“一元線性回歸模型”教學設計

黃潤華

摘? 要：本節課是統計思想方法在實際生活中的典型應用案例. 結合兩個變量之間線性相關的具體實例，經歷統計活動，理解最小二乘原理，利用計算器和Excel軟件進行數據處理，建立一元線性回歸模型，從而進行實際預測，解決實際問題. 了解利用回歸直線刻畫兩個變量之間相關關系的代表性，理解回歸直線必過樣本點的中心，并能對統計活動結果進行反思.

關鍵詞：線性回歸;統計應用;數學建模;數據處理

一、內容和內容解析

1. 內容

結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件.

2. 內容解析

“一元線性回歸模型”是北師大版《普通高中課程標準實驗教科書·數學3（必修）》（以下統稱“教材”）第一章“統計”第8節的內容，是統計思想方法在實際生活中的典型應用案例. 在此之前學生學習了數據的統計特征，在實際中經常要研究變量之間的相關關系，以最基本的一元線性回歸為載體，通過畫散點圖描述兩個變量之間關系的統計特征，用樣本的情況去估計總體的情況，啟發學生理解擬合思想，嘗試構造函數模型去近似刻畫變量之間的相關關系，有利于進一步發展學生的統計觀念，培養學生的統計應用意識和能力，也為后面進一步學習獨立性檢驗奠定基礎. 本節課的教學重點為經歷一次完整的統計應用活動，會畫散點圖直觀表示兩個變量之間的相關關系，理解直線擬合的思想，理解最小二乘原理，會利用計算器和Excel軟件進行數據處理，會根據最小二乘法建立一元線性回歸模型解決實際問題.

教材從身高與右手一拃長的相關關系研究出發，通過畫散點圖，觀察發現所有點都在一條直線附近波動，進而判斷兩個變量之間線性相關，從而可以用一條直線近似刻畫兩個變量之間的相關關系. 引入直線擬合的概念，然后思考如何確定這條直線能更合理地近似刻畫這種關系. 采取小組討論的方式，引導學生從定性到定量，建立一種數學上的“理想”的擬合方式，即考慮如何使得所有樣本點到一條直線的“整體距離”最小，從而引入最小二乘法，建立一元線性回歸模型. 會利用信息技術求出兩個變量之間的線性回歸方程，從而對實際問題進行預判和決策.

為了創設有利于學習的實際問題情境，本節課選取中央電視臺社會與法頻道《見證》欄目《神眼追蹤》中足跡鑒定專家神奇破案的真實案例片斷導入課題，通過思考怎樣根據足跡推斷犯罪嫌疑人的身高引出身高與鞋碼有相關關系，引導學生經歷一個完整的統計活動過程，探究身高與鞋碼之間的相關關系. 通過從學生中現場收集數據、整理數據，利用散點圖描述數據、分析數據（直線擬合，探索回歸直線方程的求法），運用最小二乘法刻畫數據特征求得回歸直線方程，對實際問題進行預測，對統計結果分析與反思等環節，理解統計應用的思路與過程. 在由散點圖得到兩個變量之間線性相關的基礎上，著力探討如何確定一條直線來更好地近似刻畫這種關系，進行直線擬合. 通過小組討論與交流，引導學生從定性分析到定量計算，建立一種數學上的“理想”的擬合方式，即考慮如何使得所有樣本點到一條直線的“整體距離”最小，從而引入最小二乘法建立一元線性回歸模型. 引導學生理解任一樣本點[xi，yi]與直線上橫坐標為[xi]的點之間的距離是刻畫點到直線的遠近的一種新的形式，其平方同樣可以近似刻畫點到直線的遠近，從便于運算的角度我們選擇平方，最小二乘法的基本思想即使所有樣本點到直線的“距離”的平方和最小. 從而，如果能判斷兩個變量之間具有線性相關關系，就能利用最小二乘法求出兩個變量之間的線性回歸方程，從而進行預判決策.

本節課旨在建立一種統計模型來近似刻畫實際問題中兩個變量之間的關系，在問題解決的過程中發展學生的統計觀念，理解數據分析的新思路和新方法，理解方法中蘊涵的數學思想，理解方法的目的和本質，體會統計模型的必要性和合理性. 引導學生陷入機械、煩瑣的公式計算中，從數據處理的角度思考如何避免繁雜的運算，認識到根據最小二乘法的思想和公式研發程序是源于生產生活實際需要，有其必然性，把握數據處理的思路，注重與信息技術的融合，對于提高學生的信息素養、進一步發展學生的統計觀念、培養學生數據分析和數學建模等核心素養都起著非常重要的作用.

