電力系統移頻電磁暫態仿真原理及應用綜述

高仕林，宋炎侃，，陳 穎，，黃少偉，，于智同，譚鎮東

（1. 清華大學電機工程與應用電子技術系，北京市 100084；2. 清華四川能源互聯網研究院，四川省成都市 610042）

0 引言

傳統的機電暫態仿真工具僅針對工頻信號建模，難以分析復雜暫態過程［1-2］。電磁暫態仿真能夠精確模擬系統的各種行為，在現代電力系統中應用廣泛。然而，針對大規模交直流電網，傳統電磁暫態仿真規模龐大、仿真速度慢，導致暫態過程分析效率低下［3-4］。而高效、精確的電磁暫態仿真是大規模電網規劃、運行和控制的關鍵支撐技術，有必要在保證準確性的前提下，研究高效的電磁暫態仿真技術［5-6］。

20 世紀60 年代，加拿大DOMMEL H W 教授主持開發了世界首個電力系統電磁暫態仿真程序EMTP［7］?；贓MTP 的技術，各科研機構和企業開發了一系列電磁暫態仿真軟件［8-9］，如PSCAD/EMTDC［10］、實時數字仿真系統（RTDS）［11］、全數字電力系統仿真器（ADPSS）［12］等。傳統電磁暫態仿真中，受奈奎斯特采樣定律的限制，積分步長所對應的采樣頻率一般應小于系統最高頻率的10 倍。由于上述程序均對快速變化的電壓、電流的瞬時值進行仿真，這使得仿真的步長需取較小值，導致計算效率低。為解決該問題，文獻［13-17］提出了一種移頻電磁暫態仿真（下文簡稱移頻仿真）方法，首先基于希爾伯特變換構造電力系統中電壓、電流信號的復數信號，然后對復數信號進行移頻變換得到復包絡信號，并基于復包絡構造元件的移頻分析方程。復包絡信號的頻率遠小于原信號的頻率。所以，可在不損失精度的前提下增大仿真步長，進而實現高效、準確的電磁暫態仿真。眾多學者將移頻仿真方法應用于傳輸線［18］、感應電機［19-20］、同步電機［21-22］、風機［23］、模塊化多電平換流器［24-26］等，建立了上述元件的移頻仿真模型。此外，也有學者構建了基于移頻仿真技術的仿真平臺，實現了大規模交流電網的仿真加速［27-29］，可用于交流電網的設計與運行等，推動了移頻仿真技術的發展。

移頻仿真技術符合電磁暫態仿真的發展方向，但目前移頻仿真研究仍不完善，在復數信號構造方式、移頻方法、寬頻信號建模等方面仍存在理論問題。此外，針對移頻仿真中的各步驟，不同文獻采用不同的方法、不同的形式，對各步驟的命名也不同，這容易影響讀者對移頻仿真的理解。因此，對移頻仿真研究中的關鍵技術和現存的問題進行梳理和分析，具有重要的理論價值和現實意義，也有利于促進移頻仿真的發展。

為此，本文對移頻仿真技術及其研究現狀進行綜述。首先，介紹了移頻仿真的原理。然后，依次梳理了移頻仿真中3 個關鍵步驟的研究現狀，即復數信號構造方法及其特點、移頻變換的形式及其特點、不同的仿真模型及其區別。接著，對移頻電磁暫態仿真技術應用的研究現狀進行了總結。最后，討論了目前移頻仿真中仍然存在的問題，為移頻仿真技術的進一步發展提供參考。

1 移頻仿真原理

交流電網中的電壓和電流信號可用一中心角頻率為ωc的帶通信號x(t)表示。該信號的頻譜是雙邊頻譜，即含有對稱的正頻率和負頻率2 個部分。為了得到僅含正頻率的信號，構造如下形式的復數信號xS(t)［13-14］。

