活動引領探究 激發深度學習
——以蘇科版八年級上“一次函數圖象(1)”為例

王春梅 (江蘇省沭陽如東實驗學校 223600)

1 基本情況

(1)學情分析

八年級的學生觀察能力逐步增強，但深入性不夠；動手能力逐漸提高，但穩定性不足；具體形象思維發展迅速，抽象思維優勢凸顯.教學中要充分把握這些特征．函數學習標志著數學由常量世界進入變量世界，是數學學習中一次質的飛躍，對學生思維能力提出了嚴峻考驗．在蘇科版教材八上第六章的前兩節，學生已經掌握了有序實數對與坐標平面內點的對應關系，認識了函數圖象的描述性定義，具備由數到點、由數到形的較為簡單的知識經驗．

(2)教材分析

函數是刻畫研究現實世界變化規律的重要模型，一次函數是初中數學中的一種基本函數．一次函數的圖象建立在有序實數對與平面內點的對應關系基礎之上，是函數概念與圖象第一次完美結合．本節課是函數圖象的教學起始課，是認識了一次函數概念后對一次函數內容的進一步研究，是研究一次函數圖象性質的橋梁，是以后學習反比例函數、二次函數圖象的基礎，其研究方法具有一般性和代表性．

本課教學中安排一系列探究活動，如觀察操作、嘗試畫圖象、分析圖象、發現規律，讓學生明確知道一次函數的圖象是一條直線，在實踐中主動獲取運用“兩點法”畫出一次函數的圖象．在操作中發展學生數學感知、數學表征、數學概括能力，在活動中感悟函數思想、模型思想，初步形成數形結合觀念，發展幾何直觀，激發學生學習函數的信心和興趣．本課的教學重點是重視學生直接經驗的獲得，體驗每一步“做什么”“怎么做”“為什么要這么做”，自主探索出一次函數圖象的畫法，歸納概括出畫函數圖象的一般步驟；教學難點是引導學生在作圖過程中感知有序數對到點再到線的演變過程，探討數與形的對應關系，體會畫函數圖象過程中各個步驟中的注意要點．

2 教學過程

2.1 情境引入，先行預設

情境引學：生活中的變化現象．

師：同學們，我們生活的世界時刻充滿變化．今天清晨，同學們從甜美的夢中醒來，感受到氣溫隨著時間的變化而變化；你爸爸開車送你上學，假設車速保持不變，行駛路程隨著時間的變化而變化，車里的余油量隨著行駛路程的變化而變化……從第六章開始，我們用一種新的數學知識來揭示兩個變量之間的關系，這種新的數學知識是什么呢？

(學生齊聲回答“函數”，教師板書“函數”)

師：函數是揭示事物變化規律的有效手段，是研究運動變化的數學模型.函數有哪幾種表示方法？

生：圖象法、列表法、函數表達式法．

(教師繼續板書“圖象”)

師：什么叫函數的圖象？

生：在平面直角坐標系中，以函數的自變量的值為橫坐標、對應的函數值為縱坐標的點所組成的圖形叫做這個函數的圖象．

師：上節課，我們認識了一次函數.大家猜猜看，今天這節課我們將學習什么內容呢？

生：一次函數的圖象．

(教師板書，補全課題“一次函數的圖象”)

師：請同學們根據課題，預設一下本節課你想研究哪些內容？

師生共同預設學習內容(教師板書“預設內容”)：(1)如何畫一次函數的圖象？(2)一次函數的圖象的形狀是怎樣的？(3)利用一次函數的圖象可以解決哪些相關的問題？

教學分析結合學生的日常生活經歷，充分感知生活中的變化現象與變化過程中兩個變量間的變化關系，一步步引入課題“一次函數的圖象”，并組織學生圍繞課題自主預設本節課的學習內容，激發好奇心和求知欲的同時指明學習方向．