二、目標和目標解析

1. 目標

以發展學生的統計觀念為核心，踐行“四基”、發展“四能”，在問題解決中著重培養學生數據分析和數學建模等素養，根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中“一元線性回歸模型”的內容及要求，確定本節課的教學目標如下.

（1）經歷完整的統計活動過程，進一步體會應用統計的思想和方法解決實際問題.

（2）會畫散點圖判斷兩個變量之間是否線性相關，理解數據分析的思路和方法.

（3）掌握用最小二乘法建立一元線性回歸模型刻畫兩個變量之間的線性相關關系的方法.

（4）會用計算器和Excel軟件求線性回歸方程，并能根據一元線性回歸模型進行預測.

（5）理解一元線性回歸模型參數的含義和統計結果的意義，會進行反思.

2. 目標解析

目標（1）解析：本節課是統計應用案例，通過對實際問題中兩個變量之間相關關系的研究，經歷對兩個變量間呈現一個大致的整體集中趨勢的近似刻畫的過程，開拓統計應用的新天地，進一步培養學生的統計應用意識.

目標（2）解析：通過畫散點圖，類比函數圖象可以看出兩個變量之間的大致關系，并判斷它們之間是否線性相關，探索發現數據處理的新思路和新方法.

目標（3）解析：通過分組討論和思考交流，了解直線擬合的思想，理解最小二乘法是一種方便可行、直觀美妙的方法，從而建立一元線性回歸模型.

目標（4）解析：理解運用信息技術進行數據處理的必要性，并學會利用計算器和Excel軟件求線性回歸方程，理解程序背后的數學思想與方法. 能根據一元線性回歸模型完成計算預測，從而解決實際問題.

目標（5）解析：數學源于生活，又服務于生活. 結合實際理解一元線性回歸模型的含義和統計結果的意義. 通過對統計活動各環節的反思，逐漸理解問卷的設計、樣本的選取、分析方法的運用都會對統計結果產生影響，引導學生理解對統計結果保持批判性態度的必要性和重要性.

三、教學問題診斷

在義務教育階段，學生初步建立了統計觀念，了解了統計活動的全過程，學習了數據收集、整理、描述和分析的基本方法. 在高中階段，學生通過統計的學習進一步發展了統計觀念，能較好地把握數據分析的基本思路，對統計的基本思想與應用有了更加深刻的體會.

學生不知道應該怎樣刻畫兩個變量之間的相關關系. 盡管經過初中的學習，學生已經具備了比較豐富的函數知識，知道了函數可以刻畫兩個變量之間的一種確定性關系，但是對不滿足函數關系的兩個變量要怎么處理會感到困難. 要引導學生理解相關關系的本質是一個變量可能受到其他多個變量的影響，故它的值會呈現一定的隨機性或者波動性，這種波動在大量數據中往往會呈現一定的規律性，這就是回歸分析要解決的問題. 對兩個變量之間相關關系的刻畫，本質上是利用函數模型進行近似刻畫，蘊涵著轉化與化歸思想. 在畫出散點圖后，引導學生觀察、刻畫兩個變量之間關系的統計特征.

在給出線性相關的基礎上，到底用哪條直線近似刻畫更好，學生感到很茫然. 故而采取分組討論的方式，先讓學生自主嘗試，彼此交流想法，體會回歸的含義，畫出直線，然后通過小組間的交流再去歸納共性，建立一定的“理想”標準——所有樣本點和直線整體上最接近.

怎么刻畫所有樣本點和直線整體上最接近呢？這是一個很關鍵的問題，要引導學生理解在橫坐標一定的情況下，樣本點可以理解為在平均水平上下波動，從而建立一種新的標準來刻畫點到直線的遠近，即用任意一點[xi，yi]與這條直線上橫坐標為[xi]的點之間的距離來刻畫，而不是用數學上的距離來刻畫. 不僅如此，絕對值還面臨一個計算上的困難，而統計上在方差里已經用了平方和表示，這里的本質其實是一樣的. 教學中采用對話教學法，啟發學生進行知識遷移.

學生對系數計算公式的理解存在較大的困難. 根據最小二乘法推導出來的系數計算公式比較復雜，還包括兩種不同形式的表達，直接運用公式計算需要分若干步，比較麻煩. 教學時引導學生逐步認識公式，分析公式結構的特點，幫助學生更好地了解公式，并逐步滲透研發程序計算的必要性，建立自然合理的教學邏輯，了解程序背后的思想方法.