式中：t為時間；xT(t)為xS(t)的虛部，是與x(t)正交的信號，可通過對x(t)進行某種數學變換T(x)得到。

x(t)和xS(t)的頻譜如圖1 所示［14-15］。圖中，X(ω)為x(t)的頻譜，XS(ω)為xS(t)的頻譜。

圖1 原信號與復數信號的頻譜Fig.1 Spectra of original signal and complex signal

將上述復數信號xS(t)的頻譜向左平移ωc，可以得到頻率集中在0 附近的復包絡信號xE(t)。頻譜的平移在時域中可以表示為：

移頻變換前后的信號的頻譜如圖2 所示［23］。由圖可知，復包絡信號中所含的最大頻率遠小于原始實信號，是一個變化緩慢的信號。根據奈奎斯特采樣定律［14］，在不損失精度的前提下，基于復包絡構造的電磁暫態模型在仿真中可支持更大的積分步長，從而極大降低計算量，提升仿真效率［17］。

圖2 復數信號和復包絡信號的頻譜Fig.2 Spectra of complex signal and complex envolope signal

綜上，移頻仿真的原理可總結為3 步［17］：①構造復數信號，即通過數學變換將傳統含有雙邊頻譜的電壓、電流實信號無損變換為只含有單邊頻譜的復數信號；②移頻變換，即將上述復數信號的頻譜向左平移一個工頻，得到變化緩慢的復包絡信號；③離散化，即基于復包絡信號，建立元件的離散化模型。下面對這3 個部分內容的研究進展進行介紹。

2 復數信號的構造方法

如前文所述，構造xS(t)的虛部信號xT(t)時，需引入變換T(x)。該變換應當滿足以下性質：①T(x) 為線性變換，即T(x+y) =T(x) +T(y)；②T(x) 滿足微分性質，即T(dx/dt)=dT(x)/dt。

根據上述原則，現有文獻中提出了3 種構造xT(t) 的數學變換T(x)，分別為：希爾伯特變換［13-14］、微分變換［30］和積分變換［31］。下面以電力系統中典型的帶通信號為例，比較3 種復數信號構造方式的區別。帶通信號x(t)可以表示為：

式中：ωc=2πfc為角頻率，其中fc為基波頻率；φ(t)為相位角；A(t)為幅值。

分別采用上述3 種構造方式構造式（3）的復數信號，如附錄A 表A1 所示?？梢园l現，利用希爾伯特變換構造的復數信號的頻譜僅含正頻帶［13-14］，而利用微分變換和積分變換構造的復數信號仍然含有少量的負頻率分量。

為進一步驗證上述結論，比較了在不同復數信號構造方式下，式（4）所示的帶通信號對應的復數信號的頻譜，各信號的頻譜如圖3 所示。圖3（a）為原信號頻譜|X(ω)|，圖3（b）為基于希爾伯特變換的復數信號的頻譜|Xsh(ω)|，圖3（c）為基于微分變換的復數信號的頻譜|Xsd(ω)|，圖3（d）為基于積分變換的復數信號的頻譜|Xsi(ω)|?？梢园l現，測試結果與附錄A 表A1 中分析一致。

總之，在相同的步長下，基于上述3 種變換的移頻仿真中，基于希爾伯特變換的移頻仿真的精度較基于另外2 種變換的移頻仿真的精度更高。因為基于微分變換和積分變換生成的復數信號中仍含有少量負頻率分量。移頻后該部分頻率將提升，從而造成精度損失。

3 移頻變換

將第2 章中所構造的復數信號xS(t)變換為頻率在0 附近的復包絡信號的過程稱為移頻變換［17］。該過程可分別用復數形式和實數矩陣形式來實現。

3.1 復數形式

在復數域下，復包絡信號的時域表達式為［15，17］：

可以發現，移頻變換的本質是將復數信號乘以一個旋轉信號，進而得到頻率在0 Hz 附近的低頻復包絡信號。復包絡信號的最大頻率小于原始實信號的頻率［15］。所以，基于復包絡的電磁暫態仿真（移頻仿真）可以采用更大的步長。

