高中數學課堂發展建模素養的實踐與思考

丘遠青

（福州第一中學，福建 福州 350108）

數學建模是高中數學六大核心素養之一，與數學建模教學相關的改革成為數學教學改革的一個熱點.高中階段，通過數學建?；顒涌梢詫⒒A知識、基本技能、基本數學方法訓練綜合起來，達到以學生為本，促進學生的全面發展.課堂是提升學生核心素養的主陣地，在課堂教學中，如何發展學生數學建模素養是廣大教師必須面對的問題.下面筆者談談高中課堂教學中發展數學建模素養的實踐與思考.

一、從創設的課堂問題情境中培養建模興趣

課堂教學中創設合適的問題情境，可以啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.數學概念和結論的形成，都是源于實際問題的需要，自然而然生成的.在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題是數學建模的主要過程之一，這是一個“用數學眼光觀察世界”發現和提出問題的過程.數學建模核心素養的形成與發展與現實世界中的具體情境關系密切，教師要引導學生如何從實際問題情境中抽象出數學知識，讓學生既經歷數學抽象過程，又為數學建模積累數據分析經驗，同時實際問題情境還能吸引學生參與課堂活動，體驗數學化的樂趣，調動學習數學積極性.

［問題1］隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數不斷增加，A，B兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施，A 地提高了景區門票價格，而B 地取消了景區門票，下表給出了A，B 兩地景區2001 年至2015年的游客人次以及逐年增加量.比較兩地景區游客人數的變化情況，你發現了怎么樣的變化規律？（表略）

［問題2］當生物死亡后，它體內原有的碳14 含量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約經過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規律，生物碳14 含量與死亡年數之間有怎么樣的關系？［1］

教科書從這兩個材料中抽象出指數函數的概念，發展學生數學抽象素養.在數據分析和抽象的過程中，問題1 景區B 中的數據規律并不容易發現.筆者在教學時僅以問題2 作為新課情境，引入指數函數概念，再對問題1 進行數據分析.借助EXCEL 表格，筆者讓學生經歷了數學建模的一些環節.首先根據數據作散點圖，從散點的分布觀察數據變化規律；其次添加趨勢線，從學生學習的最近發展區出發，對比一次函數（圖略）、二次函數（圖略）以及指數函數（圖1）三種趨勢線的契合度，讓學生直觀感知和對比三種模型的優劣，嘗試選擇確定數學模型；最后，在趨勢線中添上相關系數平方，學習數學模型優劣的一種檢驗方法.筆者這樣使用情境材料，不僅讓學生感受到數學來源于生活以及信息技術應用，發展了學生數學抽象素養，而且還讓學生經歷了建立函數模型解決問題的數學建模的部分過程:作散點圖—尋找函數模型—求解函數模型—檢驗.

圖1

教師在課堂教學中要結合問題實際情境，讓學生經歷設計、提出解決具體問題的方案并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程.教師還應充分理解創設情境所選情境的意圖，提出富有數學含金量的問題，引導學生開展數學探究、數學建?；顒?，突破教材重點、難點，激發學生學習興趣、滲透能力培養，進而有效發展數學核心素養.

二、從精選的課堂例題教學中提升建模能力

例題是實現素養培養的載體，高中數學課堂教學離不開例題的分析解答，數學例題所涉及的問題主要有純粹的數學問題和運用性數學問題.

1.從純粹的數學問題中發展模型化解題策略

數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律.抽象是數學的本質特征，課堂教學中接觸到的大部分是現實問題經過數學抽象后的純粹數學問題，解答這類問題的方法之一就是模型化.

2021 年普通高等學校招生全國統一考試全國卷1數學第22 題摘選：

［問題3］已知函數f(x)=x(1-lnx)，設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b.

2.從數學運用問題中經歷數學建模過程

數學運用問題的解答過程應加強將運用問題轉化為數學問題的數學抽象過程，應注重引導學生從現實背景的分析中歸納、提煉數量關系、空間形式的數學表達并得出模型的過程，這是一個“用數學的思維思考世界”的過程.

［問題4］某公司為了實現1000 萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的激勵方案：在銷售利潤達到10 萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金不超過5 萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？［1］

問題4 是一個具有實際意義的有確定性結果，從多個函數模型中選擇最優解的問題.在管理和經濟問題中，常選擇像7 這樣非e和10 的數為底的對數函數來刻畫.教學時須引導學生分析實際情況，通過對比三個函數增長的差異，根據函數性質選擇合適的函數模型，加深函數模型的認識.具體到該問題的解答過程，首先通過文字、符號和圖象的轉化將其數學化，培養學生運用函數觀點分析問題的意識，提升數學抽象素養；其次借助信息技術進行圖象擬合，讓學生體驗信息技術在數學建模上的運用；再次，在數據分析過程中，從定性到定量，從數到形，再從形到數，讓學生經歷數學建模數據處理的一般過程；最后，函數模型的確定也要讓學生經歷模型的選取、檢驗和確定過程.

