培養學生發現問題能力的有效策略*
——以“棋盤上馬的行蹤”為例

葉新和 (江蘇省泰州市高港區教育局 225321)

顧廣林 (江蘇省泰州市九龍實驗學校 225312)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》在總目標中提出：通過義務教育階段的數學學習，學生能增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．[1]《普通高中數學課程標準(2017年版)》在課程目標中也提出：通過高中數學課程的學習，學生提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)．[2]可見，培養中小學生發現問題的能力早已成為數學教育界的共識．據此還可推測：培養學生發現問題能力方面的研究，在2011—2017年期間應該掀起一個高潮，2017年起應該再掀起一個小高潮，相應研究成果估計會呈現爆發式增長．然而查閱文獻發現，培養學生發現問題能力的直接研究成果并不多[3]．

注意到《義務教育數學課程標準(2011年版)解讀》(以下簡稱《解讀》)對于“提出問題”是如此界定的：所謂“提出問題”，是指在已經發現問題的基礎上，把找到的聯系或者矛盾用數學語言、數學符號集中地以“問題”的形態表述出來．[4]看來，通過對提出問題能力研究成果情況的考查，能夠較好地反映發現問題研究的現狀．

從文獻[5]中“數學問題提出論文年代分布圖”可以看出，文[3]推測的情況并沒有出現.實際上自2003年以后，有關數學問題提出的研究逐年減少．人大復印資料《初中數學教與學》2020年第4期(專題：問題提出能力研究)中“編者按”指出：“通過各類測評和調研發現，學生發現和提出問題的能力相對薄弱，而且很多教師對于引導學生從數學角度提出問題也缺乏有效的策略．”[6]可見現實情況不容樂觀，總結出有效的培養學生發現問題能力的策略顯得頗為必要與迫切．

“綜合與實踐活動”內容是實現培養學生數學“四能”目標的重要載體[4]．現以數學綜合與實踐活動“棋盤上馬的行蹤”[7]部分內容的改編為例，來說明在活動的幾個關鍵階段培養學生發現問題能力的有效策略．

1 啟動思維階段：在情境中充分經歷以發現和提出問題

《解讀》指出：在綜合與實踐活動中，要明確需要解決的問題．在第二學段，應鼓勵學生自己嘗試發現和提出簡單情境中的問題；在第三學段，要鼓勵學生初步學會在具體的情境中從數學的角度發現和提出問題．[4]可見，從第二學段起，從情境中嘗試發現和提出問題既可行也可為．

對于精心創設的指向數學學科本質的真實情境或者似真情境，學生在動手操作過程中充分經歷與感受，容易引發思考，形成一些想法，生成一些有價值的數學問題．

片段1創設情境，在活動中感受、發現并提出問題：

·觀看視頻 視頻播放時長40多秒，內容為介紹中國象棋中“馬走日”的含義：將棋盤上每格長看成是單位1，“馬”從棋盤上1×2矩形的一個頂點出發跳到相對的頂點，以及介紹“馬走八方”的含義：在棋盤上，沒有任何限制時，“馬”可以跳到8個不同位置的點．

·演示操作 給其他同學演示“馬”的走法： (1)跳1步；(2)連續跳2步、跳3步(先小組內展示，再全班演示)．

·提出問題 你有何感受或者想法？(師生共同整理)

