一種適用于配網暫態數據的高階求導方法

蔣文弢， 李世勉， 馮宗琮， 冉小康， 陳 勇

1. 國網重慶市電力公司北碚供電分公司，重慶 400700；2. 重慶理工大學/重慶市能源互聯網工程技術研究中心，重慶 400054

電力系統安全可靠的運行離不開其底層數據的支持，在電力系統相關數據的處理和計算中，高階求導的計算隨處可見，如時域下分布參數線路模型的推導和計算[1-2]、電力系統等值參數模型的建立[3]、電力系統負荷模型辨識研究[4]、故障測距[5-6]等．高階求導[7-8]已經滲透到電力系統的方方面面，它不僅和電網相關模型緊密相關，還與電力系統狀態評估、故障處理、保護策略有著密切聯系[9-11]．由此可見，高階導數的準確計算在電力系統中是十分重要的基礎工作．

電力系統中我們常處理的數據大都是電壓電流信號的采樣值，即離散數據，此時連續函數的求導公式不再適用，目前常用的方法有差分求導法和多項式擬合求導法．差分求導法是利用導數的定義和微分的思想，近似求取某點處的導數，采樣頻率越大，其精度就越高，實現簡單方便[12]．但受邊界效應的影響，采樣區間首端或尾端的導數值不確定，即自由度減1，N點采樣值只能確定N-1個一階導數值，階次每高一階，自由度便少1，其根本原因是在對連續函數進行截斷和采樣處理時，必然會造成首尾信息缺失，而且不可避免，更關鍵的是差分法抗干擾能力極差，微弱的干擾便能造成很大的誤差．多項式擬合法[13-15]用一串線性無關的多項式(x，x2，…，xn)對離散數據進行擬合，將離散數據轉化成連續函數，以連續函數逼近的方式代替求解，此方法受擬合精度的影響，若擬合精度低，則誤差大．此外，求導階次受擬合多項式最高次數制約，n次多項式的n階導數為常數，n-1階導數為一元函數，以此類推，其求導階次在接近多項式多高階次后誤差明顯．

針對上述弊端，本文提出一種正弦多項式擬合的方法求取電網離散數據的高階導數值，本方法在多項式擬合的基礎上，針對電力系統電壓電流暫態分量和穩態分量的特征，合理選取正弦多項式函數為基底，具有良好的抗干擾性和可靠性．

1 正弦多項式擬合原理

電網下的電壓電流暫態信號通?？杀硎境梢韵滦问絒16-17]，以電流信號為例：

(1)

其中，i(t)，is(t)，it(t)分別表示電流信號、電流穩態分量、電流暫態分量，ω為工頻下的角速度即100π，暫態分量it(t)由直流衰減分量和高頻衰減分量g(t)組成，τ1為直流衰減分量的時間常數．

正弦多項式擬合不同于一般多項式擬合所選取的基底x，x2，…，xn，為了使所選多項式更貼合配網數據，在分析上述配網數據所呈現的特征后，將多項式中加入正弦函數，又考慮到實際運行中暫態分量會衰減并歸零，如圖1所示，因此在多項式中施加指數衰減函數以約束暫態分量，最終用正弦多項式p(t)擬合暫態信號的形式為

圖1 配網暫態電流采樣信號

(2)

其中：

A(t)=(a0+a1x+a2x2+…+anxn)e-(t/τ2)

B(t)=(b0+b1x+b2x2+…+bnxn)e-(t/τ2)

式(2)中，用帶衰減的正弦多項式擬合暫態分量，其中，ω為工頻下的角速度即100π，τ2為衰減時間常數，大小可根據實際電網數據進行調節和校正．

于是問題變成求取p(t)中未知系數A0，B0，a0，b0，…，an，bn的值以逼近目標值i(t)．求取未知系數的值可用最小二乘法實現[18]：

(3)

(4)

