“線性回歸方程”教學設計

朱婷婷

摘? 要：運用線性回歸方程分析數據是一種對兩個數值變量進行數據分析的方法. 本節課通過新冠肺炎疫情真實情境，讓學生主動提出問題，引領建立模型、寫出“恰當”的直線方程和探究“恰當”的直線標準三個課堂活動，通過獨立思考、合作探究、技術輔助，引導學生逐步獲得線性回歸方程的概念及經歷較為系統的數據分析過程，最終提升學生的數學學科核心素養.

關鍵詞：線性回歸;單元教學;數學建模;數據分析;自主探究

一、教學內容解析

統計學是研究收集、整理、分析數據的科學，它可以為人們制定決策提供依據. 從義務教育階段來看，統計知識的教學從小學到初中都有涉及，在每個階段學生都會學習收集、整理、描述和分析等處理數據的基本方法，教學目標隨著學段的升高逐漸提升. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》要求，在義務教育階段已學習的統計知識的基礎上，通過具體實例，進一步學習統計的相關知識.

蘇教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第二冊第9章“統計”是在前面所學的統計知識的基礎上，結合典型案例給出幾種常用的統計方法，體現了統計的基本思想及其初步應用. 本節課“線性回歸方程”是在學生學習了變量的相關性的基礎上，探究了線性回歸方程，并運用線性回歸方程對相關量進行估計，為利用線性回歸方程處理現實問題奠定基礎.

二、教學目標

本節課教學目標設置如下.

（1）了解線性回歸模型的含義、模型參數的統計意義、最小二乘原理，掌握線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相應的統計軟件.

（2）學生通過獨立思考、自主探究、合作交流，提高從數學角度發現和提出問題、分析及解決問題的能力.

（3）通過對生活中典型案例的處理，使學生經歷較為系統的數據分析過程，提升數學學科核心素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，最終達到立德樹人的目的.

三、學情分析

本節課的授課對象是江蘇省四星級重點高中高二學生，已學習過統計學基礎知識，面對新問題具有一定的探究能力與學習經驗，但是學生用數學語言表達觀點的能力仍然不足，對數據分析過程較為系統的認識不夠深刻.

教學難點：通過數學方法刻畫“恰當”的直線.

突破策略：以問題驅動教學，小組合作探究，計算機輔助教學.

四、教學策略分析

以明、暗兩條線貫穿本節課.

本節課明線：“線性回歸方程”概念的獲得. 概念的獲得要經歷從宏觀到微觀、從感性到理性、從模糊到清晰的過程. 經歷如下四次提煉：選擇模型類別，完成定“形”;基于已有經驗，以“形”定“數”;探究“恰當”的標準，給典型案例定“數”;從特殊到一般，獲取線性回歸方程的概念.

本節課暗線：數據分析的過程與方法，即收集數據、整理數據、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論. 這將是貫穿本節課始終的統攝性“大觀念”.

五、教學過程設計

1. 創設情境，提出問題

情境：新冠肺炎疫情是全球關注的熱點，對數據的統計分析在幫助我們認識及研究疫情的過程中發揮了巨大的作用. 例如，通過表格、餅圖、折線圖我們能直觀了解當時疫情的狀況及一些變化規律. 鐘南山院士帶領團隊利用當時僅有的數據進行分析，研究出疫情發展趨勢模型，對疫情的發展做出了精準的預測，為做出科學的決策奠定了基礎. 事實上，干擾數據分析的因素非常多，目前我們還處理不了復雜的情況，所以就先來研究疫情剛發生時某省衛生健康委員會網站公布的一組簡單數據，如表1所示.

問題1：根據表1中的信息，我們能做些什么？

師生活動：在教師的引導下，學生經過獨立思考、合作交流，明確了探究學習的任務——預測.