內容是為目標服務的，活動目標變化了，相應活動內容要做一定調整．實際活動時，我們總是讓學生來演示“馬”跳1步的走法，以熟悉“馬”的走法．從培養學生發現問題能力的角度來審視，我們意識到僅僅這樣做是不夠的，猜測當增加了“展示‘連續跳2步、跳3步’”的操作時，由于學生增加了在操作過程中的經歷與感受，會意識到“馬”跳3步會跳到很多位置，也很可能會跳到相鄰位置．如果學生關注到“馬”跳到點的個數比較多，那么他們可能會提出問題：“‘馬’能夠跳遍棋盤嗎？”此時文[7]中后續3個探索活動(活動1“‘馬’跳的特征”、活動2“‘馬’跳到相鄰位置”、活動3“‘馬’跳遍棋盤”)即可圍繞該問題有效展開：由于問題“‘馬’能夠跳遍棋盤嗎”比較復雜，考慮將其轉化為簡單問題“‘馬’能夠跳到相鄰位置嗎”來解決．對此，學生繼續動手操作，在試驗中感受：“馬”能夠跳到相鄰點，并且至少要3步．接下來是能否來說理；如果能，又怎么來說理？由此意識到可能需要從數學角度來分析與探索“馬跳日”的特征，于是整個探索活動可以按照“活動1—活動2—活動3”的順序有效展開．如果學生關注到“馬”跳3步能夠跳到某個相鄰位置的點，那么他們可能會提出問題：“‘馬’總能夠跳到相鄰點嗎？”此時可按照“活動2—活動1—(活動2)—活動3”的順序有效展開．

需要說明的是，此處教師用“你有何感受或者想法”來發問，之所以沒有問“你能夠發現什么問題”，主要是感覺這么問的話難以達到培養發現問題能力的目的．分析《解讀》中關于“提出問題”的界定，可以知道學生能夠提出問題往往表明他們已經發現了問題，因此讓學生來提出問題能夠比較好地達到目的．相較而言，“你有何感受或者想法”較之“你能夠提出什么問題”開放度更大，學生思維更容易啟動與展開．

猜測是否正確呢？2021年元月下旬，我們曾和幾位教師按照上述設計，請他們任教的八年級學生談談想法．結果發現，不同基礎的班級，學生能夠提出問題的數量有所不同，不過，通常都能提出“‘馬’能夠跳遍棋盤嗎”這樣的問題．此外還發現，由于增加了跳“馬”的次數，適當增加了學生在操作中的經歷與感受，其發現和提出的問題往往更多．初步梳理，學生提出的問題主要有：

問題1“馬”能夠跳遍棋盤嗎？(有的提出：可不可以在不重復的情況下走遍棋盤？)

問題2“馬”能夠走到棋盤上任意一點嗎？

問題3“馬”跳到相鄰點要幾步？

問題4“馬”能夠跳回原處嗎？

問題5“馬”能夠從某個指定位置走到另外一個指定位置嗎？(還有學生提出：“馬”從(0,0)走到(8,9)最少要幾步？走法跟“馬”走“日”字有沒有關系？)

問題6“馬”跳3步，跳到的點有沒有共同特征？

問題7與圖形有關：“馬”走2步，夾角是多少？“馬”能夠走成菱形嗎？等等.

(說明：此處對學生問題沒有做任何修改)

實際活動中如果學生提出的問題比較多，那么可以選擇其中部分整理、排序，探索活動圍繞相應問題逐一展開即可．

2 拓展思維階段：在問題解決中不斷生成新問題

在問題解決中不斷生成新問題，即通過“具體情境—提出問題—分析問題—解決問題—(發現問題)—提出問題”的形式使得活動過程的推進水到渠成，在不斷展開思維、深化思維的同時來培養學生發現問題的能力[3]．不妨從生成新問題的角度對前文“活動2—活動1”的展開作些剖析：學生提出問題“‘馬’總能夠跳到相鄰點嗎”后通過試驗，發現能走到相鄰點，并且至少要跳3步．根據理性化思考生成新問題1：如何判斷該結論是否正確？僅就某一點而言，對所有可能情形一一試驗，情形既多又容易遺漏，而要考慮棋盤上所有點(90個點)更是不勝其煩，于是生成新問題2：能否通過說理來說明呢？為此，要考慮“馬”的跳法有何特征(或者規律)，從而生成新問題3：用數學的眼光來看待“馬”跳“日”，會得到什么結論？此處，利用理性化的方式不斷生成了新問題．

