基于數學表達能力培養的高考數學備考教學實驗*

梁永丁,劉永忠,黎奇升

(1.興義民族師范學院數學科學學院，貴州 興義 562400;2.湘西自治州民族中學，湖南 吉首 416000；3.吉首大學數學與統計學院，湖南 吉首 416000)

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》中強調“提升學生核心素養，學會用數學的語言表達世界”[1]，“學生表達清晰，思考有條理，在發展和完善人的教育活動中起著重要的作用”[2].數學教育作為基礎教育的組成部分，數學教學不僅要完成“四基”教學，還需要進一步培養學生的數學語言表達能力.

關于數學表達，目前學術界沒有統一的界定.威爾金森(Louise Wilkinson，2018)認為：“數學表達既涉及學生使用語言的多種表達方式，如說話、傾聽、閱讀、書寫等，又包括學生使用到的一系列特定的數學詞匯.”[3]有學者認為，數學表達能力是指基于具體問題，調動已有的經驗，經過識別理解、轉譯構造、組織表達，按照自我思考的方式，用口頭語言、書面語言等方式，呈現出數學對象、解決問題的過程、表明觀點及結論的能力[4].學者們將能運用數學語言精準表達數學問題作為衡量數學表達能力的依據.本研究將數學表達能力界定為：學習者既能用數學符號來書寫表達數學問題(即“寫數學”)，又能用數學語言以口頭表達的形式討論數學問題(即“說數學”)，分為口頭表達能力和書面表達能力.數學書寫表達和討論交流，已成為評價學生學習能力和水平的重要標準之一.

隨著課程改革的逐步深入，高考備考質量成為我國師生共同關注的問題，但目前大部分師生認為我國高考備考質量有待進一步提高，普遍存在教師認為已教會學生書寫表達規范，而學生總會因書寫表達不規范而丟分的矛盾.通過課堂觀察發現，多數教師教學以介紹解題方法為主，弱化對典型例題的規范表述，缺少與學生的溝通交流，課堂上經常會出現“一言堂”的現象.此外，多數教師認為培養學生的數學表達能力是小學、初中數學的內容，高中階段由于課時緊張、教學內容多，就無暇顧及學生的數學表達能力；大多數學生認為題海戰術就能提高高考數學的備考質量，沒必要規范表達.可見，在備考過程中，存在教師對學生數學表達能力的培養重視程度不夠，學生規范表達的意識不強的現象.基于此，本研究運用文獻分析法、訪談法、觀察法等，分析高中生數學表達能力現狀，建構數學表達能力教學模式，并在高考備考中進行教育實驗研究，以期探索高考數學備考中學生數學表達能力與備考質量之間的關系.

2 實驗設計

2.1 研究方法

本研究前期通過文獻研究法了解數學表達領域研究相關內容，整理研究思路；采取訪談法了解學生的數學表達現狀以及教師在教學過程中如何培養學生的數學表達能力；使用觀察法了解學生課堂數學表達情況與教師數學表達組織情況；再通過理論研究法找出教學規律，建構出數學表達教學模式；最后通過教育實驗法，進行數學高考備考教育實踐.

2.2 實驗對象

筆者采取多組實驗設計，選取湘西州民族中學2019屆某一個班的學生作為實驗組(文科普通班)；選取高三年級另一個班的學生作為控制組(文科普通班).在實驗期間，由于部分學生是藝考生，不能全程參與實驗，故最終取45名學生作為實驗組，43名學生作為控制組，對被選為實驗的學生進行跟蹤，其余學生跟班學習，成績不記為實驗數據.

2.3 研究步驟與模式

筆者查閱學生統考答題卡(系統閱卷，考生答題卡均能查到)，對學生因數學表達錯誤或不準確而失分題目的情況進行收集、整理分析，找出在數學表達能力發展中存在的主要問題.筆者對師生進行訪談，了解他們對數學表達能力的認識和存在的困惑，為針對性地找出培養策略提供依據；此外，筆者收集學校統一組織的考試成績作為實驗前測數據，并對前測數據分析，做出教學診斷方案，建構數學表達能力培養教學模式.最后，筆者還進行教育實踐研究，收集中測與后測數據，分析研究結果.