【設計意圖】立足于統計大單元，通過疫情數據統計表，凸顯數據分析在幫助我們認識及研究疫情發展過程中發揮的重要作用，培養學生學會用數學眼光觀察世界. 教師引導學生初步體會數據分析的作用——客觀反映當前事實（為現在用）和預測預警（為將來用），感受學習統計學的意義和價值. 展示鐘南山團隊的疫情趨勢模型，意在從情感上讓學生感受到中國科技的進步及中國在這場“抗疫”中的巨大貢獻，以增強學生的民族自豪感. 最后提出問題：根據信息，我們能做些什么？啟發學生主動思考接下來的研究方向，培養學生發現并提出問題的能力.

2. 組織活動，探尋方案

任務：給出尋找規律、建立模型的方案.

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后教師同屏投影學生給出的不同方案，讓學生通過思辨，明確用哪一個方案來預測更合理.

方案1：列表，找規律，預測.

方案2：散點圖，畫光滑曲線，預測.

方案3：散點圖，畫直線，預測.

小結：列表、畫散點圖都是統計學上建立模型的常用方法. 首先，在感覺上這組數據更多分布在一條直線附近;其次，通過計算得出這組數據的線性相關系數[r≈0.98]，說明它們有著很強的線性相關性，所以今天就從線性模型去研究.

【設計意圖】首先，本環節完成了本節課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第一次概念提煉：選擇統計模型類別，完成定“形”. 同時，完成本節課暗線（數據分析大觀念）中的“整理數據”“提取信息”這兩步. 其次，情境中給出的是文字信息，學生需要經歷將文字信息數學化的過程，這是培養學生學會用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，發展學生數學抽象、數據分析素養的重要過程.

3. 啟發引導，合作探究

問題2：能否寫出直線方程，并說明理由？

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流. 教師加入學生的小組討論并給予指導，同時讓小組代表上臺板書方案，將結果輸入GeoGebra軟件，利用計算機繪制直線圖象.

方案1：猜想.

方案2：找兩個點，利用兩點式給出直線方程.

方案3：計算已知6個點的橫坐標和縱坐標的平均數，即[x]和[y，] 再計算每相鄰兩點所成折線斜率的平均數[k，] 直線經過點[x，y]，且斜率為[k，] 給出直線方程.

小結：對于選用的直線[y=a+bx]，不同的方案得出不同的[a]和[b]，從而得到不同的直線方程. 但是，不管選擇哪一條直線，6個點并不都在給出的直線上. 也就是說，通過直線方程算出來的[y]值與實際值會不一致，存在誤差，我們稱這個誤差為隨機誤差，記為[ε]. 這樣，我們把[x]和[y]兩者之間的關系表示為[y=a+bx+ε]，我們稱它為線性回歸模型. 每一條直線都存在誤差，哪一條直線更恰當呢？

【設計意圖】首先，本環節完成了本節課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第二次概念提煉：利用已有經驗，嘗試給“形”定“數”，同時完成了本節課暗線（數據分析大觀念）中的“構建模型”. 其次，讓學生經歷寫出直線方程并說理的過程，并發現每一條直線都不能使所有的點全在直線上，感受到用現有知識無法解決所遇到的新問題，從而體會到尋找新的模型的必要性. 為提升學生數學建模、直觀想象及邏輯推理等數學學科核心素養服務.

問題3：直線“恰當”的標準是什么？

師生活動：學生自由發言，教師板書學生的方案，最后學生逐個思辨方案是否合理.

方案5：使得直線兩側的點的個數基本相同.

方案6：在散點圖中多取幾對點，確定出幾條直線的方程，再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數，將這兩個平均數當成所求直線的斜率和截距.

小結：經過合作探究、討論交流后選定方案4. 因為方案4既科學合理，又具有較強的可操作性. 用方案4檢驗上一環節討論所得的三條直線哪一條更恰當，再用計算機加以驗證，然后對所獲取的知識再優化，即追問：你覺得還有沒有比這條直線更恰當的直線？

【設計意圖】首先，本環節為本節課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第三次概念提煉：探究“恰當”標準，給典型案例定“數”做好鋪墊. 問題“你覺得還有沒有比這條直線更恰當的直線？”促使學生思考在這幾條直線之外更一般的直線方程，即對所獲取的知識再優化. 其次，通過交流和對各種“恰當”標準的闡述，培養學生學會用數學語言表達世界;通過對各種方案的辨析，培養學生的批判思維能力，發展學生的數學學科核心素養.