3.2 矩陣形式

實數矩陣形式的移頻變換在部分文獻中又被稱為時域坐標變換［32-34］。其實際是將式（5）的實部和虛部分離，表示為矩陣形式，如式（6）所示。

圖3 典型帶通信號及其復數信號的頻譜Fig.3 Spectrum of typical band signal and its complex signal

其中

3.3 2 種變換形式的比較

由3.1 節和3.2 節內容可以發現，2 種形式在數學上是等價變換，故其精度一致。但在計算時，基于復數形式的移頻變換的電磁暫態仿真的效率比基于矩陣形式移頻變換的仿真效率更高［35］。原因主要有以下2 點。

1）從計算量角度對比

針對一個含有n個節點的電網，采用復數方式的移頻變換時，仿真中每一時步的計算主要為求解一個n維的復數節點電壓方程，其求解時所需的算術運算次數N1如式（9）所示。采用矩陣方式的移頻變換時，仿真中每一時步的計算則主要為求解一個2n維的實數節點電壓方程，其求解時所需的算術運算次數N2如式（10）所示［36］。需要注意的是，這里所提的算術運算次數都指實數加、減、乘、除的次數。

式中：D表示除法的運算次數；M表示乘法的運算次數；A表示加法或減法的運算次數。

比較式（9）和式（10）可知，在n較大時，基于復數形式的移頻變換的電磁暫態仿真的節點電壓方程的求解計算量約為基于矩陣形式的移頻變換仿真的節點電壓方程的求解計算量的1/2。

2）從計算機實現角度對比

復數矩陣中每個元素實部和虛部在內存中的存儲是連續的，這符合CPU 訪存的局部性原理［37］。而采用實數矩陣形式得到的節點導納矩陣，其實部和虛部元素的存儲是不連續的。因此，在單次運算中，復數矩陣運算的緩存命中率更高。故從計算機實現角度看，復數形式的移頻仿真計算效率更高。

利用通用的數學求解器KLU［38］對經復數形式移頻變換和經矩陣形式移頻變換后形成的網絡節點方程的求解效率進行了測試。不同算例的節點方程在不同移頻變換形式下的求解效率對比如表1 所示?？梢园l現，基于復數形式移頻變換的節點方程的求解效率更高。這也說明，基于復數形式移頻變換的仿真效率高于基于矩陣形式移頻變換的仿真效率。

4 離散化仿真模型

在電力系統電磁暫態仿真中，電氣元件的動態過程均可以用微分方程來描述。設某個元件的微分方程可以表示為［14-15］：

式中：f(t)為x(t)的導數。

表1 不同變換形式下不同算例的節點方程求解效率Table 1 Efficiency of solving nodal equations of different cases with different types of transformation

由于第2 章中的3 種變換都滿足微分性質，即T(dx/dt) =dT(x)/dt，原信號的正交信號滿足［14-15］：

根據移頻建模理論，結合式（11）和式（12），可以通過隱式梯形法離散化建立移頻仿真的不同離散化模型。根據移頻變換和離散化的先后順序，將移頻仿真中的仿真模型分為4 種，下面分別闡述。

