多孔結構體材料熱整流效應*

邵春瑞 李海洋 王軍 夏國棟

(北京工業大學,強化傳熱與過程節能教育部重點實驗室暨傳熱與能源利用北京市重點實驗室,北京 100124)

基于傅里葉導熱定律,兩種具有不同熱導率溫度依賴特性的材料組合而成的兩段式組合材料可以實現熱整流效應.本文提出在體材料上均勻布置多孔結構,通過多孔結構孔隙率調整材料的熱導率參數,進而強化熱整流效應.基于有限元方法和有效介質理論,計算并分析了溫差和孔隙率等參數對體材料熱整流系數的影響.計算結果表明,溫差較大時,孔隙率對對體材料熱整流系數的影響較為明顯.在熱導率隨溫度升高而增大的材料中布置多孔結構,一般會降低系統的熱整流系數;若在熱導率隨溫度升高而減小的材料中布置多孔結構,則存在一個最佳的孔隙率,相對于無多孔結構的系統,其熱整流系數可以提高2—3 倍.本文研究結果為體材料熱整流系數的調控提供了新的思路.

1 引言

熱整流是一種熱流量大小依賴于溫度梯度方向的熱量傳遞現象(或者系統在一個方向上的傳熱能力明顯強于相反方向的傳熱能力)[1,2].熱整流效應為控制熱量傳遞提供了新的思路,可應用于節能、熱防護及能源管理[3,4]等方面.此外,熱整流的可能應用還包括廢熱回收[5]、熱二極管、熱三極管和熱邏輯門[6,7],以及通過使用熱橋式整流器利用地球表面溫度的周期振蕩驅動熱機實現清潔能源的收集[8].2021 年中國兩會上,“碳達峰”、“碳中和”首次被寫入政府工作報告,倍受關注.為應對氣候變化,綠色低碳發展被列為中國重點任務之一.Henry 等[9]提出在外界高溫時使建筑墻體隔熱,而在外界低溫時使墻體導熱可使建筑節能7 % —42 %,從而有效地實現低碳發展和降低溫室氣體的排放,其核心內容就是建筑材料在不同方向上的可變傳熱特性.

早期,關于熱整流現象的研究主要集中于宏觀體材料[10-12],相應的熱整流原理包括界面處的熱勢壘[11]、界面處的表面熱應變[12]等.近十幾年來,關于納米系統中熱整流效應的研究逐漸得到廣泛的關注[13-17],其主要的熱整流機理為聲子輸運的不對稱性[3,18].但是,考慮到熱整流現象的實際應用,仍然有必要開展關于宏觀體材料中熱整流現象的研究.基于傅里葉導熱定律,Hoff[19]提出一種利用體材料熱導率隨溫度變化的不同來實現熱整流的機制:一種材料的熱導率隨溫度升高而降低,另一種材料的熱導率則隨溫度升高而增加,將兩種材料組合為兩段式系統,在熱流方向相反時會產生不同的等效熱阻,從而實現熱整流.基于此原理,學者們深入地研究了體材料中基于熱導率溫度依賴特性的熱整流效應[20-27].研究表明,體材料實現熱整流的必要條件是材料熱導率為溫度或空間函數[21],其熱整流效應隨著熱導率溫度依賴參數的差異增大而明顯增強(正反方向熱流密度的最大比值約為10)[8].兩段式材料之間的界面熱阻也是影響其熱整流效應的重要因素.有研究表明,界面熱阻具有一定的溫度依賴性,基于界面熱阻的不對稱性也可實現熱整流效應[28,29].即使對于恒定的界面熱阻,通過調整界面熱阻的大小也可實現熱整流系數的最優化[23,24].此外,文獻中也報道了其他的體材料熱整流模型[30-33],諸如相變式熱整流器[30]、利用材料的熱膨脹率不同設計的基于形變的熱整流器[31]、輻射式熱整流器[32-33]以及基于行波式時空調制的非互易性熱輸[34]等.