4. 推理論證，構建概念

問題4：怎樣建立恰當直線的方程？

師生活動：解決由具體6對數據得到的二元二次函數求最小值的問題，并拓展到[n]對數據的一般情況.

小結：直線[y=a+bx]稱為這[n]對數據的線性回歸方程. 其中，[a]稱為回歸截距，[b]稱為回歸系數，[y]稱為回歸值.

【設計意圖】首先，本環節完成了本節課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第四次概念提煉：從特殊到一般，獲得線性回歸方程的概念. 同時，完成了本節課暗線（數據分析大觀念）中的“進行推斷”. 其次，通過解決具體的二元二次函數求最小值的問題，提升學生的數學運算素養. 最后，從具體情境到一般結論，滲透從特殊到一般的思想方法.

5. 回歸情境，解決問題

追問1：現在，根據所得線性回歸方程，我們還能做些什么？

師生活動：學生主動明確接下來的研究任務并根據線性回歸方程預測出2020年1月28日新增確診人數為26例，2020年1月29日新增確診人數為30例.

教師展示疫情數據，如表2所示，學生確認預測基本符合實際情況.

小結：本節課的學習任務學生完成得很好，預測得到的數據和真實數據誤差相對較小. 事實上，在現實生活中，線性回歸模型只是最基礎的一種模型. 在剛發現疫情的前十幾天，我們今天研究的這個時間段內，確實可以用線性回歸方程來研究. 但是對于現實生活中的更多情況，還會選擇指數函數模型或多項式函數模型等去研究. 而且受各種因素的影響，實際情形會變得更加復雜，如下圖所示.

追問2：同學們想一想，為何會下降直至歸0？

小結：如果沒有人干預，不采取科學的防控措施，假設按照初始態勢發展下去，到了今天，每日新增確診人數又是多少呢？事實上，疫情得到了有效的控制，這得益于全國人民的積極努力與強大專業知識的支持. 同學們要學好數學，將來運用所學，使生活更美好，讓祖國更強大.

【設計意圖】首先，教師引導學生鞏固所學解決了上課開始提出的問題，在體會成功的同時了解隨機誤差產生的原因，明白線性回歸方程只是一種基礎的統計模型，在現實生活中，受各種因素的影響，統計模型相對復雜，體會統計思維與確定性思維的差異. 其次，本環節完成本節課暗線（數據分析大觀念）中的“獲取結論”. 最后，本環節體現了德育在數學學科中的滲透，即上升到立德樹人的高度：同學們要學好數學，將來運用所學，使生活更美好，讓祖國更強大！

6. 總結提升，深化認知

課堂小結：今天我們研究了什么？我們是怎么研究的？我們還能研究什么？

實習作業：選擇適當的課題，進行變量的相關性研究.

小結：數據分析的過程包括收集數據、整理數據、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論. 對比科學家的研究過程，我們今天還有兩個環節需要進一步完善，即收集數據和進行推斷. 因為實踐是認識的基礎，認識來源于實踐，所以如何收集數據是一個至關重要的話題. 例如，全國人口普查，第一步收集數據就要全面科學. 對于本節課我們所得的一元線性回歸方程的合理程度，我們沒有進行推斷，這就是后繼將要學習的知識. 最后，利用所學，課后完成實習作業，即選擇適當課題，進行變量的相關性研究.

【設計意圖】首先，課堂小結的三個問題分別從知識、方法及接下來可以研究的方向依次設置，層層遞進，目的在于培養學生反思的習慣及提出新問題（明了接下來的研究方向）的能力. 其次，完善本節課從特殊事物中揭示一般規律，即數據分析主要過程及進行變量的相關性研究的一般方法，這個統攝性“大觀念”，教學生用哲學眼光看數學問題. 最后設置開放性作業，突出學生的實踐操作，以提高學生分析問題與解決問題的能力，發展學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.