式(3)表示目標函數，誤差平方和最??；式(4)中，下標i表示第i個采樣序列，ti表示采樣時間，p(ti)表示ti時刻的擬合值，i(ti)表示ti時刻的實際值，δi表示第i個采樣值的擬合誤差．

2 算法實現

將式(2)展開可得：

(5)

其中：

(6)

由此得：

(7)

則式(7)可表示為

(8)

為了方便用MATLAB實現，可將式(8)用矩陣表示[19]．

創建矩陣A，B，

其中φi(tj)表示函數φi(t)在tj時刻的值．

所以式(8)可表示為

(9)

3 仿真分析

以直流衰減和高頻衰減信號模擬電流信號對本方法進行驗證，并將其和傳統差分法和多項式擬合法進行對比．

設故障后電流信號為

i(t)=5*e-t/0.02+e-t/0.02*sin (2ωt+π/3)

取采樣頻率為2 000 Hz，采樣周期為0.02 ms，正弦多項式最高次數n=15，τ2=0.02，在不加干擾情況下驗證求導階次N分別取1，5，8，13，15時的情況，如圖2所示．

在圖2中，各階導數標準值是根據電流信號表達式由導數計算公式計算而來，多項式擬合法計算的值是對擬合函數進行求導計算而來．由圖可知，差分法難以擺脫邊界效應的影響，在低階導數情況下首尾已經出現明顯誤差，在N=1時還可以忽略微小誤差，但當N增大到5之后，其誤差不容忽視且隨著N增大，誤差越發嚴重，所以，后面在計算更高階導數時沒有呈現差分求導的結果，但其數據中部效果顯著；多項式法在求解低階導數時具有較高的準確度，在N增大到8(大約n/2)時，依然有較高的準確度，隨著N接近n，多項式擬合法誤差越發明顯，當N達到其多項式最高次數15時，計算結果為一個常數；正弦多項式擬合法在求解低階導數時基本和實際值吻合，其誤差肉眼難辨，即使階次增高，其大部分區間依然保持超高吻合度，整體誤差?。浑y看出，無論N取多少，正弦多項式精確度都遠高于其他兩種方法，低階次情況下多項式法和正弦多項式法效果接近，階次越高，正弦多項式的優勢越明顯．

圖2 無干擾情況下N=1，5，8，13，15時各方法效果比較

在電流信號中加入微弱的白噪聲，信噪比為20 dB，在加干擾后驗證求導階次N分別取1，3，5，8時的情況，如圖3所示．

圖3 有干擾情況下N=1，3，5，8時各方法效果比較

由圖3可知，即使加入的干擾信號十分微弱，在低階次情形下，差分法依舊表現極大誤差，它的抗干擾性能最差．N=3時差分法求導出來的結果和標準值背離太大，因此在后面計算更高階導數時同樣沒有呈現差分求導的結果．綜合對比圖2和圖3，特別是從N=8的圖像可知，在有干擾情況下，正弦多項式擬合法和多項式擬合法的計算結果和沒干擾時幾乎相同，都表現出優秀的抗干擾能力．

4 結 論

傳統高階求導計算方法因其自身局限性無法保證計算準確性；差分法的邊界效應對首尾區間的影響在高階次時無法忽視和避免，也沒有抗干擾能力，在微弱干擾環境下便不再適用；多項式擬合法在實際應用中多項式必然是有限項，無法避免求導階次受限于多項式最高次數的問題，無法在高階次情況下保證精度，給計算結果帶來巨大的偏差，對要求計算快速可靠將造成十分嚴重的影響．本文提出的正弦多項式擬合法在含直流衰減或高頻衰減的情形下都具有優于傳統方法的特性，一方面在大幅提高高階次的精度的同時，在低階次也可將誤差控制得極??；另一方面由于算法中核心方程組具有唯一解，可使擬合函數的參數具有較強的穩定性，有利于表征相關物理特性，因而具有非常高的準確性和抗干擾能力．