在問題解決中生成新問題，其他常見方法還有：

方法1 利用簡化生成新問題．

問題“‘馬’能夠跳遍棋盤嗎”比較復雜，將其簡化可生成問題“‘馬’能夠走到相鄰點嗎？”：“馬”如果不能走到相鄰點，當然不能走遍棋盤；如果能夠走到相鄰點，那么總可以通過走到相鄰點的方式來走遍棋盤．

方法2 利用類比生成新問題．

對“‘馬’能夠走到相鄰點嗎？”“‘馬’走到相鄰點至少要3步，如何說理？”“‘馬’從黑點A(6,4)出發能不重不漏地走遍己方半個棋盤嗎？”等問題就點的位置進行類比，可以得到新問題：“‘馬’能夠跳回原處嗎？”“‘馬’跳回原處至少要幾步，如何說理？”“‘馬’從白點B(6,3)出發能不重不漏地走遍己方半個棋盤嗎？”

方法3 利用優化生成新問題．

注意到“馬”走到相鄰點需要3步，容易意識到，馬通過跳到相鄰點的辦法來跳遍棋盤時會重復跳到很多點.根據優化意識，容易生成新問題：“馬”能夠不重不漏地走遍整個棋盤嗎？

方法4 利用條件強化生成新問題．

感覺棋盤越小時，“走遍棋盤”的要求可能越高，越不容易實施．于是將整張棋盤對折，由問題(“馬”從某點出發能否不重不漏地走遍整張棋盤)生成新問題：“馬”能夠從點A(6,4)(或者點B(6,3))出發不重不漏地跳遍己方半張棋盤嗎？

按此思路，筆者先后就“馬”能否不重不漏地走遍3×3,3×4的網格進行了探索，發現了相應結論：(1)“馬”不能不重不漏地走遍3×3的網格，但除中心的點無法走到外，其他8個點均能走到．(2)“馬”能夠從“角”的位置出發不重不漏地走遍3×4的網格．

方法5 利用一般化生成新問題．

用數學的眼光來看待，“馬”走“日”可以表述成“馬”的“步伐”為“1×2”(即從1×2矩形的一個頂點跳到相對的頂點)．將“馬”的走法一般化為“馬”的“步伐”為1×n(即從1×n矩形的一個頂點跳到相對的頂點)，參照剛經歷的探索活動便可生成一些新問題，如：“馬”的“步伐”為1×n時，在染色圖上“馬”跳的特征是什么？“馬”的“步伐”為1×n并且棋盤足夠大時“馬”能夠走遍棋盤嗎？若“馬”的“步伐”為1×n，何時不能走遍棋盤，此時又該如何說理？等等．

分析前文梳理出來的學生的問題可以發現，不少學生其實已經有了初步生成新問題的意識與能力．在活動中，教師需要做的是將部分學生的這種自發意識盡可能變成所有學生的自覺意識，努力提升他們發現問題的能力．

3 鞏固應用階段：在材料閱讀中識別存在的問題

在探索、發現、應用數學“四基”過程中，學生往往會出現審題馬虎、思維不嚴謹、計算錯誤等問題．將學生容易出現的問題以閱讀材料的形式呈現，讓學生來識別.由于呈現的材料是學生熟悉的、貼近他們認知水平的，而且呈現形式是他們比較感興趣的，因而學生會樂意參與其中，努力識別相應問題，自然在此過程中能夠有效提升發現問題的能力．

片段2小明在某本書上看到如下內容：棋子“馬”能否從點(6,4)的位置出發，不重復、不遺漏地走遍半張棋盤？如能，請給出走法；若不能，請解釋其中的原因.[8]書中所附答案為：從某點出發，跳遍半張棋盤上除起點以外的其他44點，要跳44步，44是偶數，所以起點和終點應是同色的點(指○或●)．因為44步跳過的點○與●各22個，所以起點必是●，終點也是●，也就是說，當不要求回到出發點時，只要從●出發，就可以不重復地走遍半張棋盤上的所有點，而“馬”恰好在●上．[8]對此，你有何看法？