筆者通過文獻分析、課堂觀察、師生訪談和閱卷情況分析等，在調查研究的基礎上，構建高中生數學表達能力培養教學模式(圖1).此模式以學生數學知識、表達能力獲得發展為中心，可分為“課前、課中、課后”3個板塊，課前教師通過“備”知識技能、學情分析，制定詳細計劃；課中組織學生“說數學”，對學生的表達進行評價，適時以身示范，訓練學生交流表達；課后學生進行數學寫作，教師評閱學生寫作，反觀課堂教學，并制定下一個教學計劃.

圖1 數學表達能力教學模式Fig.1 Teaching Mode of Cultivating Mathematical Expression Ability

模式的6個環節，突出以學生為主體教師為主導的課堂，其中，組織學生“說數學”，訓練交流表達能力與“學生進行數學寫作”是學生知識與能力獲得發展的重要環節，教師依據學生的表達情況，再制定教學計劃，體現出數學交流表達在高考數學備考中的作用.教師課堂上注重數學語言教學和示范表達，是引導學生在“說”中學習、在“寫”中進步的關鍵.

2.4 變量設計

本研究實驗組的自變量是“數學表達能力教學模式”，控制組的自變量是日常的教學模式；因變量為實驗對象的數學學習興趣和學習成績；無關變量為學生的數學學習時間、數學解題量、教學內容、教學進度、課時量、測試方式和閱卷方式[5].為保證實驗的內部效度，進行變量控制：實驗組和控制組都是高三文科班；受試學生的數學學習時間和解題量不隨便增加；教學內容都采用《世紀金榜高中全程復習方略(文科數學)》；教學進度和數學教學課時等都相同；采用統一的試卷、測試時間和閱卷系統閱卷方式；重視實驗組“自變量”的實施與操縱，控制組嚴格不使用“自變量”進行教學.

2.5 測試工具與實驗時間

為確保實驗數據有較高的信度和效度，將實驗期間學校聯考統測作為前測數據，州統測作為中測數據，學生高考成績作為后測數據.其中，前測數據是兩組學生的2018年高三上學期聯考成績；中測數據是兩組學生的2019年湘西州期末統測、湘贛聯考、州模擬統測成績，采用3次測試作為實驗中測數據，便于操縱自變量、控制無關變量和觀測因變量；后測數據是兩組學生的2019年全國高考數學(I卷)成績.實驗時間為2018年11月上旬至2019年5月上旬.在2018年10月底進行前測；在2019年1月、3月、4月進行3次中測；在2019年6月上旬進行后測.

3 實驗的實施

筆者在實驗班用數學表達能力教學模式進行教學.具體環節操作如下：

環節1：教師做到三個“備”.為了制定教學目標，突出教學重點、突破教學難點，追求高效的課堂表達，課前教師應做到三個“備”.首先，教師備知識，教師對教學內容進行分析，尋找在教學中師生表達交流所用到的數學語言，如概念、公式、圖像等，并對其進行深入研究；其次，教師備學生，分析學生現有數學知識與能力以及數學表達能力等，為選擇教學方法提供參考；最后，教師備方法，根據背景分析，尋找適當的教學方法，力求使用的數學語言讓多數學生理解.

環節2：教師制定教學計劃.教師在環節1的基礎上制定相應教學內容的教學計劃.

環節3：教師實施教學計劃，組織學生“說數學”，訓練交流表達能力.“說數學”包括說知識、說過程、說“異見”和說體會，即學生通過口頭表達對數學問題的具體認識、理解，解決數學問題的思路、方法以及學習體會等的數學學習活動[6-7].具體操作：課堂上學生回答教師(或學生)所提問題，既要給出最終結果，也要說出自己的思考過程；教師創造機會讓學生說出解題思路、解題體會等，引導學生在課堂上談階段性學習體會[8].

環節4：教師課堂評價學生的“說數學”，適時示范口頭表達或書面表達.具體操作：課堂上，教師根據學生“說數學”的情況，給予積極性評價，及時糾正學生的不規范表達，并以典型例題為例，準確、嚴謹、規范、完整、簡潔地利用數學語言進行表達，示范引領.其中，教師的評價與學生的課堂交流表達相互作用.