1）根據式（11）和式（12），可得元件基于復數信號的微分方程為：

其中

利用梯形法對式（13）進行離散化可得基于復數信號的仿真模型（定義為Ⅰ型模型）［14，29］：

式中：Δt為t的變化量。

將式（15）轉換為矩陣形式，可以得到矩陣形式下的Ⅰ型仿真模型：

對式（15）或式（16）進行計算，即可得到系統的電磁暫態仿真結果。

2）將式（15）等號兩邊同時乘以e?jωct，可得一種基于復包絡的仿真模型（定義為Ⅱ型模型）：

其中

將式（17）轉換為矩陣形式，可得矩陣形式下的Ⅱ型仿真模型。

其中

3）對式（13）進行移頻變換，可得元件基于復包絡信號的微分方程［14-17］為：

利用隱式梯形法對式（21）進行離散化，可得Ⅲ型仿真模型，如式（22）所示。其仿真的信號是電壓、電流的復包絡［39-40］。

將式（22）表示為矩陣形式，可得矩陣形式下的Ⅲ型仿真模型［33］為：

4）將式（22）等號兩邊同時乘以ejωct，可得式（24）所示的Ⅳ型仿真模型。Ⅳ型仿真模型是一種基于復數信號的仿真模型［14-15］，即

將式（24）表示為矩陣形式，可得矩陣形式下的Ⅳ型仿真模型［41-45］為：

其中

對比上述4 種仿真模型可知，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型之間是等價變換，二者具有相同的仿真精度；Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型之間是等價變換，二者具有相同仿真精度。Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型在本質上是先進行移頻變換，再進行離散化。2 個步驟中，離散化過程會造成仿真精度損失［14］。由于移頻后得到的信號是慢變信號，而對慢變信號進行離散化時的精度損失小，故在相同的步長下，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的仿真精度將高于Ⅰ型和Ⅱ型模型的仿真精度。

為了驗證上述結論，分別利用上述4 種模型對圖4 所示的RLC 電路進行仿真，并對4 種仿真模型的結果進行對比。圖中：U(t)為電壓源電壓，U(t)=A(t)cos(100πt+2 cos(5πt))，A(t)=220 2 (1+0.1 cos(10πt))；R、L和C分別為電路的電阻、電感和電容，R=20 Ω，L=50 mH，C=5 μF。

圖4 簡單RLC 電路Fig.4 Simple RLC circuit

在步長為1 ms 的情況下，分別利用上述4 種仿真模型對圖4 所示電路進行仿真，并對比不同模型計算得到的電感電流，如圖5 所示。圖中：iRef為1 μs步長下EMTP［46］仿真得到的電感電流，將其作為參考結果；iType1、iType2、iType3、iType4分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型仿真模型的結果。

圖5 不同仿真模型計算得到的電感電流Fig.5 Inductor currents calculated by different simulation models

由圖5 可知，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度相同，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度相同，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型，具體原因見前文分析。

為了進一步分析4 種仿真模型的精度，對比了不同步長下，4 種模型仿真在圖4 所示電路下得到的電感電流的相對二范數累積誤差，如表2 所示。各種模型結果的相對二范數累積誤差ei定義為［47-49］：

式中：xRef為EMTP 仿真得到的參考結果；xTypei（i=1，2，3，4）為上述4 種模型的仿真結果。

表2 不同步長下的各種仿真模型得到的電感電流與準確結果之間的相對2 范數累積誤差Table 2 Relative 2-norm cumulative error between inductor current obtained by different simulation models with different step sizes and accurate results

由表2 可知，在相同步長下，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度一致，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度一致，且Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型，進一步驗證了前文理論分析的正確性。

在數值穩定性方面，由于4 種模型采用的離散化方法均為隱式梯形法，4 種模型的數值穩定性一致，均為A-穩定［8］。移頻仿真中，除了需注意采用的數值積分方法是否具有A-穩定性，還需考慮其是否為L-穩定。由于隱式梯形法非L-穩定，在系統中發生變量突變時，移頻仿真中將出現數值振蕩問題。這與基于隱式梯形法的EMTP 仿真中發生變量突變時遇到的問題相同，可結合臨界阻尼調整技術或插值技術對數值振蕩進行抑制［8］。此外，可考慮采用L-穩定的數值積分方法（如二階對角隱式龍格庫塔法［50-51］）對系統的微分方程進行求解。由于該類方法為L-穩定，在發生變量突變時，移頻仿真中不會出現數值振蕩。

