2021年本刊原創題（五）

呂朋 付曉麗

1. 如圖1，拋物線[y=ax2-x+c]與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，3），連接AC，BC，直線[y=12x+32]經過點A，交BC于點D，將△COD沿著直線BC翻折得到△CMD，連接OM. 過點O作OE⊥OD交直線AD于點E.

（1）求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式.

（2）求證：四邊形OMDE是平行四邊形.

（3）在直線AD上是否存在一點P，使得∠OPM = 45°？若存在，請直接寫出點P的縱坐標;若不存在，請說明理由.

2. 如圖2，拋物線[y=ax2+bx-3]與直線BD交于B [43，0]，D（-4，-4）兩點，與y軸交于點C，點P是直線BD下方拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F，交直線BD于點E，連接PD.

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）連接DF，設△DEF的面積為S1，△PDE的面積為S2，當S1 = S2時，求點P的坐標.

（3）在（2）的條件下，若直線BD與y軸交于點G，連接FG，以點F為圓心，FG長為半徑畫圓，點M為⊙F上一動點，連接CM，DM，當點M運動到某一位置時，使得CM + [12]DM有最小值，請直接寫出這個最小值.