環節5：學生進行數學寫作.課后，學生結合自身實際進行數學寫作，可以寫階段性的學習體會，可以是某一道題一題多解、變式拓展，還可以是學習總結反思，數學小論文等.學生一周上交一次數學寫作，彌補由于課堂時間有限而不能進行交流表達的缺陷.

環節6：教師激勵性評價學生的數學寫作.課后，在具體的評價過程中，教師評與學生互評相結合，以評語評價為主，評分、評級為輔，評語、評分與評級相結合，形成“評語+評分/評級”的呈現形式[9].根據寫作情況，反觀教學，根據教學內容，再制定下一個教學計劃.

在充分理解數學表達能力教學模式的基礎上，課堂強調以學生為主體，教師為主導，安排了有針對性的“說數學”活動和數學寫作訓練，滲透“練習交流”“錯誤分析”“范例賞析”“總結反思”等具體策略，以培養學生數學表達為契機，探索高考數學備考中學生數學表達能力與備考質量之間的關系.

4 實驗結果分析

4.1 學生數學學習成績顯著提升

首先，筆者對實驗前測數據進行分析，結果如表1和表2所示. 由表1可知，控制組的平均分比實驗組高11.96分，控制組的最高分比實驗組高19分，控制組的最低分比實驗組高2分.值得注意的是，多次測試表明，控制組數學成績一直排在該校普通文科班前列，實驗班數學成績一直是倒數第一.對前測數據進行方差分析，表2中相伴概率p值為0.014，遠小于顯著水平0.05，可知，控制組和實驗組存在顯著性差異，說明控制組比實驗組成績優秀.

表1 前測數據的描述性統計結果Table 1 Descriptive Statistical Results of Pre-Test Data

表2 前測數據的方差分析Table 2 Analysis of Variance of Pretest Data

其次，筆者對3次中測數據進行分析.統計結果表明實驗組與控制組的差距逐漸縮??；開展1個多月實驗研究后，得出第1次相伴概率p值為0.049(<0.05)，由于實驗時間較短，仍存在顯著性差異，但實驗班平均分為80.80，對照班為88.63，相差7.83分；實驗班最高分為117，對照班為121，兩者僅相差4分，說明實驗班的數學成績一直在進步.第2、3次中測相伴概率p值分別為0.264，0.425，都大于顯著性水平0.05，表明實驗組與控制組數學成績無顯著性差異.可見，隨著實驗的不斷推進，實驗組的數學成績不斷提升.

再次，筆者對后測數據進行分析，結果如表3和表4所示.從最高分、最低分和平均分角度看，實驗組成績與控制組相近；表4中相伴概率p值為0.147(>0.05)，說明兩者之間無顯著性差異，實驗組平均分比控制組低5.36分，控制組最高分只比實驗組多1分，但實驗組最低分比控制組高11分，這足以說明實驗組的成績緊逼控制組，取得了明顯的進步.

表3 后測數據的描述性統計結果Table 3 Descriptive Statistical Results of Data

表4 后測數據的方差分析Table 4 Analysis of Variance of Post-Test Data

最后，筆者對各次測驗的基本情況作對比分析，如表5所示.從分數段上看，前測60分以下的學生，實驗組比控制組多11人，實驗組及格(90及分以上)僅有2人，控制班有7人，且有120分以上的有1人，兩者相差較大；3次中測60分以下的學生，實驗組比控制組分別多3，2，5人，但實驗組在60分以上的人數占比逐漸增多；實驗后測60分以下的學生，實驗組反而比控制組少2人，且在[100，119]分之間的人數空前增加，可見，隨著實驗的推進，后進生的數學學習進步相當明顯.