5 移頻仿真技術的應用

關于移頻仿真技術的應用，現有文獻主要針對如何基于移頻仿真技術建立電力系統元件的模型展開研究。在旋轉電機的建模方面，文獻［21-22］基于移頻仿真算法建立了同步電機的電磁暫態仿真模型；文獻［19-20，39］建立了移頻仿真框架下的感應電機模型；文獻［23，52］分別基于移頻仿真算法建立了雙饋感應風機和永磁直驅風機的模型，設計了實數信號和復數信號之間的數據接口，為其他含電力電子器件系統的移頻仿真模型的建立提供了參考。在傳輸線建模方面，文獻［15］基于移頻仿真算法建立了傳輸線的貝瑞隆模型；文獻［18］基于移頻仿真算法建立了傳輸線的頻率依賴模型，能夠精確描述仿真線路的電磁暫態過程。在直流換流站建模方面，文獻［43-45］建立了換流站交流側的移頻仿真模型，并設計了交流側和直流側的數據接口，實現了移頻仿真算法和傳統EMTP 算法的混合仿真。其中，直流電網采用EMTP 進行仿真。上述研究將移頻技術應用到電力系統的電磁暫態仿真中，緩解了仿真步長和精度之間的矛盾，提升了仿真的效率，也驗證了移頻仿真技術的有效性。未來，還需繼續對電力系統其他設備（如柔性交流輸電系統（FACTS）、光伏系統）的移頻仿真模型展開研究。

在應用方面，除了上述電力系統元件的移頻仿真建模外，部分文獻針對移頻仿真平臺構建展開研究。文獻［27-29］介紹了基于移頻仿真技術的仿真平臺CloudPSS，可應用于電網的設計與運行，但其目前僅支持傳統交流電網的仿真。如何對其進行擴展，使得其支持含新能源、直流等的大規模交直流電網的仿真值得進一步研究。

6 討論分析

6.1 現有的復構造方法存在的問題

6.1.1 微分變換和積分變換的問題

微分變換會放大信號中的高頻分量，使得基于微分變換的移頻仿真在仿真含高頻分量的信號（即含有多個中心頻率，非帶通信號）時易出現精度降低的問題。而積分變換則會放大信號中的低頻分量，基于積分變換的移頻仿真無法精確仿真含低頻分量的信號。即使仿真的信號中不含高頻分量和低頻分量，基于上述2 種變換的移頻仿真方法的精度也比基于希爾伯特變換的移頻仿真方法差。因為基于微分變換和積分變換構造的復數信號中存在負頻率分量，移頻后的頻譜中將含有原信號頻率2 倍頻左右的分量，導致仿真誤差被放大。

6.1.2 希爾伯特變換的問題

希爾伯特變換雖然不存在上述問題，但利用其構造的復數信號仍然具有局限性。希爾伯特變換具有非因果特性［15-17］，信號的希爾伯特變換在t=t0處的值與原信號在t>t0范圍內的值有關。因此無法僅用原信號在t

1）電磁暫態仿真與移頻仿真的混合仿真問題。如果需要將EMTP 與移頻仿真進行混合仿真，需要在每個時步將接口處的EMTP 側的實數信號轉換為移頻仿真中的復數信號。但是，由于希爾伯特變換的非因果性，EMTP 中實數信號對應的希爾伯特變換后的復數信號不可知，混合仿真難以實現。

2）移頻仿真過程中，系統中出現開關等動作時，復數信號的實部（原信號）與虛部之間不再滿足希爾伯特變換的關系。由于希爾伯特變換存在非因果性，導致復數信號虛部的值與實部t>t0的值相關，而t>t0的值無法預知。下面以開關的建模為例，對此進行進一步說明。

開關可以表示為可變電阻，可變電阻的數學模型可以表示為［8］：

式中：G(t)表示電阻；i(t)表示電阻上流過的電流；u(t)表示電阻的電壓。

目前，移頻仿真均不考慮G(t)的變化，直接構造i(t)和u(t)的復數信號為：

式中：iS(t)和uS(t)為復數信號。

實際上，開關元件的電阻G(t)可視為一個階躍函數，其頻譜G(ω)連續，范圍為(?∞，+∞)，如圖6 所示。式（29）的變換忽略了信號G(t)中比u(t)更高頻的部分，這會造成精度損失。

