗子問題。針對上述具有min-max-min 形式的非凸、非線性優化問題，結合對偶理論和內、外雙層循環求解框架并采用列與約束生成（C&CG）算法和Benders 分解算法進行迭代求解。最后，通過算例驗證了所提模型和方法的有效性。

1 彈性導向的模型描述

配電網彈性是指在極端天氣條件下系統的恢復能力?；謴土礊殡娏ο到y針對小概率-高損失極端事件的預防、抵御及快速恢復負荷的能力［2］。彈性電力系統的狀態按時序可劃分為預先準備階段、抵御與吸收階段、響應與適應階段和恢復階段。針對上述階段的彈性提升策略可分為事前預防策略、事中響應策略和事后恢復策略。針對與天然氣系統互聯的配電網，本文基于圖1 所示的防御-攻擊-防御3 層優化框架來制定事前預防的彈性提升策略。

圖1 3 層優化框架Fig.1 Tri-level optimization framework

在電-氣互聯綜合能源系統中，天然氣傳輸網絡采用地埋管道，故其在暴雨、臺風等極端天氣下一般不會遭到損壞，可維持正常運行。作為電力、天然氣系統的耦合元件，燃氣機組消耗天然氣產生的電能可用來緩解配電網故障狀態下的供能不足，提高配電網彈性。在防御-攻擊-防御的3 層優化框架下，攻擊者制定極端天氣下最嚴重的攻擊策略，防御者在攻擊事件前制定最優的線路加固方案，并在最嚴重攻擊下優化配電網運行方式來盡可能地減小棄負荷損失，可建立基于RO 的目標函數如式（1）所示。

式中:al為線路l斷開/閉合的二進制變量，取值為1表示線路閉合，為0 表示斷開；hl為線路l是否加固的二進制決策變量，取值為1 表示加固，為0 表示不加固；ul為線路l是否遭受攻擊的二進制變量，取值為0 表示受到攻擊，為1 表示沒有受到攻擊。

目標函數中H和U可表示為:

式中:Nh為線路最大加固數；Nl為配電網線路l總數；kmax為線路最大損壞數；Ωl為線路l索引集合。

2 模型的建立

2.1 不確定量模糊集

式中:P為不確定量U發生的概率；EP(·)為求期望值函數；Γ(·)為概率分布集合。

基于上述模糊集可建立基于DRO 的目標函數為:

式中:sup 表示上確界。

由上述2 種優化模型的目標函數可知，式（1）不考慮線路發生故障的概率分布特性，僅通過辨識不確定量U中的最惡劣線路損壞場景制定防御決策。與RO 模型不同，式（6）結合極端天氣條件下線路故障率置信區間及其損壞總體期望值構建關于不確定量U的模糊集F，從而提出融入不確定量統計信息的DRO 模型。

2.2 配電網約束

2）節點電壓約束

式中:Uj，t為節點j在時段t的電壓；Ur為額定電壓；rl和xl分別為線路l的電阻和電抗值；Umax和Umin分別為節點電壓的上、下限；M表示一個足夠大的正數。

3）功率傳輸限制

2.3 天然氣網約束

1）氣源流量約束

3 模型求解

本文在防御-攻擊-防御優化框架下，結合極端天氣條件下表征線路故障分布信息的模糊集構建彈性導向的配電網DRO 模型，采用C&CG 算法［22］將其分解成外層主問題和內層子問題，內層子問題辨識出給定線路加固方案后的最嚴重攻擊策略，將其返回到外層主問題；外層主問題基于攻擊策略集合求解線路的加固方案。

另一方面，考慮電力、天然氣系統的耦合運行約束，燃氣機組的調度出力值受到氣網側管道輸送容量、氣網節點氣壓限制等因素的影響。因此，通過Benders 分解算法［23］將電-氣耦合系統的彈性優化模型分解為上述配電網DRO 主問題和氣網運行可行性校驗子問題。配電網主問題求解得出燃氣機組出力值傳遞給氣網子問題，該子問題對其運行可行性進行校驗，并生成Benders 割集添加至主問題。下文將詳述雙層迭代循環的建模求解流程。

3.1 配電網DRO 問題

彈性導向配電網DRO 模型可表示為:

式中:b、c、d和g為常系數向量；a為決策向量；A、B、C、D、E和K為常系數矩陣；h為外層主問題的決策向量；y為內層子問題的決策向量；EP(·)為求期望值函數。第1 行約束對應式（3）；第2 行約束對應式（5）；第3 行約束對應式（2）、式（4）、式（7）—式（11）。

其中，式（2）可轉化為如下線性約束形式。）

令O=mincTy，式（17）中與模糊集F有關的目標函數和約束條件可轉化為如下優化問題。

α和β分別為式（19）中第1 行約束和第2 行約束的對偶變量。根據對偶理論將式（19）轉化為有限維優化問題［24］:

結合式（20），可將模型式（17）轉化為:

3.2 外層C&CG 循環

DRO 問題（式（21））中第3 行約束中O為最小化函數，可轉化為如下等效形式。

由于上述約束中含有max-min 形式函數，故將式（21）分解為內層子問題和外層主問題進行迭代求解。

3.2.1 內層子問題

內層子問題辨識最嚴重攻擊策略，其模型為:

其中，決策向量h*和對偶變量β*可通過求解外層主問題得到。λ為約束條件的對偶變量。二進制向量a取值由h*和最嚴重攻擊策略u決定，故其中min 問題為僅含連續型變量y的線性規劃問題，其包含的變量如式（24）所示。

式中:λm為λ中的第m個元素；φml和Eml分別為矩陣φ和E中第m行、第l列元素；Ndu為對偶變量所含元素個數。

（Ba）Tλ也可采用上述方法進行線性化處理。

3.2.2 外層主問題內層子問題在每次迭代中辨識出一個最嚴重攻擊策略時，外層主問題會添加一組新的決策變量及約束條件，則主問題的數學模型可表示為:

式中:u(q)*為第q次循環由內層子問題辨識出的攻擊策略；y(q)和a(q)為第q次循環中添加至外層主問題的決策變量；R為外層循環迭代次數。

3.3 氣網運行可行性子問題

由于配電網DRO 模型主問題求得的燃氣機組出力受到天然氣網運行約束限制，故需構建氣網運行子問題對其可行性進行校驗。

將氣網中接入燃氣機組的節點流量平衡方程式（16）改寫為:

其中，式（14）和式（15）為非線性約束條件，需引入二進制輔助變量采用分段線性化技術進行處理，其過程詳見文獻［25］。因此，該子問題可轉化為一個非凸混合整數線性規劃（MILP）問題。由于Benders 分解要求子問題為凸優化問題，采用如下步驟生成主問題的Benders 割［26］。

步驟1:求解MILP 子問題（式（29））獲得所引入二進制輔助變量的值。

步驟2:將步驟1 求得的二進制變量數值代替原MILP 子問題中的二進制變量，得到相應的線性規劃（LP）子問題。

步驟3:求解步驟2 中LP 子問題，如果其目標函數值大于0，表明配電網主問題中燃氣機組出力值不能滿足，生成如式（30）所示的Benders 割返回至配電網主問題。

3.4 求解流程

綜上所述，針對彈性引導的電-氣綜合能源系統，結合C&CG 算法和Benders 分解算法將其彈性提升問題分解成配電網DRO 主問題、最嚴重攻擊策略辨識子問題以及氣網運行可行性校驗子問題，并采用內、外雙重循環的方式進行迭代求解。求解流程如圖2 所示，具體步驟如下。

圖2 求解算法流程圖Fig.2 Flow chart of solving algorithm

步驟1:C&CG 算法參數初始化。設置迭代次數q=1；DRO 主問題（式（27））的上、下限設置為Ub=+∞，Lb=-∞；最大間隙σmax設為一較小正數；標記符I設置為1。

步驟2:求解主問題（式（27））。如果標記符I為1，根據主問題目標值對Lb進行更新，將其最優解記為(h(q)，α(q)，β(q))，令h*=h(q)，β*=β(q)，轉入步驟3；否則，根據主問題（式（27））輔助變量y(q)*的數值并結合式（24）對P′i，t進行賦值，轉入步驟5。

步驟3:求解子問題對偶問題（式（25））。其目標函數值記為Q(q)*，辨識出的最嚴重攻擊策略為u(q)*，并將主問題上限更新為Ub=min(Ub，Q(q)*+dTβ*)。