利用計算器和Excel軟件求線性回歸方程屬于新的技能，需要教師以適當的方式傳授. 雖然學生具備了一定的計算機操作與計算器使用技能，但涉及利用最小二乘原理求系數的值，這需要學會使用計算器有關的統計功能. 為了使計算器操作程序直觀化、效果有引領性，教師在課前錄制“利用計算器求線性回歸方程”的微課，課上播放微課傳授新技能. 而對于利用Excel軟件求線性回歸方程，則根據其操作簡單易學的特點，采取教師隨堂操作演示的方式傳授技能，并錄制微視頻供學生課后上機操作時使用，以調動學生的學習熱情，輔助學生學習.

本節課的教學難點是理解直線擬合的必要性與合理性，掌握建立一元線性回歸模型的一般原理. 為突破難點，設計了求線性回歸方程的小組討論活動和幫助小賣部決策等問題，在探究和交流中領會思想，提升統計應用的能力.

四、教學媒體設計

本節課思想性、整體性、應用性強，決定采用情境—啟發式探究教學模式，創設有利于學生學習的環境，通過小組討論與實踐應用，引導學生理解擬合思想，培養學生的自主探究能力與合作交流能力，發展學生的統計觀念，提高學生的數學應用意識. 為創設情境，更好地突出重點，突破難點，本節課主要進行了如下設計.

1. 導入使用真實案例

為了創設真實的問題情境，選取了中央電視臺社會與法頻道《見證》欄目的真實神探破案視頻導入課題，圍繞神探怎樣由足跡推斷出犯罪嫌疑人的身高這一核心問題，根據足跡提供的有關信息，導入身高與鞋碼這兩個變量之間的相關關系的研究.

2. 設計了畫散點圖的課堂活頁

為了讓學生親自體會描點畫圖描述身高與鞋碼之間的相關關系的過程，專門設計了一份課堂活頁，內容為平面直角坐標系，橫軸表示鞋碼，縱軸表示身高，標示了相應的數值，便于學生描點. 展示學生作圖成果，并在后面的小組討論中繼續使用，在黑板上張貼畫回歸直線的成果，表述作法，有效揭示了學生的思維過程.

3. Excel表格一表多用，無縫銜接

在現場收集數據時，由學生負責將樣本數據逐一輸入Excel表格中，運用信息技術將表格數據同步到描述數據環節和學生利用計算器根據現場數據計算線性回歸方程、教師操作演示利用Excel軟件求線性回歸方程等環節，實現了數據的同步無縫應用，體現了信息技術的實用性.

4. 自主錄制微課，傳授技能

經過反復研究，為了便于學生學習如何利用計算器求線性回歸方程，采取了自主錄制微課的形式;為了輔助學生課后上機利用Excel軟件求線性回歸方程，也錄制了一個微課，供學生自主學習使用，課堂上不播放.

5. 課件簡潔優美

整節課共六個環節，僅使用10張幻燈片，節奏明快，界面簡潔優美，既呈現了主要思路和內容，又做到了不同環節之間必要的無縫對接，信息技術融合應用恰當.

6. 板書簡潔有條理

板書呈現了統計活動的主要過程和一元線性回歸模型的基本原理，通過學生活動和小組活動成果的展示，能夠引導學生更好地理解直線擬合的背景和一元線性回歸模型的含義，便于學生從整體上把握整節課的學習.

五、教學過程設計

1. 創設情境，提出問題

（1）俗話說，三百六十行，行行出狀元. 各行各業都有許多楷模. 他們是公安楷模，是人民的守護神. 下面我們來看一段公安神探破案的視頻.

播放《見證》欄目《神眼追蹤》中神探足跡鑒定專家神奇破案的真實案例片斷.

（2）思考：神探根據足跡推斷出了犯罪嫌疑人的身高，足跡能給我們提供什么信息呢？

（3）提出問題：它們之間的相關關系具體是怎樣的？神探又是怎樣推斷的呢？

（4）導入課題：一元線性回歸模型.

【設計意圖】以真實案件視頻片斷導入課題，關注社會、設置懸念，從研究身高與鞋碼之間的相關關系入手，也為后面反思身高與足跡之間的相關關系埋下伏筆.

2. 統計分析，探究交流

要研究兩個變量之間的相關關系，根據統計學知識，我們首先應該做什么呢？

收集數據：現場收集[8]對鞋碼與身高的數據，用Excel軟件同步導入如表1所示的電子表格中.

通過觀察表中數據，大體上可以發現，隨著鞋碼的增加，身高也在增加.

【設計意圖】從在座學生中現場隨機收集鞋碼與身高的數據，使樣本數據源自學生，讓學生體驗樣本的隨機性，理解樣本的代表性.

