移動荷載作用下離散支承曲線軌道振動特性分析

鄭晨晨 ,黃 強 ,劉干斌

（1.寧波大學 巖土工程研究所,浙江 寧波 315211;2.寧波大學 濱海城市軌道交通協同創新中心,浙江 寧波 315211）

由于地形、地質條件和地下建筑物等原因,軌道交通線路往往需要設置大量的曲線線路,小半徑的曲線地鐵線路也在逐漸增多[1-3].列車在曲線軌道上運行產生的振動響應問題較之直線軌道更為嚴重.直線軌道只承受車輛的豎向荷載,而曲線軌道內外軌高差使得鋼軌需要承受橫向荷載,且受速度影響明顯.如橫向振動產生軌道波磨問題會對軌道和列車車輪產生很大影響,關系到列車的行車安全[4].曲線軌道的振源頻率更廣、振動幅值更大、橫向加速度響應更為明顯.根據實測數據[5],地鐵列車通過曲線軌道時地表50 m 范圍內的水平向振動加速度有效值可達豎向的2～4 倍.隨著城市曲線線路增多,曲線軌道的振動問題逐漸受到關注[6-8].

國內外很多學者對曲線軌道的振動問題進行了研究.Dai 等[9]采用三角級數法對單層連續支承曲線梁的振動響應進行了研究,分析了扣件阻尼、曲線半徑、移動速度等因素對曲線梁各向位移的影響,但沒有考慮軌道離散支承的影響.劉維寧等[10]將曲線軌道簡化為周期性離散支承曲線梁,首次推導出離散支承下曲線Timoshenko 梁平面外振動響應的解析解,發現曲線梁振動響應與荷載速度密切相關,但沒有對平面內的振動響應進行進一步分析.王開云等[11]采用Ritz 法得到了離散支承型Euler 梁的扭轉振動方程,研究了直線梁的振動響應,但忽略了曲率對梁扭轉振動的影響.杜林林等[12-13]利用周期性結構原理,將曲線軌道視為離散支承結構,在頻域下分析了曲線梁扭轉振動響應;并用基于模態疊加法分析了移動簡諧荷載下曲線軌道的空間振動特性,得到了頻域下曲線梁的響應解答,但其曲線軌道位移的頻域解答過程較復雜繁瑣,一般用來分析軌道位移的頻譜響應特征.時域解答更為直觀,可以直接得到軌道位移隨列車移動時的振動響應,當移動荷載為簡諧荷載時,也可分析軌道頻率特性.總的來看,目前時域解答多針對連續支承曲線軌道的情況,較少反映離散支承的影響.地鐵軌道是由一個個離散的扣件支承而成,因此離散支承的影響不可忽視.

本文采用時域分析方法對離散支承曲線軌道的振動特性進行分析,揭示曲線軌道時域下的空間振動特性.以地鐵隧道內的整體式曲線軌道為例,首先基于振型疊加法推導出離散支承下曲線軌道的空間振動常微分方程,然后利用Runger-Kutta 法,采用Matlab 軟件編程求解該方程,分析移動荷載下離散支承曲梁平面內外的振動特性,最后對比不同工況下的軌道位移響應,以期為曲線軌道的減振提供參考.

1 曲線軌道振動響應求解

1.1 曲線梁振動方程

考慮到隧道質量和剛度遠大于鋼軌,隧道可視為固定端,將整體式曲線軌道簡化為單層離散支承的Euler 長梁.假定曲線梁為等截面均質梁,曲率半徑為常數且遠大于梁截面尺寸,按照右手螺旋法建立坐標系(圖1).鋼軌受力計算模型如圖2 所示,其振動方程如式(1).

圖1 整體式軌道位移示意圖

圖2 鋼軌截面受力圖

式中:ρ和A為曲線梁的密度和截面積;u為x方向位移(徑向位移);v為y方向位移(豎向位移);w為z方向位移(軸向位移);β為扭轉變形;Ix為繞x軸的慣性矩;Iy為繞y軸的慣性矩;Ip為截面極慣性矩;J為扭轉常數;E和G分別為曲線梁的彈性模量和剪切模量;kx和cx、ky和cy、kz和cz分別為x、y、z方向的彈簧剛度和阻尼系數;fv和fh分別為作用在曲梁頂端的豎向和徑向荷載;h為梁頂部與中性軸之間的距離;R為曲線梁的半徑;zn為第n個扣件位置,等于 (n-1)dc;dc為扣件間距;列車速度為V.