從題目要求看，該書提供的答案答非所問．題目要求“如能，請給出走法；如不能，請解釋原因”，答案只就能走遍棋盤進行說理，并沒有給出具體走法，可見答案與題目要求不一致．從思維嚴謹性角度看，答案的表述有邏輯問題．由“起點和終點應是同色的點……起點必是●，終點也是●”說明“起點為●”是“‘馬’不重不漏地走遍半張棋盤”的必要條件，而根據“只要從●出發，就可以不重復地走遍半張棋盤上的所有點”(以下簡稱命題1)則說明“起點為●”是“‘馬’不重不漏地走遍半張棋盤”的充分條件．“也就是說”說明前后兩者是等價的．必要條件與充分條件等價，這在邏輯上存在問題．此外，命題1是比“‘馬’從黑點(6,4)出發不重復地走遍半張棋盤上的所有點”(以下簡稱命題2)更一般的結論．命題1雖然正確，但并非不證自明．著名學者單墫在《單墫老師教你學數學：棋盤上的數學》中通過給出每一個不同位置●的走法說明命題1的正確性[9](詳見該書23—24頁例4的證明)．換句話說，在說明命題1的正確性時，已經通過構造的方法先說明了命題2的正確性．可見，此處提供的答案還隱含了循環論證的問題．

片段3圖1(3×4網格)為棋盤的一部分．小穎和小明想知道“馬”能否從圖中某個標有數字的位置出發不重不漏地跳遍該網格．他們試驗了400多次，發現不能走到，于是認為：“馬”不能從圖中標有數字的位置出發不重不漏地走遍網格．對此，你有何看法？

圖1

本材料考查學生思維的嚴謹性．雖然400多次試驗找不到，但只要不是在每一個點處每一種可能的跳法全部試驗到，即不意味著“馬”不能從圖中標有數字的位置出發不重不漏地走遍網格．由此，體現了“證明”的必要性：在難以完全歸納時，要說明“不能”，需要加以“證明”．而如果能夠“證明”，就不必考慮完全歸納．該必要性在說明結論“‘馬’不能從(6,3)位置不重不漏地跳遍己方半張棋盤”時顯得更為突出．

2020年12月時，筆者為某地級市鄉村數學骨干教師培育站學員做培養學生發現問題能力的講座．休息期間，有學員交流說，他經過試驗認為不能從數字1的位置跳遍該網格．經過思考，我們將文[7]中的內容進行了上述改編用以培養學生發現問題的能力．

實際上，“馬”從圖中數字1位置向數字6位置來跳是可以跳遍該網格圖的．筆者曾經試驗了百余次才發現了一種跳法：1→6→9→2→5→10→3→8→11→4→7→12．后來，課堂上與學生共同探索時發現了另一種跳法：1→6→9→2→5→10→3→12→7→4→11→8．

從教學效益來看，給出“馬”從點(6,4)的位置出發不重不漏地走遍半張棋盤的具體走法，具有一定教育教學價值，不過探索得到“馬”的走法會用時不少，教學效益不高．因此，在分析片段2中存在的問題(學生意識到答案與題目要求不一致即可)的基礎上，不妨直接給出“馬”的走法，接著對片段3進行分析，指出片段3中問題后，可以讓學生嘗試著從數字1的位置進行探索，如此當能一舉多得．

最后，需要指出的是，本文介紹了培養學生發現問題能力幾個關鍵階段的主要策略，如果讀者能夠做有心人，多思考多研究，還能夠自行探究有效培養學生發現問題能力的做法，比如結合具體數學情境或者其他學科情境，呈現部分情境來補充完整，或者情境中有多余數量來識別，或者情境中隱含矛盾關系來糾錯等．