2.2 自主探究，直觀感知

活動1 點燃一支香，感受它的長度隨時間的變化而變化，將觀察結果填在表格內(屏幕展示課本中的圖片和表格)．

問題1這幅圖片反映了一個怎樣的變化過程？你能獲得哪些信息？

問題2如果用y(cm)表示香的長度、x(min)表示香燃燒的時間，你能寫出y與x之間的函數表達式嗎？

問題3依次連接圖片中香的頂端，你有什么發現？

活動2 建立平面直角坐標系，揭示圖片中的信息．

問題1如何建立平面直角坐標系？

問題2圖片中香燃燒過程中五個時刻的頂端(點)分別可用哪些坐標(有序數對)來表示？

問題3這支香在實際燃燒過程中，這樣的時刻有多少個？這些時刻香的頂端的連線有怎樣的特征？

問題4這些頂端組成的圖形與函數表達式有怎樣的聯系？猜想一次函數圖象的形狀是怎樣的？

教學分析組織學生觀察圖片，概括變化過程，將獲得的信息填入表格，獲得五組對應的數值，并讓學生知曉所填表格即為此一次函數的表格法，y=-0.8x+16(0≤x≤20)為它的函數表達式法，從而設想“香在燃燒過程中頂端所在的這條直線”可能是此函數的圖象法．再通過活動2的實踐，發現可以把香的頂端用有序數對對應的點表示出來，初步感知函數表達式與圖形的對應關系，從數學的角度直觀感知一次函數的圖象可能是一條直線．

2.3 合作探究，理性認知

活動3 嘗試作出一次函數y=2x+1的圖象．

問題1結合活動2的經驗，請同學們討論交流“作出一次函數圖象一般可能經歷哪些步驟？”

組織學生交流合作，小組代表展示，共同得出可能經歷的步驟有：列出表格、建立坐標系、描出點的坐標、把點順次連接．

問題2以一次函數y=2x+1為例，如何畫出此函數的圖象？

學生以4人小組為單位，開始嘗試作圖，5分鐘后小組代表展示探究成果．

小組展示：首先列出表格(表1)，再建立如圖1所示的平面直角坐標系，取5組對應的x,y的值分別作為橫坐標和縱坐標，在坐標平面內描出這5個點，最后把這些點連接起來．

圖1

表1

問題3對上述過程，大家有哪些補充意見？

小組補充1：自變量x的取值應分別取正數、0、負數，這樣更有代表性；

小組補充2：自變量x的取值應便于計算，此函數中可盡量取整數并從小到大排列；

小組補充3：這里的自變量x的取值可以是一切實數，表格中應有“…”予以體現，所以圖象是直線而不是線段；

小組補充4：在坐標系中應寫出此一次函數的表達式表示其名稱．

根據上述補充內容，完善這一作圖象的過程．

解列表(表2)．

表2

描點，連線，如圖2所示．

圖2

活動4 交流討論：作一次函數圖象的過程中，每一步做什么？怎么做？為什么這么做？

根據小組交流的結果，得出如圖3所示的板書．

圖3

問題1觀察發現一次函數圖象的形狀是什么？如何驗證？

問題2由上述驗證過程我們可以得出基本事實：一次函數的圖象是一條直線．活動1中的香的長度y(cm)與香燃燒的時間x(min)的函數表達式y=-0.8x+16(0≤x≤20)的圖象的形狀是什么？為什么？

問題3作一次函數圖象是否有簡捷的方法？根據是什么？

教學分析組織學生根據香的燃燒過程中獲得的經驗嘗試畫函數圖象，通過小組展示、補充、糾錯，經歷一次函數圖象的形成過程，通過幾何畫板演示，運用密集取點的方法讓學生感知這些點在同一條直線上，也有學生通過證明兩個三角形全等對應角相等從而驗證其中的三點共線，系統強化學生對一次函數圖象的畫法、依據、注意點的理性認知．

2.4 展示設計，綜合提升

活動5 在平面直角坐標系中，畫一次函數y=-x+2的圖象．

問題1通常情形下，我們可以取哪兩個點？為什么？作圖過程如何描述？

問題2若設一次函數y=-x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點A,B，你可以設計出怎樣的數學問題？如何求解？

活動6 在直角坐標系中，畫一次函數y= -3x+3的圖象．

試判斷：在點A(2,-4),B(-1,6),C(3,12),D(-2,3),E(5,-12)中，哪些點在此函數的圖象上？

活動7 在上述同一坐標系中，畫一次函數y=-3x,y=-3x-3,y=-3x+3的圖象．

問題1觀察這3個函數的圖象，你有什么發現？得出怎樣的猜想？

問題2觀察函數的圖象，可以設計出哪些與圖象有關的數學問題？

教學分析學生根據“兩點確定一條直線”獲得“兩點法”畫一次函數的圖象的方法，掌握判斷一個點是否在某條直線上的方法.組織學生在同一坐標系中熟練畫出幾個k值相等的一次函數圖象，為下節課繼續研究一次函數的性質作好鋪墊．引導學生根據函數圖象設計出常見的求線段長、三角形面積等數學問題，自主完成知識建構．

