借助已有經驗 解決新型函數

楊根生

為了考查考生的創新意識，近年來中考中出現了一些運用已有經驗解決超出初中數學知識范圍的函數問題，解決這類問題的關鍵是要充分聯想學習函數時的經驗. 現舉例說明，供同學們參考.

例1（2020·湖南·郴州）為了探索函數y = x + [1x]（x>0）的圖象與性質，我們參照之前學習函數的過程與方法.

列表：

描點：在平面直角坐標系中，以自變量[x]的取值為橫坐標，以相應的函數值[y]為縱坐標，描出相應的點，如圖1所示.

（1）如圖1，觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數圖象.

（2）已知點（x1，y1），（x2，y2）在函數圖象上，結合表格和函數圖象，回答下列問題：①若[0<x1<x2≤1]，則[y1] [y2];若1

（3）某農戶要建造一個如圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為[1]平方米，深為[1]米.已知底面造價為[1]萬元/平方米，側面造價為[0.5]萬元/平方米，設水池底面一邊的長為[x]米，水池總造價為[y]萬元.

①請寫出[y]與[x]的函數關系式;

②若該農戶預算不超過[3.5]萬元，則水池底面一邊的長[x]應控制在什么范圍內？

解：（1）函數圖象如圖3所示.

（2）>，<，=.

（3）①由題意得y=1 × 1 + [x+1x] × 2 × 1 × 0.5 = 1 + x + [1x]（x>0）;

②由題意得1 + x + [1x] ≤ 3.5，即x + [1x] ≤ 2.5. 設y1 = x + [1x]，y2 = 2.5，

在圖3中作出直線y2 = 2.5，觀察圖象，借助于表格可知當[12] ≤ x ≤ 2時，y1 ≤ y2，∴水池底面一邊的長x應控制在[12] ≤ x ≤ 2的范圍內.

點評：本題中的函數y = x + [1x]（x > 0）不屬于我們學習過的三種函數，但我們通過運用研究函數的一般經驗畫出函數圖象、觀察圖象分析特征，順利解決了問題.

例2（2020·重慶）探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程. 請結合已有的學習經驗，畫出函數[y=-12x2+2]的圖象并探究該函數的相關性質.

（1）列表，寫出表中[a]，[b]的值：[a=] ，[b=] . 描點、連線，在所給的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象.

（2）下列關于該函數性質的結論正確的是 .

①函數[y=-12x2+2]的圖象關于y軸對稱;②當x = 0時，函數[y=-12x2+2]有最小值，最小值為-6;③在自變量的取值范圍內函數[y]的值隨自變量[x]的增大而減小.

（3）已知函數[y=-23x-103]的圖象如圖4所示，結合你所畫的函數圖象，直接寫出不等式[-12x2+2<-23x-103]的解集.

解：（1）把x=-3和x = 0分別代入y=-[12x2+2]，

得a=-[ 1211]，b=-6，畫出函數的圖象如圖5.

（2）觀察函數圖象可知：①該函數圖象關于y軸對稱，故①正確;由函數圖象的最低點可知，當[x=0]時，函數[y=-12x2+2]有最小值-6，故②正確;當x<0時y隨x的增大而減小，當x>0時y隨x的增大而增大，故③錯誤. 故填①②.

（3）由圖象可知：不等式-[ 12x2+2]<-[23x-103]的解集為x<-4或-2

點評：解決這類問題，須熟知研究一般函數圖象與性質的過程與方法，正確用描點法畫出函數圖象，會觀察圖象分析特征，善于將求不等式解集的問題轉化為函數值的大小比較，進而通過觀察函數圖象的位置，由自變量的取值范圍得到不等式的解集.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區城西實驗學校）