三階半線性中立型微分方程的振動性*

賈對紅

(長治學院數學系，山西 長治 046000)

近年來，許多學者對三階微分方程的振動性進行了研究，取得了許多成果[1-6].筆者擬在文獻[7]的基礎上，利用Riccati變換和Philos型積分技巧研究一類三階半線性中立型分布時滯微分方程

(1)

1 預備知識

函數x(t)稱為方程(1)的一個解，如果函數z(t)和r(t)|z″(t)|α-1z″(t)連續可微，且在[t0,+∞)上x(t)滿足方程(1).方程(1)的一個非平凡解稱為振動的，如果它有任意大的零點；否則，稱它為非振動的.若方程(1)的一切解都是振動的，則稱方程(1)是振動的.

假設下列條件成立：

引理1[8]若x(t)是方程(1)的最終正解，則存在t1>t0，當t>t1時，有：

(ⅰ)z(t)>0,z′(t)<0,z″(t)>0；

(ⅱ)z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0.

引理3設x(t)是方程(1)的最終正解，且z(t)滿足引理1(ⅰ)，若

(2)

(3)

(4)

于是

2 主要結果及其證明

設D={(t,s):t0≤s≤t<+∞}，D0={(t,s):t0≤s

(1)H(t,s)>0,(t,s)∈D0，H(t,t)=0,t≥t0；

定理1假設(H1)～(H6)和(2)式成立，且存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和?(t,s)∈D0，滿足

(5)

其中

則方程(1)的解x(t)或者是振動的，或者當t→+∞時趨向于0.

證明設方程(1)有非振動解，則x(t)為最終正解或最終負解.不妨設x(t)為最終正解(最終負解的證明類似)，且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)滿足引理1(ⅱ)，即z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0，z(t)是單調遞增函數，則有

(6)

由(H5)，(H6)和(6)式，可得

可以看出，r(t)(z″(t))α是單調遞減函數，且t>s時，r(t)(z″(t))α

(7)

(8)

(8)式兩邊同時對s從t0到t積分，可得

(9)

因此對于?t≥s≥t1，由(8)，(9)式有

(10)

令

(11)

由引理2可得

(12)

(13)

對(13)式兩邊同時從t1到t積分，可得

當t→+∞時，由(5)式可知w(t)→-∞，這與w(t)>0矛盾.證畢.

定理2若存在函數ρ∈C1([t0,+∞),R+)使得(2)式成立，且滿足

(14)

則方程(1)的解x(t)或者是振動的，或者當t趨于+∞時趨向于0.

證明設方程(1)有非振動解，則x(t)為最終正解或最終負解.不妨設x(t)為最終正解(最終負解的證明類似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)滿足引理1(ⅱ)，則令

(15)

對(15)式從t0到t積分,可得

當t→+∞時，由(14)式可知u(t)→-∞，這與u(t)>0矛盾.證畢.

定理3假設(H1)～(H6)和(2)式成立，若存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和?(t,s)∈D0，滿足

(16)

則方程(1)的解或者是振動的，或者當t趨于正無窮時趨向于0.

證明設方程(1)有非振動解，則x(t)為最終正解或最終負解.不妨設x(t)為最終正解(最終負解的證明類似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)滿足引理1(ⅱ)，則由定理1的證明可知(11)式成立，即

(17)

(18)

整理得到

即

(19)

于是

(20)

聯立(19),(20)式，可得

對于?t≥t1>t0，有

這與(16)式矛盾.證畢.

定理4假設(H1)～(H6)和(2)式成立，ρ∈C1([t0,+∞),R+)，φ∈C([t0,+∞),R)，H∈X，對于?T≥t0，有

(21)

(22)

(23)

φ+(s)=max{φ(s),0}，

則方程(1)的解或者是振動的，或者當t趨于正無窮時趨于0.

證明若z(t)滿足引理1(ⅰ)，則由引理3即證.

若z(t)滿足引理1(ⅱ)，則由(22)式可知對于?t1>t0，有

即對于?t1>t0，有

φ(t1)≤w(t1).

(24)

由(19)式可得

(25)

由(21)式可知，存在ε>0，使得

(26)

由N的任意性，有

這與(25)式矛盾，因此

由(24)式可得

這與(23)式矛盾.證畢.

3 應用舉例

考慮方程

該方程的解或振動或趨于0.