與高階Schr?dinger-型算子相關的變分算子在Herz-型空間的有界性

王曉燕， 趙 凱

1. 青島黃海學院 數學教學部，山東 青島 266427；2. 青島大學 數學與統計學院，山東 青島 266071

Rn上的Herz-型空間和奇異積分算子及其交換子有界性的問題自20世紀90年代中后期以來得到了迅猛發展[1-9]．微分算子的空間理論和奇異積分算子理論在21世紀取得了豐碩的成果，與微分算子相關的變分算子也受到了許多學者的關注[10-16]．最近，文獻[17]討論了Rn(n≥5)上的與高階Schr?dinger-型算子相關的一類變分算子在Lq(Rn)空間的有界性問題，并得到了這類變分算子在一類與微分算子相關的Morrey空間上的有界性．

對于這類與高階Schr?dinger-型算子L生成的熱半群相關的變分算子在函數空間上有界性的研究，我們的目的主要是建立此類變分算子在Herz-型空間上的有界性．

這里熱半群e-tL的核Bt(x，y)滿足(其中C和c1為常數)

(1)

定義1[17]設{ti}i∈N是正的單調減的趨于0的數列，令ρ>2，與高階Schr?dinger-型算子L生成的熱半群相關的變分算子定義為

(2)

這里的上確界取遍所有正的單調減的趨于0的數列{ti}i∈N．

定義

(3)

特別地，當|x-y|

引理2[17]對任意N∈N，存在正常數C，c2和c3，使得對所有x，y∈Rn和0

‖Vρ(e-tL)f‖Lq(Rn)≤C‖f‖Lq(Rn)f∈Lq(Rn)，1

(4)

對于整數k，記Bk={x∈Rn：|x-x0|<2k}，Ck=BkBk-1，χk=χCk．有關齊型Herz空間以及齊型Herz-型Hardy空間的概念和主要結論如下：

其中

齊型Herz-Hardy空間定義為

則稱a(x)為中心(α，q)-原子．

(5)

這里的下確界取遍f的所有分解．

其中

其中aj是中心(α，q)-原子，suppaj?Bj，且

則

對于I2，分為0

當0

當1

當|x-x0|≤γ(x0)時，由引理2知

所以，由H?lder不等式以及原子的大小條件，得

從而

當1

當|x-x0|>γ(x0)時，由定義1和引理2，并應用(3)式，得

(6)

(7)

同理，可以得到

因此

至此，完成了定理1的證明．

對于J2，由引理3，即變分算子的Lq有界性，有

再由不等式

(8)

并注意到α>λ，可以得到

所以得到

這樣

這就完成了定理2的證明．