粗糙核奇異積分的Toeplitz-型算子的加權端點估計

高亞瑞， 陶雙平

西北師范大學 數學與統計學院，蘭州 730070

設t>0，at(x，y)為Rn×Rn上的函數，滿足

其中σ為(0，∞)上非負有界的遞減函數，并且存在ε>0，使得

設f∈Lp(Rn)(p≥1)，恒等逼近Dt定義為

定義1設T為L2(Rn)上的有界線性算子，并且存在K(x，y)，使得對每個具有緊支集的連續函數f，有

并且滿足

(a) 存在恒等逼近{Bt：t>0}和常數c1，c2>0，使得T°Bt的核函數kt(x，y)滿足

(b) 存在恒等逼近{At：t>0}和常數c3，c4>0，以及δ>0，使得At°T的核函數Kt(x，y)滿足

和

則稱T為粗糙核的奇異積分算子．

奇異積分及其交換子已被廣泛研究[1-5]．文獻[6]證明了分數次奇異積分算子的Lp(Rn)有界性．關于粗糙核奇異積分算子和變量核的分數次積分算子更多的研究結果可參見文獻[7-10]．文獻[11]給出了關于粗糙核奇異積分的Toeplitz算子從Lebesgue空間到Orlicz空間的有界性．關于Toeplitz-型算子的更多結論可見文獻[12-13]．本文的主要目的是給出關于上面粗糙核奇異積分的Toeplitz-型算子的加權端點估計．

T為定義1中的粗糙核奇異積分，b為Rn上的局部可積函數，與T相關的Toeplitz-型算子定義為

其中Tk，1為T或±I(I為恒等算子)，Tk，2為線性算子(k=1，…，m)，Mb(f)=bf．

A1權的定義為

給定Rn中的方體Q和局部可積函數b，由文獻[14]有

‖b-b2kQ‖BMO≤Ck‖b‖BMO

定義2令{At：t>0}為恒等逼近，ω為權函數，

(a) 關于{At：t>0}的加權BMO空間定義為

(b) 關于{At：t>0}的加權中心CMO空間定義為

其中，Q(0，r)表示中心為0 邊長為r的方體，tQ=r2．

定義3設1

最近，文獻 [15]研究了多線性分數次奇異積分在Herz空間和Herz-型Hardy空間上的端點估計．本文的主要結果如下：

定理1設T是粗糙核的奇異積分算子，Tk，2是L∞(ω)上的有界線性算子，ω∈A1．如果對于任意的g∈Lr(Rn)(1

定理2設T是粗糙核的奇異積分算子，1

引理1[14]設ω∈Ap，p≥1，則對Rn中的任意方體Q，存在一個絕對常數C>0，使得

ω(2Q)≤Cω(Q)ω(λQ)≤Cλnpω(Q)λ>1

則

引理3[7，16]粗糙核奇異積分算子T是(p，p)-型的和弱(1，1)-型的，其中1

引理4[16]設T是粗糙核奇異積分，ω∈A1，1

定理1的證明只需證：對于任意的方體Q，存在常數C>0，成立

不失一般性，假設Tk，1為T(k=1，…，m)．固定方體Q=Q(x0，d)，注意到T1(g)=0，有

Tb(f)(x)=Tb-bQ(f)(x)=T(b-bQ)χ2Q(f)(x)+T(b-bQ)χ(2Q)c(f)(x)=U1(x)+U2(x)

則

其中tQ=(l(Q))2，l(Q)表示Q的邊長．

對于I1，因為ω∈A1，則ω滿足反向H?lder不等式

其中1

下面估計I2．

由T的Lp(Rn)有界性得

對于J2，注意到當x∈Q，y∈2j+1Q2jQ時，有|x-y|≤2j-1tQ，則

因此

由于

所以

結合J1，J2的估計，得出

I2≤C‖f‖L∞(ω)‖b‖BMO

最后估計I3．注意到當x∈Q，y∈Rn2Q時，有|x-y|～|x0-y|，由K的條件有

將危重患者實際液體出入量情況與316張護理監護單液體出入量記錄情況進行比較，記錄每一處少記、錯記、多記、漏記、誤記等情況，分析每一處記錄不正確情況發生的相關因素，找出存在的問題并制定相應對策。

至此，就完成了定理1的證明．

定理2的證明不失一般性，假設Tk，1為T(k=1，…，m)．對任意的方體Q=Q(0，d)，類似于定理1的證明，記tQ=d2，有

對L1，由引理4和H?lder不等式，對于任意的t>1，有

下面估計L2．

由于

所以

結合M1，M2的估計，就有

L2≤C‖f‖Bp(ω)‖b‖CMO

最后對L3做出估計．由于

因此，對任意的1

故得到了L3≤C‖f‖Bp(ω)‖b‖CMO．

至此，定理 2 證畢．