2.5 總結概括，目標達成

本節課你學習了哪些內容？掌握了哪些學習的方法？目標達成情況如何？

在回顧預測學習內容的基礎上，適當地修改關鍵詞，完成板書：

學習目標：(1)會畫一次函數的圖象；(2)知道一次函數圖象的形狀是一條直線，并能判斷一個點是否在這條直線上；(3)能利用一次函數的圖象解決三角形相關的問題．

教學分析首尾呼應，結合課前預設的學習內容概括出本課應達成的學習目標，幫學生理清學習內容與研究思路．

3 回顧與反思

本課為函數圖象學習的第一課，應組織學生充分觀察感知、嘗試操作、實踐體驗、歸納概括，體會函數圖象的形成過程，總結一次函數圖象的作圖步驟，體驗由數到形的演變歷程．不宜采用簡單的自學課本、模仿作圖的形式，不能僅僅滿足于讓學生掌握簡單的作圖技能．因此，巧妙安排探究活動，引導學生進行深度學習顯得尤為重要．

3.1 重視經驗積累——深層體驗

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中明確指出:學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程．活動是學生經驗獲得與積累的重要來源，本課教學中，先組織學生獲得直接經驗，比如先通過觀察香頂端的位置，用直尺靠一靠，獲得香燃燒過程中頂端可能在一條直線上的直觀感知，再取幾個香的頂端，再次感知它們在同一直線上；再比如直接組織學生嘗試作圖，雖然學生可能出現各種不科學的地方：如列表取值都是正數、列表取值不按順序排列、連線呈線段等，但是這些經驗都是真實的、深刻的．在直接經驗的基礎上，組織學生糾錯、交流、補充，體驗作一次函數圖象完整規范的過程，觀察教師運用幾何畫板演示密集取點，積累間接經驗，深刻體驗“一次函數圖象是一條直線”這一客觀事實．

3.2 強化思考交流——深入探究

課本例題清晰完整地展示了一次函數y=-x+2圖象的作圖過程，如果讓學生先自學課本，那學生后續的作圖就成為一種簡單的模仿，形成的也只是一種機械的作圖技能．因此筆者執教本課時沒有要求學生提前預習，而是在課堂教學中通過現場設置探究活動，先組織學生觀察圖片，

從香燃燒的過程中頂端的具體位置啟發學生獨立思考：如何從數學的角度描述香頂端的位置？讓學生聯想到可以用有序數對來表示點的坐標，主動發現畫一次函數圖象首先必須列表．教學實際表明，學生在初次列表時會受到香燃燒過程的影響而列出如表1的樣表．如何規范列表？組織學生交流合作、主動展示，通過小組間的相互補充，發現應該取正整數、0、負整數這樣具有代表性的數字，逐步規范列表．進一步補充描點、連線的注意要點，圍繞“做什么、怎么做、為什么這么做”逐層探究，探索出作一次函數圖象的完整過程，真正落實“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”的深入探究．

3.3 突出主體建構——深刻理解

深度學習是學生對核心課程知識的深度理解以及在真實的問題和情境中應用這種理解的能力.學生已有認知中，數與形是相互獨立的，如何建立數與形間的聯系是學生理解上的難點．因此，對香燃燒過程中頂端的描述、理解是建立數形聯系的起點，教學時要充分利用好這一教學資源．同樣，在嘗試作圖的過程中，當學生完成列表后，教師設問引發學生的認知困惑：如何把表格中的數轉化為有序數對？為何要將表格中的有序數對轉化為平面內的點？如何將表格中的有序數對轉化為平面內的點？如何描點，為什么要描點？如何連線，為什么要連線？讓學生充分理解與接受“數—有序數對—點(無數點)—形(直線)”建立的全過程，生動詮釋“數缺形時少直觀，形少數時難入微”．對于小組補充的內容，教學過程中教師引導學生批判性地理解，引發質疑并釋疑．

3.4 培養高階思維——深化思考

深度學習的目標定位是培養學生的高階思維能力，包括應用、分析、評價、創造．本課中，在學生確認“一次函數圖象是一條直線”的基礎上，啟迪學生自主發現：依據兩點確定一條直線得出簡捷的方法即兩點法作出一次函數的圖象．繼續設問：通常取哪兩個點？依據這兩個點可以設計出哪些典型的數學問題？引發學生及時將新知內容融入已有認知，及時進行同化、內化與順應，并及時進行數學“再創造”．在最后的環節，通過回顧小結的形式，幫助學生梳理建構，總結學習目標的達成情況并進行分析評價，將本課所學內容系統化、結構化．