1.2 振動方程求解

利用振型疊加法求解方程(1),根據Euler 梁理論,其振型函數可采用簡支梁正則振型函數,其表達式為:

式中:Yi(z)為正則振型函數;qi(t)為對應的時間坐標函數;nm為振型數目.

對于Euler 長梁,其振型函數可表示為[14]:

將正則振型函數代入式(1),經過傅里葉變換并簡化,可將偏微分方程變換為如下常微分方程:

式(3)各系數為:

對方程組(3),可寫成如下矩陣形式:

1.3 計算結果驗證

經計算振型數目取120 能滿足計算精度要求(圖3).為驗證本文所采用計算方法的準確性,參照文獻[13]模型參數(表1),將本文計算結果與文獻[13]結果進行對比.

圖3 豎向位移幅值隨模態數目的變化

表1 T60 鋼軌及DTVI2扣件參數[13]

圖 4 為本文計算方法與文獻[13]的對比結果.從圖4 可知,兩者徑向位移、豎向位移和扭轉變形響應結果基本一致,表明本文計算方法準確、可行.

圖4 曲線梁徑向、豎向位移與扭轉變形對比

2 曲線軌道振動特性分析

基于上述軌道參數,對曲線軌道的時域振動特性進行分析,研究扣件、曲率半徑、超高角以及荷載列車速度對曲線軌道動力響應的影響.結果發現,徑向位移與扭轉變形的變化規律相似(都與fh的變化有關).因此,僅分析豎向撓度、徑向撓度的響應規律.選取曲線軌道中點(支點處)的位移響應進行分析.

2.1 扣件影響

在我國軌道交通系統中,扣件間距大部分采用600～650 mm,而國外則相對較大,如新加坡整體式道床扣件間距為700 mm.相比之下,我國采用的扣件間距比較保守,在一定程度上提高了成本,增加了后期維護的費用.扣件對于鋼軌有兩大影響因素:扣件間距和支承剛度.選取曲線半徑300 m 下10～40 MN·m-1的支承剛度,600～700 mm扣件間距進行分析,結果如圖5 和圖6 所示.

從圖5 和圖6 可知,鋼軌的位移變化量隨著支承剛度的增加而減小,隨著扣件間距的增大而增大.當扣件間距為600 mm、支承剛度為40 MN·m-1時,豎向位移有最小值0.75 mm;當扣件間距為700 mm、支承剛度為10 MN·m-1時,豎向位移有最大值2.38 mm.在荷載作用下,鋼軌位移受扣件支承剛度影響較大,受扣件間距影響較小.以鋼軌間距650 mm 為例,徑向支承剛度從6.25 MN·m-1增加到25 MN·m-1時,徑向位移減小了66.8%,豎向支承剛度從10 MN·m-1增加到40 MN·m-1時,豎向位移減小了64.8%;在豎向支承剛度為40 MN·m-1時,扣件間距從700 mm減小到600 mm時,豎向位移僅從0.84 mm 減小到0.75 mm,變化量很小.因此,在移動荷載作用下減小扣件間距對減小鋼軌位移的影響并不明顯,增加扣件支承剛度則能有效減小鋼軌產生的位移.

圖5 不同支承剛度下徑向位移隨扣件間距的變化

圖6 不同支承剛度下豎向位移隨扣件間距的變化

2.2 半徑影響

由于橫向曲率的存在,曲線軌道的振動較直線軌道更為復雜,曲線半徑是關鍵因素.以列車速度20 m·s-1為例,半徑300～1 500 m,軌道超高角為5o,超高為120 mm,滿足規范里對超高上限的要求[15].

圖 7 為不同曲線半徑時徑向位移峰值的變化曲線.從圖7 可知,隨著半徑增加,徑向位移方向發生改變,從負值變為正值,當曲線軌道半徑增加至500 m 時,徑向位移為零.直梁因沒有承受橫向力,所以徑向位移始終為零.這表明列車速度和超高角一定時,可以選擇合適的曲線半徑使得徑向位移為零.