步驟4:如果Ub-Lb≤σmax成立，則將h*作為最優線路加固方案，外層C&CG 循環結束，程序運行終止；否則，將標記符I設置為0，將Benders 分解迭代次數v設置1，添加輔助變量(y(q)，a(q))及相應約束條件至主問題（式（27）），并更新迭代次數q=q+1，返回步驟2。

步驟5:求解氣網子問題。將式（29）轉化為MILP 問題求解，所求得0-1 變量值代替原MILP 問題中的二進制變量，得到氣網LP 子問題。

步驟6:對步驟5 中的LP 子問題進行求解，如果目標函數值等于0，則內層Benders 迭代結束，返回步驟2；如果目標函數值大于0，則將式（30）的Benders 割添加給主問題（式（27）），更新迭代次數v=v+1，將標記符I設置為0，返回步驟2。

4 算例分析

4.1 基礎數據

本文選取改進的IEEE 33 節點配電網和7 節點天然氣網構成電-氣綜合能源系統，其耦合拓撲結構見附錄A 圖A1；電力、天然氣負荷見圖A2；配電網系統中各線路在極端天氣條件下06:00 發生故障的概率見附錄B 表B1［14］；配電網和氣網的其他運行參數見文獻［27-28］。本文算例在MATLAB 平臺上調用Gurobi 8.1.1 求解器進行計算。

4.2 仿真結果

為驗證所提DRO 模型的優越性，設置如下仿真場景進行分析。

場景1:考慮極端條件下線路Nl-kmax故障的電-氣綜合能源系統魯棒優化模型。

場景2:考慮極端條件下線路故障概率的電-氣綜合能源系統DRO 模型。

針對場景1 的RO 模型，其目標函數為式（1），線路發生故障的不確定集為式（4），該模型所包含的運行約束條件與所提DRO 模型的一致，同樣采用第3 章提出的內外雙層循環協調框架進行求解。線路最大損壞數kmax設為3，期望損壞數為50%kmax，上述2 種場景的仿真結果見表1 和表2。

表1 場景1 的彈性增強策略Table 1 Resilience enhancement strategy in scenario 1

表2 場景2 的彈性增強策略Table 2 Resilience enhancement strategy in scenario 2

由表1 和表2 可知，2 種場景下的棄負荷成本隨加固線路數目的增加而減小，但線路加固費用會隨之增大。針對同一加固線路數，所提DRO 模型的棄負荷成本比RO 模型顯著降低。此外，由于DRO 模型在決策過程中考慮了配電網實際線路在極端天氣下的故障發生概率，其線路加固方案隨著加固數目增加是一種有序的事前防御決策，即加固線路數較大的方案中必然包含加固線路數較小的方案。而RO 模型未計及極端事件下線路發生故障的概率統計信息，僅通過辨識最嚴重攻擊策略來確定事前防御決策，故其在不同預定線路加固數下的加固方案關聯性不大，不利于決策人員明確線路加固的優先級別。

當加固線路數為3 時，可知場景1 和2 在迭代中辨識出的最嚴重攻擊集含有5 個相同攻擊策略，與之對應的彈性運行決策的電壓質量［29］見表3。

表3 節點電壓質量比較Table 3 Comparison of node voltage quality

由表3 可知，針對同樣的攻擊策略，在彈性增強方案下，場景2 的節點電壓質量均優于場景1。在上述攻擊策略下，場景1 和2 的棄負荷均值分別為5.603 MW·h 和5.105 MW·h。故DRO 模型決策下彈性配電網具有更優良的運行可靠性和電能質量。

當預設加固線路數取值為3～8 時，2 種模型所得優化決策中線路的加固頻數見附錄A 圖A3。由圖A3 可知，場景2 確定的加固線路數為8，而場景1確定的加固線路數為12。對于2 種場景同時選中的加固線路，場景2 的加固頻數高于場景1。在預設加固線路數為8 時，僅場景2 將線路29 納入加固方案。由附錄B 表B1 可知，線路29 具有最高的故障率（0.479 9），但場景1 由于未將線路故障信息融入決策過程，以至預設加固線路數高達8 時仍未將其納入加固方案中。由此可見，兼顧線路故障概率信息的DRO 模型具有更完備的彈性增強策略。