雖然已有大量關于體材料熱整流效應的研究,但其熱整流系數相對較低,因此開展關于體材料熱整流效應的研究,實現強化或者調控熱整流效應,仍然十分必要.采用多孔結構調控材料屬性是常用且有效的方法,已有大量文獻研究了多孔介質的有效電導率和孔隙率的關系[35-39].基于有效介質理論(effective medium approximation,EMA)可以計算得到周期填充復合材料的非線性電導率[39].近期,有效介質理論被推廣到周期填充復合材料的熱導率計算,實現了材料熱導率的調控[40].對材料熱導率的調控是在體材料熱整流系統中強化熱整流效應的關鍵,因此本文采用多孔結構調節體材料的熱導率,基于有效介質理論計算熱整流系數與孔隙率之間的變化關系,驗證了此方法的可行性,并實現了體材料系統熱整流效應的強化.

2 體材料熱整流效應

在研究兩段式體材料熱整流時,已有諸多熱導率模型被采用,例如κ(T)=κ0[1+μ(T-Tref)][22]以及更簡單的κ(T)=AT+B[27]模型,其中μ,A和B為待定參數.文獻[8]中,Dames 總結了部分常見材料的熱導率隨溫度的變化趨勢,并提出了冪指數模型.此外,文獻[41]總結了69 種金屬及270 余組合金的熱導率,其熱導率在一定范圍內均與溫度呈現冪指數變化.因此本文將采用更具有普遍意義的冪指數模型,即

式中,Tref為參考溫度,α為熱導率溫度依賴參數(冪指數),通?！?.5 ＜α ＜+5.4[8],κ0為材料的熱導率參數.

考慮兩種不同材料 1和2 連接而成的兩段式組合材料,如圖1所示.材料1和2 的熱導率溫度依賴參數分別為α1和α2,其組合簡記為(α1,α2).材料1 的熱導率隨溫度的升高而升高(α1＞ 0),材料2 的熱導率隨溫度的升高而降低(α2＜ 0),當系統左側與高溫熱源TH接觸,右側與低溫熱源TL接觸時,系統中兩段材料的熱導率均較大,此時系統整體導熱性能較好;交換熱源溫度后,系統左側與低溫熱源接觸,右側與高溫熱源接觸時,系統中兩段材料的熱導率均較小,此時系統整體導熱性能較差.通常采用熱整流系數γ表征熱整流效應的強弱,

式中,|j+| ＞ |j-|,j+表示正向模式下的熱流量,j-表示反向模式下的熱流量.當γ=0 時,系統中不存在熱整流效應,γ越大表示熱整流效應越強.采用無量綱溫差|Δ|表示高低熱源的差異,其中TH=T0(1+Δ/2),TL=T0(1-Δ/2),T0=Tref.

建立如圖1所示的計算模型,兩段材料的尺寸均為長150 mm,寬100 mm.為方便計算,取參考溫度Tref=200 K,冪指數組合取(α1,α2)=(+3,—3),熱導率參數取單位熱導率,即κ01=κ02=1 W·m—1·K—1.基于有限元方法(finite element method,FEM)可以計算得到通過系統的熱流量和熱整流系數.圖2給出了在不同溫差下,上述熱整流器在正反模式下的熱流和熱整流系數.可以看出,正溫差下的熱流明顯大于反向溫差的下的熱流,且該差異性隨著溫差的增加而增大,熱整流系數不斷上升(如圖2中插圖所示).圖3顯示了正反模式下熱整流器內部的溫度分布及局域熱導率分布,其中|Δ|=1.5.可以看出,正向模式下左側材料的局域熱導率遠小于右側材料,但相較于反向模式,兩段材料的熱導率均較大,因此可以出現明顯的熱整流現象.此外,正向模式中,由于左段材料的熱阻相對較大(熱導率較小)而右段材料的熱阻相對較小(熱導率較大),左段材料內的溫度分布在靠近界面處出現急劇下降,局域熱導率明顯降低,導熱能力下降,不利于實現較高的熱整流系數.

圖1 兩段式復合體材料熱整流系統示意圖Fig.1.Schematic diagram of the two-segment thermal rectifier.

圖2 (α1,α2)=(+3,—3)時,正反熱流量及熱整流系數隨無量綱溫差的變化趨勢Fig.2.For the case of (α1,α2)=(+3,—3),the heat flux and thermal rectification ratio versus the dimensionless temperature difference.