加強數學與現實聯系，關注習題的實踐性與可操作性是課程改革的一個基本理念，也是數學教材的一個基本方向.教材增加了大量具有實際背景的題目，目的在于讓學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學運用意識，提高建模能力.教師應注重通過數學運用問題為學生提供經歷某些數學建模環節的機會，從而使數學建模得到連續發展.

3.從開放性問題中拓展數學建模的思維

問題4 在課堂教學中還可以進一步地提出下面問題：

思考：你能否設計一個既符合公司要求，又更能激勵銷售人員積極性的函數模型？請說明理由.

該問題的答案不唯一，學生對“更能激勵”理解的角度不同，所設計的模型則不同，如果僅改進題目中給出的模型，可以考慮把y=0.25x改為，y=1.002x變換該指數函數的底數，而函數y=log7x+1 可以變換常數1，也可以變換對數中的底數7 等等.這一問題的提出，一方面能讓學生經歷選擇模型、檢驗結果、改進模型的建模過程，提升建模能力；另一方面，適時提出的開放性問題可以打破學生思維常規，變學生被動答題為主動參與，激勵學生參與到問題的情景中去.

開放性問題倡導學生多角度、多視點、多層次、多途徑、多方法解決問題，有利于張揚學生的個性，開拓學生的創造性思維，有助于學生探究能力和創新精神的培養.在開放性問題的解決過程中，學生可以通過信息的重組，獲取解決問題的有效信息，并作出合理的假設和推斷.數學建模的對象大都是應用題類，是開放性問題.在建模過程中，數學問題和形式多種多樣，解決問題的方法具有開放性、新奇性、多樣性.在教學中適當給出開放性問題，能有效拓展學生數學建模思維能力，也可以讓學生能動地運用所學的數學知識解決具體問題，獲得“四基”，提高“四能”.

三、從設計的課后作業中延伸建模教學

“雙減”政策對作業的要求雖是針對義務教育階段，但是提高作業的針對性、有效性，提高作業質量，避免大量機械重復刷題作業，減輕學生負擔，也是高中作業的基本要求.作業是課堂教學的延伸，是學生再學習和再加工的一個過程，作業設計的出發點和落腳點不能僅僅只是為了鞏固知識，更應該考慮如何促進學生數學思維能力的發展，提升數學學習的能力，發展數學核心素養.

［問題5］已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假設全部溶解），糖水變甜了，請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.［1］

問題5 所涉及的知識是常見的“糖水不等式”，教師在作業設計中，可以將問題作適當變式，通過縱向挖掘、橫向延伸，可以達到更大地教育功能.比如，把問題改為“糖水加糖后變甜了，試用數學知識解釋這一現象”.如此，學生需要引進字母把問題數學化，還要考慮糖是否全部溶解，以及確定不等式或者是函數模型解答等等，數學建模味顯然充足了許多.此外，該問題還可以追問“生活中還有這個不等式代表含義的例子嗎？”如果學生能逆向思維，找到“住宅采光問題”“斜坡的坡度問題”等實際背景，這無疑有助于學生數學建模思維能力的提升.高質量的變式作業能有效地擺脫題海的困擾，起到事半功倍的作用.

具有確定性模型及結果的問題所滲透的數學建模大部分僅是運用數學知識解決實際問題的部分環節，在正式進行數學建模前的數據收集、圖表繪制等環節，以及建模完成后的檢驗修正環節都是必不可少的，這些比較完整的數學建模過程往往需要數學建模專題實踐來達成.適時布置數學建模作業，可以引導學生在解題過程中有效開展自主探究性學習與合作性學習，變被動做題為主動研究，能有效激發學生學習的興趣，對學生自主探究學習起到積極的作用，還能為學生良好的數學核心素養的培育起到奠定作用.

數學建模的實踐作業不宜采用“講練”模式，應采用選題、開題、做題、結題四個環節來推進數學建?；顒?除需要給學生提供數學建模完整過程的體驗外，還應指導學生如何從實際情境中用數學眼光發現和提出問題，通過分析問題、構建模型、求解結論、驗證結論并改進模型等活動，最終解決實際問題.這四個環節中，尤為關鍵的是選題，選題取材要貼合實際，來源于真實問題，要符合教材內容水平，符合學生的認知水平.教師所設計的建模問題作業，應適合普通高中學生的問題探究水平，同時可以添加少數有難度的問題供更有興趣的同學探究，還要鼓勵學生自己提出選題，教師加以指導，只有學生自己能提出一定質量的選題，才是真正地形成了用數學眼光觀察世界的能力.

總之，數學建模素養是一種綜合素養，數學建?；顒邮且环N綜合實踐活動.教師在課堂教學中應該把握教材的實踐性、應用性，注重將數學內容與實際生活相結合，加強數學研究對象的抽象過程，加強實際背景的數學化過程，加強數學知識的運用環節，不斷引導學生借助數學知識，從實際問題中發現問題、分析問題并解決問題.