表5 各次測驗的基本情況對比結果分析Table 5 Analysis of the Basic Situation Comparison Results of Each Test

4.2 后進生得到了較多的關注

實驗教學中，學生數學學習興趣和主動學習意識明顯增強.事實上，學生都渴望被關注、被肯定.教育實驗中，課上教師鼓勵學生“說數學”，較多的學生舉手要求回答，說出自己對數學問題的“異見”，緊接著教師(或學生)及時評價，激發學生的學習數學的動機；教師組織開展數學寫作，學生把自己對數學問題的見解、學習數學的喜怒哀樂，通過寫作的方式展示出來.課后教師再對學生的寫作情況進行逐一的激勵評價，針對不同學生的情況，采取不同的指導方式，課后的數學寫作使中等生、后進生得到一對一家長式的關心和鼓勵，激發學生的成就動機，逐漸從“要我學”到“我要學”再到“我會學”的轉變，形成良好學習氛圍.本研究采用數學表達能力教學模式進行教學，使得后進生數學學習得到了較大的提升.

4.3 提高了高考數學備考質量

分析前測、中測和后測數據可知，隨著實驗的推進，實驗組的進步明顯.作為同一學校同一年級的兩個教學班，在相同的高考復習素材、作息時間、管理方式等前提下，僅是改變教學方式，就使得實驗組在大型考試中進步明顯，特別是后進生的進步極為明顯，打破了數學總平均分在多次大型考試都是倒數第一的記錄.據統計，實驗組在2019年高考中，取得了上二本線人數比控制組多5人的好成績，學生數學成績的提高與教師注重培養學生的數學表達能力密切相關.總之，注重學生數學表達能力的培養，運用“數學表達能力教學模式”進行教學，能提高高考數學的備考質量.

5 討論與建議

5.1 巧用啟發性提示語，啟發學生思考與交流

數學是思維的科學，數學語言是思維的工具，而數學語言的核心，是啟發性提示語.涂榮豹教授指出，“學生對數學語言的掌握直接影響其數學思維、數學表達和數學交流的效果”[10].教學中，教師應以恰當的數學問題為載體，巧用啟發性提示語發問，即教師提問，暫時“問而不答”，引導學生思考問題的方向，啟迪學生思維的深層次參與，然后由學生去回答，去尋找辦法與答案，教師的發問給學生創造表達的條件.例如，在解題教學中，教師可用“解這道題的條件是什么？”“結論是什么？”“還有哪些條件可以用？”“研究了這些問題后你(我)還能想到什么問題？”“你(我)有沒有更好的解題方式？”[11]，等等.教師的發問與學生的回答可增加課堂上師生、生生的互動交流，長此以往，學生在教師的示范和引導之下，能夠學會用怎樣解題提示語解數學題，并將其逐步內化，最終發展成為自己的解題提示語[12-13].

巧用啟發性提示語，就是用問題驅動課堂教學.在組織學生“說數學”時，教師既要向學生要結果，也要學生說過程；生生之間相互詢問，相互之間交換解題思路；同時學生應反問自己，逐步養成獨立思考的能力，正所謂想得明白才說得清楚，想得明白才寫得清楚.總之，將啟發性提示語這個課堂教學工具運用到整個高考數學備考過程中，為學生養成良好的數學表達提供了有力幫助.

5.2 重視學生數學寫作活動的組織、實施與評價

涂榮豹教授指出：“我國的數學教育從來都是把具體數學知識的學習放在第一位，殊不知學過數學的大部分人都會把那些具體的數學內容遺忘掉，唯有在數學學習過程中留在心靈深處的數學精神和數學思維方法刻骨銘心、永不磨滅.”[14]在學習過程中，數學思想方法一開始可能只給學生留下淺淺的痕跡，學生借助數學寫作將數學的精神、思維方法，經過組織思考、謀篇布局，反映在文字，在頭腦中經過思考加工，加深學生對數學思想方法的理解[9].教學中，教師應重視在高考備考中的數學寫作活動的組織與實施，培養學生的書面表達能力.可從如下幾個方面開展：

(1)教師指導、鼓勵學生撰寫“學習日記”“學習反思”“小論文”等，學生可通過這些方式表達自己對數學問題的解決思路、“異見”、情感態度和價值觀等，簡要講述自己感興趣的見聞，敢于發表意見.當學生在完成一道(類)典型的例題或階段性學習結束后，教師應緊扣“一題多解”和“一題多變”主題，有步驟、有計劃地安排學生進行數學寫作.數學寫作可以定期上交，學生在寫作的過程中，以手寫協助記憶，鞏固所學知識，加深學生學習數學的體驗，逐步培養學生的書面表達能力.