圖3 |Δ|=1.5 時,正反模式下熱整流器內部的溫度分布和局域熱導率分布Fig.3.For the case of |Δ|=1.5,temperature and local thermal conductivity distribution under forward and reverse cases.

3 多孔結構熱整流效應

在材料內部按照周期排列打孔可以形成多孔結構,通過改變打孔的尺寸可以實現材料熱導率的調控[40],從而有可能調節系統的熱整流效應.材料1和材料2 的熱導率溫度依賴參數組合取為(α1,α2)=(3,—3),分別在材料1(如圖4(a)所示)或者材料2 上均勻布置15×10 個半徑r=a的多孔結構,孔隙率為f.在無量綱溫差為|Δ|=1.5 時,圖4(b)給出了熱整流系數和正反方向熱流量隨材料1 或材料2 孔隙率的變化趨勢.圖中,虛線左側表示在材料1 上加工多孔結構,虛線右側表示在材料2 上加工多孔結構.

圖4 (a) 材料1 中的多孔結構;(b) 熱整流系數(左)及正反熱流(右)隨材料1 或材料2 孔隙率f 的變化趨勢Fig.4.(a) Schematic diagram of the porous structure of the thermal rectifier (drill on segment 1);(b) thermal rectification ratio (left) and heat flux (right) versus porosity.

在材料1 上加工多孔結構時,等效于降低了左段材料的熱導率.如圖3所示,正向導熱時左段材料為主要熱阻,因而多孔結構使得正向傳熱衰減較為明顯;而反向導熱時左右段材料的熱阻分布較為均勻(見圖3),材料1 中的多孔結構使得熱流量降低,系統整體的熱整流系數隨孔隙率的增大而逐漸減小.當在材料2 上加工多孔結構時,等效于降低了材料2 的熱導率.正向導熱時右段材料的熱阻較小,因而較低的孔隙率(孔隙率小于0.5)對系統的正向導熱性能影響不大,正向熱流量幾乎不變,而反向熱流量逐漸減小;當孔隙率超過0.5 時,導致材料2 的熱阻明顯降低,并逐漸成為系統的主要熱阻,正向熱流量隨著孔隙率增大而明顯下降,因此系統的熱整流系數明顯下降.由此可見,通過在材料2 上加工多孔結構可以調節系統的熱整流效應.對于上述選定的參數而言,在材料2 上加工孔隙率為0.5 的多孔結構時可使熱整流現象得到最優化,其最大熱整流系數比未打孔時提高了2 倍多.

圖5給出了材料2 孔隙率分別為f2=0(無多孔結構)和f2=0.5 時,正反模式下兩段材料的局域熱阻分布.正向模式下,無多孔結構時材料1 靠近界面處的熱阻非常大(見圖5(a)),這是由于界面處的溫度較低(見圖3);隨著孔隙率逐漸增大,多孔結構降低了材料2 的導熱能力,材料2 的熱阻增大,但其熱阻對系統整體熱阻的貢獻仍然較小,在f＜ 0.5 時,系統的正向熱流量幾乎不變(見圖3).反向模式下,如圖5(b)所示,材料1和2 的熱阻相差不多,多孔結構不僅降低了材料2 的導熱能力,系統整體的熱阻也明顯上升.因此,正反向導熱能力差異明顯,熱整流系數提高.在f=0.5時,材料2 的熱阻與材料1 相當,如圖5(b)所示.因此,在f＞ 0.5 時,正向熱流量明顯降低,系統的熱整流系數明顯降低.

圖5 兩段式體材料熱整流器內的熱阻分布 (a) 正向模式;(b) 反向模式Fig.5.Local thermal resistance distribution in two-segment thermal rectifier:(a) Forward case;(b) reverse case.