圖6 階躍函數示意圖及其頻譜Fig.6 Schematic diagram of step function and its spectrum

6.1.3 帶通信號假設失效問題

現有基于希爾伯特變換的移頻仿真在推導的過程中，都假設信號是形如式（3）的帶通信號［14-17］。在這個前提下，由于希爾伯特變換具有調制特性，原信號經希爾伯特變換后的信號容易求得。根據希爾伯特變換的調制特性，直接對原信號中的高頻分量部分進行希爾伯特變換即可得到所需復數信號的虛部。但該簡化的前提是A（t）和φ（t）均為低頻信號?，F有移頻仿真均忽略了這一假設。無論A（t）和φ（t）中是否含高頻分量，皆按上述方式構造復數信號。在含高頻分量時，這種復數信號的構造方式已不是準確的希爾伯特變換，文中將其稱為“偽希爾伯特變換”。值得注意的是，基于“偽希爾伯特變換”的移頻仿真的準確性依然很高。下面對此進行分析。

事實上，容易發現基于“偽希爾伯特變換”的復數信號的最大頻率與基于希爾伯特變換的復數信號的最大頻率一樣，只是基于“偽希爾伯特變換”的復數信號含有負頻率分量。當原信號含有頻率較高的分量時，其頻率范圍很寬，移頻變換過程中對頻譜移動50 Hz 或60 Hz，對頻譜的影響很小。所以，相同步長下，基于希爾伯特變換和“偽希爾伯特變換”的仿真結果很接近。如果移頻頻率選取得較大時，基于“偽希爾伯特變換”的移頻仿真的精度相較基于希爾伯特變換的移頻仿真的差距較大，這是因為基于“偽希爾伯特變換”的復數信號的負頻率分量將變為比原信號最高頻率更高的頻率的分量。根據奈奎斯特采樣定律和數值積分方法誤差理論［8］可知，其仿真精度將會下降。

6.2 復數信號的構造與移頻變換間的解耦特性

根據6.1 節的分析可以發現，復數信號可以通過多種不同的數學變換來構造。無論以何種方式構造復數信號，都可以進行移頻變換，并進行移頻仿真。事實上，復數信號的構造與移頻變換二者解耦，復數信號的構造方式并不影響移頻變換的實現。甚至直接對原信號進行移頻變換也可以得到一種移頻仿真模型，但這樣的結果卻是需要采用比EMTP 仿真更小的仿真步長才能實現精確仿真。另外，移頻變換時頻譜平移頻率的大小與復數信號的構造方式也無關。

不同復數信號構造方式的區別在于：利用不同方式構造的復數信號經移頻變換后得到的復數包絡信號在仿真過程中的精度不一致。若復數信號構造的方式不佳，將會影響仿真結果的精度。

7 移頻仿真的下一步研究重點及建議

考慮本文討論的移頻仿真的原理和應用問題，下面對移頻仿真技術及其應用的下一步研究重點進行總結。

7.1 復數信號構造方法方面

由于現有的復數信號的構造方法都不完美，更加靈活且普適的復數信號構造方法是未來的研究重點。尤其是如何建立具有因果性的復數信號的虛部，進而對電力系統中廣泛存在的非線性元件進行精確建模，是未來復數信號構造研究的關鍵。微分變換和積分變換具有因果性［15-17］，但基于其移頻仿真的準確性不足；基于希爾伯特變換的移頻仿真準確性高，但其又不具有因果性。在下一步研究中，可以考慮不同復數信號構建方式混合使用策略，并評估其數值準確性，進而提出兼顧因果性和準確性的復數信號通用構建方法。

7.2 時空協調的移頻參數選擇方法方面

文中討論的移頻仿真技術針對電壓、電流為窄帶信號的交流系統。但由于直流電網等的接入，實際電網往往存在諧波，且不同區域電網也可能存在不同時間尺度的信號，這限制了單一移頻參數在實際電網仿真中的適用性。因此，未來需關注如何將移頻仿真技術擴展到寬頻、多頻段信號的仿真［53-54］，需要分析移頻參數與誤差之間的關系，分析如何為不同的信號選擇合適的移頻參數，進而形成兼顧仿真精度和計算效率的移頻仿真方法。具體實施時，可對不同區域動態過程時間尺度進行分析，優化選擇分區對應的移頻參數。在仿真過程中，可以利用遞歸離散傅里葉變換等技術對移頻仿真中信號的頻率進行檢測，根據信號的頻率分布對移頻參數進行進一步優化。