圖7 不同曲線半徑時徑向位移峰值的變化

圖 8 為不同曲線半徑時豎向位移峰值的變化.從圖8 可看出,在列車運行速度范圍內,豎向位移基本不隨半徑增加而發生變化,且與直梁相差極小,其主要原因是豎向振動荷載隨曲線半徑的變化不明顯.可見,當列車設計速度和設計超高角確定后,可以確定最佳的曲線半徑,使得徑向的振動位移最小.

圖8 不同曲線半徑時豎向位移峰值的變化

2.3 超高角影響

曲線軌道正是由于超高角的存在,使得部分慣性力與重力分力平衡.因此,從橫向荷載傳遞來看,超高角能減小鋼軌所受的橫向荷載.不同曲率半徑下徑向位移和豎向位移隨超高角的變化如圖9和圖10 所示.為更加直觀地看出規律,將圖9 數據進行絕對值處理.

從圖9 和圖10 可知,曲線軌道超高角對徑向位移的影響比豎向位移更明顯.半徑不變時,隨著超高角的增加,徑向位移幅值先減小后增大,在理想超高角(θ=arctan(V2(gR)-1))時徑向位移為零.例如,軌道半徑為600 m,列車運行速度為20 m·s-1時其理想狀態超高角近似4o.隨著軌道半徑的增加,徑向位移隨超高角的變化規律趨于一致.

圖9 不同曲線半徑時徑向位移隨超高角的變化

圖10 不同曲線半徑時豎向位移隨超高角的變化

當曲線半徑較小時,豎向位移隨著超高角的增加呈現先增加后減小的趨勢;當曲線半徑不斷增大時,豎向位移隨超高角的增加逐漸下降.這是由于fv與重力分力和慣性力分力有關,在小半徑曲線下,慣性力分力增加量比重力分力減小量要多,因此豎向荷載增加,從而造成豎向位移增加.

2.4 速度影響

列車速度對曲線軌道振動響應有重要影響,鑒于三向位移變化規律相同,以徑向位移為例,不同速度下徑向位移時程的變化如圖11 所示.

圖11 不同速度時徑向位移時程的變化

在目前列車速度下列車的振動荷載作用近似于準靜態荷載作用,曲線軌道不會發生共振現象,最大位移出現在拾振點處.事實上,列車速度產生的影響還與軌道超高角和曲線半徑有關,因此有必要綜合分析,不同超高角和曲線半徑下位移隨速度的變化如圖12～15 所示.

圖12 不同超高角時徑向位移隨速度的變化

圖13 不同超高角時豎向位移隨速度的變化

圖14 不同曲線半徑時徑向位移隨速度的變化

圖15 不同曲線半徑時豎向位移隨速度的變化

由圖12、13 可看出,超高角對曲線軌道徑向位移、豎向位移影響較大,但超高角變化對徑向位移和扭轉變形的影響更大;超高角越小對應的理想車速也越小.荷載移動速度對曲線軌道徑向位移影響更加明顯,特別是當列車速度大于理想車速后,徑向位移隨速度的增加值遠大于豎向位移.由圖14、15 可發現,半徑對曲線軌道徑向位移和豎向位移有顯著影響,隨著半徑的增加,各向位移變化曲線的斜率逐漸減小,在大半徑曲線軌道中速度對曲線軌道動力響應的影響較低.可見,列車在小半徑曲線軌道運行時要將速度控制在理想車速附近,以減小軌道產生更大的徑向位移.

3 結論

(1)扣件的支承剛度是影響曲線軌道位移幅值的主要因素,減小扣件間距并不能有效減小鋼軌產生的位移,增加扣件支承剛度對鋼軌位移減小有明顯作用.

(2)在目前的列車速度下,列車移動荷載近似于準靜態荷載作用,鋼軌不會發生共振,最大位移出現在拾振點處.

(3)曲線半徑、超高角、列車速度三者之間相互影響,列車徑向振動存在一個理想狀態.隨著半徑的增加,橫向荷載方向會發生轉變,導致徑向位移幅值先減小后增大.

(4)荷載移動速度對徑向位移、扭轉變形影響較大,豎向位移受速度影響較小,隨著速度的增加,徑向位移和扭轉變形的振動響應先減小后增加,中間存在理想速度狀態.