4.3 模型參數影響分析

當加固線路數在3～8 之間取值，線路最大損壞數kmax在1～4 之間取值時，上述RO 模型和DRO 模型的2 種模型的仿真結果如圖3 和圖4 所示。

圖3 場景1 的棄負荷成本Fig.3 Load shedding cost in scenario 1

圖4 場景2 的棄負荷成本Fig.4 Load shedding cost in scenario 2

由圖3 和圖4 可知，在每種場景下，棄負荷成本隨著加固線路數的增加而減小，隨著最大損壞數的增加而增大。在預設加固線路數和最大損壞數相同的情況下，場景2 的棄負荷成本與場景1 相比顯著減小。因此，所提DRO 模型能有效降低RO 模型的保守性，便于系統決策人員對棄負荷損失做出更加客觀的評估，從而制定經濟合理的配電網加固方案。

此外，當線路最大損壞數和加固數均取值為3時，對線路故障率和線路期望損壞數的敏感性進行分析，針對所提DRO 模型建立如下場景。

1）場景3:所有線路故障率均取值為0.1。

2）場景4:所有線路故障率均取值為0.2。

3）場景5:線路故障率取附錄B 表B1 中的不同值。

基于上述場景，線路期望損壞數取值為1、1.5和2 時的仿真結果見附錄A 圖A4，并可求出線路加固方案包括如下3 種:①加固線路1、2 和18；②加固線路1、18 和26；③加固線路1、18 和19，具體方案見附錄B 表B2。由圖A4 可知，配電網線路故障率對目標函數有直接影響。經計算可得場景5 中線路平均故障率為0.283 2，大于其他2 種場景的平均故障率，其棄負荷成本最大。此外，由表B2 可以看出，針對3 種不同線路故障率求解出的線路加固方案各不相同，故在配電網彈性增強策略中融入線路故障率信息具有重要參考意義。

4.4 求解算法性能分析

本節對場景1 和2 中采用RO 模型和DRO 模型的收斂性能進行分析。當線路加固數取值為3 時，模型的求解迭代次數如圖5 所示。2 種模型求解的迭代次數和運行時間見附錄B 表B3。

圖5 求解迭代過程Fig.5 Iterative process of solving

針對上述2 種模型，其求解流程中均含有外層C&CG 循環及內層Benders 循環的計算過程，該雙層循環的迭代求解是影響模型運行時間的關鍵因素。結合圖5 和附錄B 表B3 可知，隨著加固線路數的增大，配電網中可供選擇的線路加固組合方案急劇增加，RO 模型求解迭代次數和運行時間顯著增大。而對于DRO 模型，當加固線路數小于5 時，迭代次數和運行時間顯著增加；當加固線路數大于5時，迭代次數和運行時間增加較平緩；當加固線路數為8 時，DRO 模型的求解時間小于RO 模型。

5 結語

針對極端天氣條件下電-氣綜合能源系統的彈性提升，本文提出了考慮配電網線路故障率和電-氣耦合關系的綜合能源系統DRO 模型及其求解方法。通過算例驗證了所提模型和算法的有效性，可得如下結論。

1）在面向配電網彈性提升的決策模型中考慮了配電網中線路故障概率的統計信息，并將其融入防御-攻擊-防御的優化框架中，以便做出更加有效合理的綜合能源系統彈性提升決策。

2）相比傳統RO 模型僅通過辨識最嚴重攻擊場景制定彈性提升決策的方法；本文以線路故障率置信區間及其損壞期望值構造模糊集，在此基礎上提出DRO 模型，有效降低了RO 模型的保守性。

3）對于上述模型轉化得到的非凸、非線性優化問題，結合對偶理論將具有max-min 形式的雙層優化問題轉化為單層有限維優化問題，并提出內外雙層迭代求解框架并采用C&CG 算法和Benders 分解算法聯合求解，通過算例驗證其有效性。

需要指出的是，本文提出了考慮線路故障概率信息的DRO 模型制定綜合能源系統的彈性提升策略，但并未考慮強烈地震災害時天然氣網遭受破壞的情況，下一步工作將研究電力、天然氣網同時遭受破壞時綜合能源系統的彈性提升策略。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。