一組圓錐曲線性質的證明及其應用*

陜西省旬邑縣中學(711300)杜海洋

平面解析幾何的研究方法是在平面上引入直角坐標系,將平面中的點用有序數對刻畫,將平面中的曲線用方程刻畫,通過解答分析方程研究平面圖形的形狀、位置、大小、性質等.直線與圓錐曲線的位置關系是平面解析幾何的重點內容,同時也是學生學習中的一個難點,更是高考中一個非常穩定的考點.其基本的解法有“解方程組法”、“設而不求法”、“點差法”等.圓錐曲線的性質非常豐富,本文通過一組圓錐曲線性質的證明、拓展與應用探討研究圓錐曲線性質問題的基本思路與方法.

1 性質探究

性質1設P(x0,y0)為橢圓C:= 1(a ＞0,b ＞0)上一點,P1P2為曲線C的動弦,且弦PP1,PP2斜率存在,記為k1,k2,則直線P1P2通過原點O的充要條件是k1·k2=

證明如圖1,設P1(x1,y1),由于直線P1P2通過原點O,則P2(-x1,-y1),k1=k1· k2=由于P1,P0均 在橢圓C上, 則y21=b2(1-所以k1·k2=必要性得證.

圖1

設P1(x1,y1),P2(x2,y2), 當直線P1P2的斜率存在時,設P1P2:y=kx+t, 代入橢圓方程得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2(t2-b2)=0,

所以2a2ty0-a2t2+b2x20-b2a2+a2k2x20=a2(t2-b2)+2a2ktx0+x20b2+a2k2x20,化簡得t(y0-kx0-t)=0,由于點P不在直線P1P2上,所以(y0-kx0-t)/=0,所以t=0,即直線P1P2經過原點.

當直線P1P2的斜率不存在時, 設P1P2:x=n,

則x20-n2=(x0-n)2,即2n(x0-n)=0,由于x0/=n,所以n=0,即直線P1P2經過原點,充分性得證.

上述證法在必要性的證明過程中利用圓錐曲線的對稱性進行證明,大大降低了運算量,在必要性的證明過程中,采取了“聯立方程組,設而不求”的策略進行運算求解,這種方法是解決直線與圓錐曲線問題的“通性通法”.波利亞說過:“問題就像蘑菇一樣,總是成堆生長;當你找到它的時候,不妨在它周圍找一找,你會發現還有很多.”由上述性質1 不難得到下面的性質2.

性質2橢圓C:=1(a ＞0,b ＞0),P1P為C的動弦,O為坐標原點,D為P1P的中點,直線P1P,OD的斜率分別記為k1,k2,則k1·k2=

證法一如圖2, 作P1關于原點的對稱點P2, 連結P1P2,PP2, 由于OD為ΔPP1P2的中位線,所以OD//PP2,k2=kP P2, 由性質1 得k1·k2=kP P1·kpp2=

圖2

證法二設P1(x1,y1),P(x2,y2),則

上述證法一運用性質1 進行分析證明,簡化了證明過程;證法二運用“點差法”進行證明,“點差法”是處理“圓錐曲線的弦中點與弦斜率”問題的“通性通法”.雙曲線定義與橢圓定義非常相似,可以猜想在其它方面也有相似的結論,由上述性質1 和性質2 進行類比猜想便可得到下面性質3 和性質4,運用同樣的方法可以證明這兩條性質也是成立的.類比猜想是解決數學問題的重要方法.

性質3設P(x0,y0)為雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0)上一點,P1P2為雙曲線C的動弦,且弦PP1,PP2斜率存在,記為k1,k2,則直線P1P2通過原點O的充要條件是k1·k2=

性質4雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0),PP1為C的動弦,O為坐標原點,D為PP1的中點,直線PP1,OD的斜率分別記為k1,k2,則k1·k2=

2 性質拓展

性質5設P(x0,y0)為橢圓C:=1(a ＞0,b ＞0)上一點,P1P2為曲線C的動弦,且弦PP1,PP2斜率存在,記為k1,k2,則直線P1P2通過定點M(mx0,-my0)(m/=1)的充要條件是k1·k2=

性質6設P(x0,y0)為雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)上一點,P1P2為曲線C的動弦, 且弦PP1,PP2斜率存在, 記為k1,k2, 則直線P1P2通過定點M(mx0,-my0)(m/=1)的充要條件是k1·k2=

性質1-4 是性質5 和性質6 的特殊情況,性質5 和性質6 的證明可以按照性質1 的證明思路進行證明.數學中類似于上述的二級結論比較豐富,解題時運用二級結論求解比較簡便,但是過度注重二級結論的總結與使用勢必加重記憶負擔,導致在解題時因記錯二級結論而解答出錯.筆者的認識是,數學教學應重視知識的發生發展過程,重視“通性通法”.對于常用的簡單的二級結論(如文中的性質1-4)教學中教師可指導學生在解題過程注意歸納總結,在選擇題、填空題的解答過程中注意選用二級結論快速求解,在解答題的求解過程中如果用到二級結論需要先證明再使用.

3 性質應用

例1(2013年高考大綱卷)橢圓= 1 的左、右頂點分別為A1,A2,點P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是().

思路根據性質1 得kP A1·kP A2=由kP A2∈[-2,-1],得

例2(2019年高考課標Ⅱ卷)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明: ΔPQG是直角三角形;(?、?略.

思路(1)C的方程為= 1(|x| /= 2),軌跡為橢圓,不含左右頂點.

圖3

(2)(ⅰ)由性質1 得kGP·kGQ=延長PE與橢圓C交于點H, 連接QH,由橢圓的對稱性知∠PHQ為直角,kP Q= tan ∠PQH=kGQ= tan ∠GQH=因 為PH= 2EH, 所 以kP Q=2kGQ,kGP ·kP Q=kGP ·2kGQ=2kGP ·kGQ=-1,所以PQ⊥PG,即ΔPQG是直角三角形.

例3(2013 高考全國ⅠⅠ卷)平面直角坐標系xoy中,過橢圓M:= 1(a ＞b ＞0)的右焦點的直線x+y-=0 交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為

(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)略.

思路易得橢圓右焦點為直線AB的斜率為kAB=-1,根據性質2 得kAB ·kOP=解得a2=4,b2=1,M的方程為+y2=1.

例4若雙曲線Γ 的離心率為則稱Γ 為“黃金雙曲線”,已知雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)為“黃金雙曲線”,A,B,P三點在C上,O為坐標原點,且設直線AP與BP的斜率分別為k1,k2,則k21+4k22的最小值為( ).

思路根據性質3 得,k1·k2=故選D.

例5(2010年高考課標卷)已知雙曲線E的中心為原點,F(3,0)是E的焦點,過F的直線l與E相交于A,B兩點,且AB的中點為N(-12,-15),則E的方程式為

思路kAB=kF N= 1,kON=根據性質4 得kAB · kON=又因c= 3,c2=a2+b2, 解得a2=4,b2=5,故選B.