描述數據：觀察表中數據，大體上看，隨著鞋碼的增加，身高也在增加. 你會怎樣來直觀表示身高與鞋碼之間的這種關系呢？

類比函數圖象，描點畫圖. 不妨設鞋碼為[x]，身高為[y]，得到[8]個數對[x1，y1， x2，y2，…， x8，y8]，將它們對應的點描出來，所得到的圖稱為散點圖.

學生在活頁上的平面直角坐標系中畫出散點圖. 教師展示學生作圖成果，張貼到黑板上，隨即分析圖形特點.

【設計意圖】引導學生類比函數去認識身高與鞋碼兩個變量之間的相關關系，并親自畫散點圖直觀表示它們之間的相關關系，為數據分析作準備，了解擬合的背景.

分析數據：觀察散點圖，你有什么發現呢？

所有點看上去都在一條直線附近波動.

線性相關：如果散點圖中所有點看上去都在一條直線附近波動，稱變量間線性相關. 此時，可以用一條直線來近似刻畫它們之間的關系，這樣近似的過程稱為直線擬合.

探究：怎樣確定這條直線呢？你是怎么想的？在小組內交流，并畫出這條直線.

教師展示小組討論成果，匯報各自想法，分析不同想法的共同點.

【設計意圖】設計確定回歸直線的小組討論活動，自主探究、交流討論，加深對回歸含義的感知，并嘗試得出確定這條直線的方法.

3. 建立模型，理解原理

各小組做法雖然不同，但其實想法是一致的，都是希望所有點和這條直線盡可能接近，也就是整體距離最小，如何用數學的方法刻畫呢？

【設計意圖】根據《標準》的要求和課程安排，著重把握方法背后的數學思想方法，引導學生課后探討使[Q]最小的系數[b，a]公式的推導過程，課堂上對公式進行詳實分析，充分認識公式的結構，引導學生欣賞數學美. 同時，還分析得到回歸直線過樣本點的中心，了解回歸直線的代表性.

4. 運行程序，計算預測

設置遞進式問題串：（1）有了公式，下面是否可以動手計算系數[b，a]呢？（2）是否可以用計算器？（3）用計算器肯定可以輕松很多，但是如果有成千上萬個數據呢？

隨著信息技術的發展，根據最小二乘法的思想和公式研發程序進行數據處理成為必然.

【設計意圖】從公式的理解到引導學生認識運用公式計算系數[b，a]的困難，感受使用計算器的必要性，再考慮到統計往往面對的是大量的數據處理工作，用計算器替代公式計算也是非常繁雜且易出錯的，從而認識到研發程序的必要性，培養學生優化運算的思維.

利用計算器求回歸方程（播放微課），先開啟計算器，然后分如下三個步驟.

① 選擇模式：按MODE鍵，進入模式選擇，按[3]，選擇Reg回歸，再按[1]，選擇Lin線性.

② 輸入數據：按SHIFT鍵 + CLR + 1[=]，清空統計存儲器，再逐一輸入收集的數據.

③ 計算統計變量，按SHIFT鍵，按數字鍵[2]，就切換到了S-VAR功能，按兩次方向鍵，選擇[1]，計算[a]，同樣操作，選擇[2]，計算[b].

具體參考操作步驟如下圖所示.

學生兩人一組，根據剛才的數據計算[a，b]的值.

學生報告操作結果.

【設計意圖】為了便于傳授利用計算器求值的技能，經過反復研究，確定由教師錄制微課;為了突出程序思維，將利用計算器求值的技能分為三個步驟，易懂易學、方便操作.

利用Excel軟件求回歸方程.

如果有很多數據，怎么導入呢？需要一個個輸入嗎？教師操作演示，順便驗證大家剛才的操作結果. 具體步驟如下.

① 在Excel表格中選定表示鞋碼與身高關系的散點圖，在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項，彈出“添加趨勢線”對話框.

② 單擊“類型”標簽，選定“趨勢預測 / 回歸分析類型”中的“線性”選項，單擊“確定”按鈕，得到回歸直線.

③ 雙擊回歸直線，彈出“趨勢線格式”對話框. 單擊“選項”標簽，選定“顯示公式”，最后單擊“確定”按鈕，得到回歸直線的方程.

計算結果為什么是一樣的呢？

用計算器和用Excel軟件求回歸方程本質上沒有區別，都是根據最小二乘法的思想和公式計算. 不僅如此，標準統計軟件SAS和SPSS也是根據最小二乘法的思想和公式求線性回歸方程.

