電場的降維映射及電場線的繪制方法

岳國聯 黃紹書

(六盤水市第三中學 貴州 六盤水 553000)

電磁學中，常用電場線形象直觀地描述靜電場(本文“電場”均指靜電場)，由高斯定理出發，可得到電場線的基本特征[1,2].為了較為“精確”地描繪共線分布點電荷產生的電場線，常規做法是先推導出電場線方程[3～10]，再用計算機根據方程繪制[7～10];對于分布于平面內非共線電荷，可以借助軟件對電場線微分方程進行數值求解并繪制[11].采用這些方法繪制電場線，總存在這樣或那樣的問題[2,3],本文將提出一種解決這些矛盾的有效辦法.

1 電場線的特征

為了使電場線對電場強度的描述更加準確，結合高斯定理，對電場線做如下規定：電場線上每點的切線方向與該點的電場強度方向相同，穿過電場中任意一面元的電場線條數正比于該面的電通量[1].

由這個規定可以得出電場線的基本特征——電場線發自(止于)點電荷所在處；點電荷Q發出(終止)的電場線數與電荷量Q成正比；通過某一截面電場線數與該截面的電通量Φ成正比，無電荷處，電場線不中斷[1,2].

由電場線的基本特征，可以得到電場線分布的另兩個局部特征.

近距特征：由有限個點電荷形成的電場中，電場線均勻穿過以某電荷為球心、半徑足夠小的球面.原因是在這個點電荷周圍足夠近的地方，該點電荷產生的電場遠大于其他電荷在該處產生的電場.

遠距特征：點電荷分布在有限區域內，若總電荷不為零，電場線均勻穿過以電荷分布區域內某點為球心、半徑足夠大的球面.原因是在足夠遠處來看，這些電荷相當于集中于一點，電場強度相當于一個帶有總電荷量的孤立點電荷產生的電場.

2 采用常規方法繪制電場線存在的問題

下面討論采用常規方法繪制電場線存在的問題.為了便于求出電場線方程的解析解，取電荷分布在一條直線上.設所有電荷分布在y軸上，設第i個點電荷電荷量為Qi,位置坐標為(xi,yi),求經過xOy平面上任意一點(x,y)電場線方程，其方法有多種[3～11]，其中利用電通量的方法和利用矢量線方程的方法最為常見[3～9]，均得到如下電場線方程

(1)

其中C為常量，不同的C值對應不同的電場線.

取C的等差數值代入式(1)，得到的電場線明顯不能完全滿足電場線的基本特征，故需要進一步改進，很多文獻提到一些辦法，例如取一些特殊C值代入式(1)來繪制，特殊值的選取依據就是使其滿足近距特征或遠距特征[7,9,10].

設單位電荷q產生的電場線數為n0=16，電荷量Q1的位置坐標(0,1), 電荷量Q2的位置坐標(0,-1),筆者在Mathematica中依照近距特征或遠距特征確定值，繪制電場線圖像如圖1、圖2所示.

圖1 按照近距特征確定C值繪制電場線

圖2 按照遠距特征確定C值繪制電場線

圖1按照是按照近距特征確定C來繪制,一定都滿足近距特征.

圖1(a)中是等量異種電荷的電場線.Q1發出滿足近距特征的電場線，與終止于Q2滿足近距特征的電場線完全重合，兩個電場線周圍均滿足近距特征，電場線沒有延長到遠距離空間去，不能存在遠距特征；圖1(b)和(d)中是同種電荷電場線.兩個電荷周圍電場線均滿足近距特征，但不滿足遠距特征，電場線之間似乎有一種擠壓的現象，說明近距特征與遠距特征間存在矛盾；圖1(c)中，是非等量異種電荷電場線.實線是Q1發出滿足近距特征的電場線，虛線是終止于Q2滿足近距特征的電場線，實線與虛線無法完全重合，說明近距特征間存在相互矛盾.

圖2是按照遠距特征確定C來繪制,一定滿足遠距特征.

圖2(a)中是孤立點電荷的電場線.同時滿足遠距特征和近距特征；圖2(b)和(d)中是同種電荷電場線.滿足遠距特征，但不滿足近距特征，說明近距特征與遠距特征間存在矛盾；圖2(c)中是異種電荷的電場線.滿足遠距特征，但是由于部分電場線從正電荷到負電荷，并沒有延伸到較遠空間去，無法在遠距特征中加以體現，所以無法繪制.

從以上分析可以看出，除孤立點電荷、等量異種電荷的電場線外，其他分布點電荷的電場線均不能滿足電場線的基本特征.各電荷間近距特征相互矛盾、近距特征與遠距特征間相互矛盾的現象，一些文獻也指出了這個問題[2,3]，也有因此將電場線的特征作為“繪制電場線圖的附加規定”[2].

筆者認為，繪制滿足電場線的基本特征，就是繪制電場線圖的規定，沒有必要加上“附加”.因為由高斯定理得到電場線的基本特征體現了電場的某個基本屬性，三維空間中描述電場的電場線是空間曲線，他們一定滿足其電場線的基本特征(包括近距特征和遠距特征)，而某個平面內的電場線只是眾多電場線的一部分，該部分電場線無法滿足電場線的基本特征也正常，就像將地圖繪制到平面上時，總會導致變形是一個道理.這并不是繪制中改進方法完不完善的問題，也不是技術高超不高超的問題，而是原本就該如此.

3 電場和電勢的降維映射

通過前面分析可知，對于分布在平面內的一般電荷，通過電場線方程中C取特殊值的改進方式繪制該平面內的電場線，是不可能完全滿足電場線的基本特征的.要能在平面內繪制出完全滿足其基本特征的電場線，需要從電場本身著手，進行一種變換，使三維空間的電場降維映射到二維空間中去.