(2)教師評閱數學寫作，激勵評價學生習作，調動學生的積極性.學生習作的好壞，需要教師來評價與指導，教師認真閱讀學生習作，從問題分析是否深入、信息提取是否全面、推演步驟是否正確、條理是否清晰、書寫格式是否規范等方面，仔細尋找學生的“閃光點”，采用批注的形式，給予充分的“表揚與鼓勵”，采用“評語+評分/評級”形式呈現，促進學生反思.已有研究曾用“寫作有進步，繼續下去你還會更好；思路清晰，如果能把推演過程的必要文字寫出來會更好了”[15]等批注，讓學生能感受到老師的關心，也愿意接受老師指導，長此以往，學生自我反思，表達能力欠缺的學生逐漸改正不良習慣，優秀的學生也得以表揚，教師通過評閱數學寫作的方式激勵學生繼續學習數學，有助于高考數學備考質量的提升.

5.3 引導學生注重數學表達,積累數學表達經驗

學生數學表達能力的養成，是需要經歷從數學知識、技能到能力的轉化，既要理解數學問題，也要懂得表達規則，是一個從簡單到綜合的過程.教師運用啟發性提示語幫助學生理解數學問題，但這并不等于學生掌握了數學問題的表達交流技能.課堂教學中，教師應重視基本數學語言的教學，本著“先模仿后成型”的教學原則，注重學生數學表達能力的培養，可從如下幾個方面開展：

(1)做好口頭表達與書面表達的整體示范，引導與個別指導相結合.教師在課堂教學中，應做到準確表達數學語言，與教科書保持一致，語言表達流暢，文字板書規范，如作圖規范、解答規范，引導學生規范表達.同時，指導學生嚴格按照表達規則表達，做到步步有理、規范準確、條理清晰.學生在課堂上表達有誤，教師應及時糾正，并給予正確的表達示范；教師在平時批改作業或閱卷中，不僅要關注學生解答結果正誤，而且要更多的關注表達過程中的文字、符號、圖像語言的規范和完整.對于書面表達不完整學生，采用個別談話或在作業上批注等方式，幫助學生規范表達.

(2)組織好“說數學”活動，在討論中提升學生的口頭表達能力.課堂上，教師講解前留給學生更多獨立思考的時間，組織學生“說數學”，如題目的解題思路、題目考查的知識點、解題關鍵、一題多解、一題多變等.學生通過交流能表述困惑和分享數學觀點，陳述自己對數學問題的理解.教師有意識地將表達方法滲透到教學中，引導學生合作學習、展示交流、討論辯論，利于學生的口頭表達能力提升.

(3)用好現代教育技術，提高表達能力.教師在教學時，充分利用投影、幾何畫板等教輔工具，恰當適時地幫助學生攻克表達難點、反思易錯點等.課堂上，教師利用多媒體給學生展示交流，可展示學生的數學寫作、學習心得、試題解答等.課堂中每個人都是學生，都能從別人的表達中獲得啟示，但每個人也是“評委”，可以對展示的作品進行評價，在信息的多方交匯中，不同層次的學生獲得不同的收獲，逐步實現提高學生表達能力的目的.

基于上述分析，學生在教師的示范、自己嘗試表達、“評委”點評后再優化表達的基礎上，同時學習優秀習作，在觀摩中得到進步，在后續交流表達訓練中，學生再進行綜合訓練，積累數學表達經驗，逐步實現運用數學語言表達數學問題.

6 結語

筆者構建了數學表達能力教學模式，探究并驗證了該模式是高考數學有效備考的方式之一.本研究發現，基于數學表達能力培養的高考數學備考，能促進學生數學學習成績的提高，增強學生的數學學習興趣和學習的主動性，提高備考質量.本研究雖取得一定成果，但選取的樣本形式較單一，樣本容量較小，研究時間較短，在今后的教學實踐中，需要擴大樣本容量，對備考策略可行性、有效性作進一步檢驗以及更深入的探討.