課后，教師讓學生參考視頻教程在計算機上操作實踐.

有了回歸方程，我們就知道了身高與鞋碼的具體相關關系，并且可以根據鞋碼預測身高. 例如，根據[42]碼的鞋印預測身高大概是多少？即當[x=42]時，[y≈175.5].

【設計意圖】從計算器到Excel軟件，從微課傳授技能到當堂操作演示，都是以教與學的需要為出發點和落腳點，引導學生分析計算器和計算機軟件求線性回歸方程的區別與聯系，并介紹了標準的統計軟件. 加強信息技術與統計內容的融合，啟發學生思考如何從機械、煩瑣的數據處理中解脫出來，培養程序化思維，發展學生的統計觀念和信息素養. 配套使用Excel軟件求回歸方程的微視頻教程，供學生上機操作時參考. 分析不同軟件求回歸方程的本質，滲透程序思想.

5. 分析反思，實際預測

下面我們利用全國統計數據預測一下鞋碼為[42]碼的人對應的身高.

比較兩個預測的樣本與結果，你有什么發現呢？

反思1：預測結果差異大嗎？哪個結果會相對可靠呢？為什么？

反思2：事實上，視頻中足跡專家的推斷與實際非常吻合，他怎么能推斷得這么準呢？如果只根據鞋碼推斷可靠嗎？

鞋碼是一元的，足跡是多元的，專家一般都是研究多元變量的影響進行推斷的.

怎么進行多元回歸分析呢？教師讓感興趣的學生課后思考.

【設計意圖】統計是根據樣本的情況估計總體情況，回歸分析是通過函數模型近似刻畫相關變量關系的統計方法. 設計分析反思活動，引導學生對統計結果的合理性進行必要的批判與質疑，從數學問題的結論再回歸到生活實際，呼應本節課引入的真實問題情境，身高與鞋碼之間是一元線性相關，而身高與足跡之間卻是多元回歸分析問題，將相關關系的思考延伸到課外，重視培養學生的統計思維和應用意識.

實際預測：線性回歸能夠幫助我們進行實際的預判決策.

學校旁邊有個小賣部賣奶茶，根據表2中收集的數據，你能幫小賣部進行決策嗎？看看氣溫是[6]℃時大概要準備多少杯奶茶.

解析：根據最小二乘原理，利用計算器求得回歸方程為[y=-2.450 5x+147.48].

當[x=6]時，[y≈133].

所以氣溫是[6]℃時大概要準備[133]杯奶茶.

思考：系數[-2.450 5]的含義是什么？常數[147.48]呢？

氣溫每增加[1]℃，要準備的奶茶杯數大約減少[2.450 5]杯.

思考交流：通過剛才的預判決策過程，你有什么體會？

教師引導學生經歷根據統計知識進行預判決策的過程，認識統計的意義和作用.

【設計意圖】設計為小賣部決策的活動，將問題情境生活化，讓學生真正經歷正確建立一元線性回歸模型解決實際問題的過程，把握一元線性回歸分析的知識邏輯，深刻理解最小二乘原理，即只有在兩個變量之間線性相關的基礎上根據最小二乘法的思想和公式求出的回歸方程才有具體的實際意義，才能進行有效的預判決策，并從中體會統計的作用.

6. 課堂總結，布置作業

通過這節課的學習，你有哪些收獲呢？

首先，由學生小結本節課所學的內容，并交流學習體會.

【設計意圖】通過學生總結的過程，把握統計活動的過程，理解數據分析的新思路和新方法，抓住幾個關鍵點，深化對一元線性回歸模型的理解和應用，突出數學的應用價值.

這節課，我們主要通過數據分析和數學建模，理解了直線擬合的基本思想和方法，會建立一元線性回歸模型進行預判和決策.

然后，我們仿照民族英雄辛棄疾的《青玉案·元夕》填詞一首《青玉案·回歸》來總結這節課的主要內容：預判決策找思路，最小二乘來相助. 眾里尋他千百度. 驀然回首，回歸線過，樣本中心處.

課后作業：小組統計活動. 課后以小組為單位，分工協作，自主選取生活中感興趣的兩個相關變量進行研究.

【設計意圖】通過教師再總結，把握本節課的主要思路和學習目標，并根據辛棄疾的詞填詞，以直觀有趣的形式概括這節課的主要內容，挖掘數學的育人價值.設置小組課題研究活動，引導學生關注生活，自主選擇課題研究，能進一步加強合作交流，加強統計應用意識，豐富學生的數學活動經驗.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]王爽. 對“回歸分析”的再認識[J]. 數學通報，2015，54（7）：33-35.