3.1 電場的降維映射及電場線繪制

為使平面內電場線完全滿足電場應具有的特征，將電場從三維空間降維映射到二維空間去，映射后的電場是一種假想的電場，姑且稱為映射電場，記為E，其電場線稱為映射電場線，封閉曲面S對應為封閉曲線C，電通量對應于映射電通量Φ.

類比高斯定理，假設映射電場在二維空間內遵從“二維高斯定理”，即

(2)

由式(2)得到，二維真空中位于(x0,y0)點電荷Q在距點電荷r的(x,y)處產生映射電場為

(3)

式中ε0是真空介電常量；er是從Q位置坐標指向(x,y)的單位矢量.映射電場仍為矢量，方向與電場方向規定一致.

在二維空間多個點電荷形成的映射電場中，其映射電場穿過某曲線的映射電通量的等高線為映射電場線.如圖3所示，穿過曲線C的映射電通量為Φ，若將曲線C的A端固定，則映射電通量Φ為B點坐標(x,y)的函數，對應的就是映射電場線方程.

圖3 二維映射電場的映射通量等高線求解示意圖

設第i個點電荷位于(xi,yi),取y軸正方向映射電通量為零(圖中A點)，則位于(x,y)處的B點對應映射電通量

(4)

其中θi為研究曲線兩端與第i個電荷連線的夾角.用直角坐標表示有

(5)

設單位電荷q產生的電場線數為n0.每個常量Φ值對應一條映射電場線，等間距取Φ值，第j條電場線對應

(6)

下面以等量同種電荷為例，設單位電荷q產生的電場線數為n0=16，在Mathematica中編寫代碼如下：

n0=16;(*單位電荷數*)

Q={2,-2};(*電荷列表，對應Q1,Q2,Q3*)

X={0,0};(*電荷x軸坐標列表*)

Y={1,-1};(*電荷y軸坐標列表*)

φj=Table[(2j+1)2Pi/(2 n0),{j,-Length[X] n0,Length[X] n0-1}];(*計算φj,考慮到定義域問題，需要擴大φj 值范圍*)

p1=ContourPlot[Sum[Part[Q,j]ArcTan[(y-Part[Y,j]),(x-Part[X,j])],{j,1,Length[X]}]= =φj,{x,-4,4},{y,-4,4}, AxesOrigin->{0,0},ContourStyle->{Black},PlotPoints->50,AspectRatio->1,Frame->True,FrameStyle->Black];(*繪制映射電場線*)

p2=ContourPlot[Sum[Part[Q,j]ArcTan[(x-Part[X,j]),(y-Part[Y,j])],{j,1,Length[X]}]= =φj,{x,-4,4},{y,-4,4}, AxesOrigin->{0,0},ContourStyle->{Black},PlotPoints->50,AspectRatio->1,Frame->True,FrameStyle->Black]

Show[p1,p2] (*重疊兩張圖片,顯示更加完整*).

得到電場線如圖4(a)示,同理適當修改代碼，可得到其他圖像，如圖4中其他圖所示.

圖4 共線電荷與映射電場線

由圖可以看出這映射電場線完全滿足電場線的基本特征(包括近距特征與遠距特征)，在繪制時不需要單獨設定.

對于等量異種點電荷，對比圖4(a)與圖1(a),它們雖然都滿足電場線的基本特征，但是電場線形狀有一定區別.圖1(a)之所以滿足電場線的基本特征是因為它沒有遠距特征，而且兩個電荷量相同的特殊情形的結果，具有特殊性，而圖4(a)中滿足電場線基本特征是一種普遍性結果，是“二維高斯定理”的體現，有本質的區別.

值得一提的是，式(1)僅適用于共線點電荷的電場線方程，而式(5)不僅適用于共線點電荷的映射電場線方程，還適用平面內非共線多個點電荷的映射電場線方程，在Mathematica中繪制部分實例如圖5所示(代碼略)，設單位電荷q產生的電場線數為n0=16.

圖5 平面內非共線點電荷與映射電場線

3.2 電勢的降維映射及等勢線的繪制

在三維空間繪制等勢面是比較容易，效果也很理想，但是為了繪制與映射電場線相互正交的等勢線，需要將電勢也作映射，姑且稱為映射電勢，用φ表示其等勢線稱為映射等勢線.

類比三維空間電勢及電勢差的定義，在第i個點電荷產生的映射電場中，A和B兩點與點電荷距離分別為riA和riB，結合式(3)則A和B間映射電勢差

(7)

用ri表示研究位置到參考面的距離，取B點映射電勢為零(零勢能參考面),位于任意點(x,y)的映射電勢為φ，則

φ取等差數值代入式(8)，就得到在xOy平面內等差的映射等勢線.

在Mathematica中用以下代碼繪制等勢線：

p3=ContourPlot[-Sum[-Part[Q, i] Log

[Sqrt[(x + Part[X, i])^2+(y-Part[Y,i])^2]],{i,1,Length[X]}],{x,-4,4},{y,-4,4},AxesOrigin->{0,0},ContourStyle->{{Black,Dashed},{Black,Dashed}},PlotPoints->50,ContourShading->None,Contours->16,ContourLabels->Automatic,Frame->True,FrameStyle->Black];(*繪制映射等勢線，虛線*)

Show[p1,p2,p3](*映射等勢線加在映射電場線上*)

在圖5(c)加上映射等勢線后如圖6所示.

圖6 映射電場線及映射等勢線(虛線)

三維空間與二維空間中電場相關物理量關系如圖7所示.

圖7 三維與二維空間中電場相關物理量對應關系

4 結束語