7.3 大規模電力系統仿真的應用方面

為了使移頻仿真技術能夠應用于大規模交直流電網的仿真，除上述的移頻參數選擇問題外，還亟須解決下列問題。

1）由于移頻仿真僅適用于交流電網的仿真，在仿真大規模交直流電網時，需與EMTP 聯合仿真［26，29］，直流電網利用EMTP 方法進行仿真。這要求準確設計交流電網的移頻仿真、直流系統和新能源系統的EMTP 仿真之間的數據接口。值得注意的是，移頻仿真不會破壞原EMTP 的仿真框架，其實際是對EMTP 仿真的補充，移頻仿真在仿真交流電網時，能夠在保證精度的前提下，極大提升仿真的效率。

2）在移頻仿真中，電氣系統使用的信號為復數信號，控制系統使用的信號為實數信號，因此需要準確設計控制系統模型和電氣系統模型之間的數據接口［23］。

3）由于系統的規模龐大，在程序實現時，傳統的串行實現方法難以達到高效仿真的要求，需要考慮如何進行并行加速。一方面，可以利用多分區多速率移頻仿真方法進行粗粒度并行加速；另一方面，可以利用GPU 等設備實現每個分區仿真的細粒度并行加速，可以基于分層有向圖等技術設計完全基于GPU 的移頻仿真算法［55-56］。

7.4 移頻仿真技術的應用方面

除了需要研究電力系統設備的移頻仿真模型外，還需加快構建移頻仿真軟件平臺。針對移頻仿真的研究已超過10 年，但仍未見在工業中廣泛應用。因此，如何進行產研結合，設計移頻建模仿真軟件平臺，并將該技術應用于電力系統的暫態分析、安全性校驗等領域，也是重要的研究方向。在具體實施過程中，還需考慮計算機實現層面問題，解決諸如復數矩陣計算加速等難題，進一步提升仿真效率。具體的，可以考慮采用高效的數學求解器（如KLU、NICSLU）對系統的節點方程等進行求解。

8 結語

本文詳細梳理和分析了移頻仿真的關鍵技術，包括復數信號的構造、移頻變換的實現、仿真模型的建立，對比了各關鍵步驟中不同方法之間的區別和聯系，討論了未來移頻仿真研究的方向和重點。通過分析，可以得到如下結論。

1）移頻仿真中，復數信號的構造與移頻變換之間相互解耦，互不影響。但不同的復數信號構造方式的仿真精度將會有區別。

2）復數形式的移頻變換與矩陣形式的移頻變換是等價的，二者精度一致，但復數形式的移頻變換模型的計算效率更高。因此，建議在計算機實現時采用復數形式的移頻變換。

3）根據移頻變換和離散化的先后順序不同，總結了4 類移頻仿真模型。其中，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度與傳統電磁暫態仿真模型一致；Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度一致，高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型，為常用的移頻仿真模型。

4）在應用方面，基于移頻仿真理論的交流系統建模與仿真已經較為成熟。已有研究和實際應用表明，移頻仿真技術可用于大規模交流系統的電磁暫態仿真［27-29］，提升大規模交流系統電磁暫態仿真的效率。

未來，關于移頻仿真技術，還需針對以下方向繼續研究。

1）復數信號的構造是移頻仿真的關鍵研究方向之一，尤其是如何利用具有非因果性的數學變換建立復數信號的虛部值得關注。

2）目前，移頻仿真技術主要針對含窄帶信號的交流系統，未來需關注如何將移頻仿真技術擴展到含寬頻、多頻段信號的交直流混聯系統的仿真，分析如何為不同的信號選擇合適的移頻參數，形成兼顧仿真精度和計算效率的移頻仿真方法。

3）盡管移頻仿真效率較高，但在仿真大規模系統時，仍需考慮進一步加速，例如研究基于并行計算的移頻仿真技術。

4）為了實現移頻仿真技術在工業中的應用，除了需要研究電力系統設備的移頻仿真模型外，還亟須加快構建移頻仿真軟件平臺。

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