圖6顯示了不同溫差下熱整流系數隨孔隙率的變化趨勢,其中(α1,α2)=(3,—3).可以看出,當無量綱溫差較小時(|Δ|=0.5),熱整流系數隨孔隙率幾乎不變,但隨著溫差的增大,最大熱整流系數所對應的孔隙率也逐漸增大,當溫差較大時(|Δ|=1.7),熱整流系隨材料2 孔隙率的增加而不斷增加,且當f2=0.7 時,與無孔結構相比熱整流系數提升至原來的約3.5 倍.這是因為更大的溫差使正反模式下的熱導率存在更大的差異性,因此熱整流系數增加,且在正向模式下兩段材料在熱阻上存在更大的差異,因此對應的最佳孔隙率也逐漸增大.圖7顯示了改變熱導率溫度依賴參數組合時熱整流系數隨孔隙率的變化趨勢,系統無量綱溫差取|Δ|=1.5.圖7(a)中改變了正負冪指數的大小,圖7(b)則在保持冪指數之差的絕對值不變的情況下,改變了冪指數組合.可以看出,材料1和2 的冪指數絕對值相等時,孔隙率對熱整流系數的影響隨冪指數的增加而增大,但最佳熱整流系數均出現在曲線右側(即在熱導率隨溫度升高而降低的材料2 上加工多孔結構).當正負冪指數差值的絕對值一定時,正冪指數較大則多孔結構對熱整流系數影響較小,僅在材料1 孔隙率較小時有利于提升熱整流系數;但多孔結構對熱整流系數的影響會隨負冪指數的增加而增加;當負冪指數較大時,調整孔隙率可大幅提升熱整流系數,且在約f2=0.6 時,整流系數提升至原來的2 倍以上.這是因為當材料冪指數的絕對值相同時,正反溫差下,負冪指數材料的熱導率變化更明顯(例如α=+3 時,κ(Δ=1.5)=5.36 W·m—1·K—1,κ(Δ=—1.5)=0.02 W·m—1·K—1,而當α=—3 時,κ(Δ=1.5)=0.19 W·m—1·K—1,κ(Δ=—1.5)=64 W·m—1·K—1),因此負冪指數越大則越有利于增加正反溫差下熱流的不對稱性,實現更高的熱整流系數,同時對應的最佳空隙率也隨之增加.

圖6 (α1,α2)=(+3,—3)時,(a) 不同溫差下熱整流系數隨孔隙率的變化趨勢,(b) 不同溫差下無孔熱整流系數和有孔最佳熱整流系數及對應孔隙率Fig.6.For the case of (α1,α2)=(+3,—3),(a) thermal rectification ratio versus porosity under different dimensionless temperature differences,(b) thermal rectification ratio without porous structure and the optimal thermal rectification ratio under different dimensionless temperature differences.

圖7 |Δ|=1.5 時,(a) 改變冪指數大小和(b) 改變冪指數組合時,熱整流系數隨孔隙率的變化趨勢Fig.7.For the case of |Δ|=1.5,thermal rectification ratio versus porosity under (a) different magnitude of the power exponent and (b) different combination of power exponent.

此外,對于上述含有多孔結構的熱整流系統,孔隙內的熱輻射也是影響其內部傳熱的重要因素[33].由玻爾茲曼四次方定律可知,其熱輻射強度與材料的發射率成正比,圖8給出了不同孔隙率下,發射率分別為ε=0 (不考慮熱輻射)和ε=1 時,熱輻射對系統熱整流系數的影響.當在材料1 上布置多孔結構時,輻射效應會略微提升熱整流系數,而在材料2 上布置多孔結構時,輻射效應則小幅降低了熱整流系數.當在材料1 上布置多孔結構時,正向模式下多孔結構距離高溫熱源較近而反向模式下距離低溫熱源較近,因此,正向模式中熱輻射效應對熱流的影響大于反向模式,從而增強了正反熱流的不對稱性;另一方面,孔隙中的熱輻射效應等效于增強了材料1 的導熱能力,而正向模式下材料1的導熱能力弱于材料2,因此熱整流系數僅得到了較微弱的提升.當在材料2 上布置多孔結構時,反向模式下的多孔結構離高溫熱源較近,因此熱輻射對反向熱流的提升大于正向模式,熱整流系數出現一定程度的降低.

圖8 |Δ|=1.5 時,不同孔隙率下,熱輻射對熱整流系數的影響Fig.8.For the case of |Δ|=1.5,thermal rectification ratio versus porosity under ε=0 and ε=1.

為進一步驗證上述采用多孔結構提高系統熱整流系數的方法,本文選取鋅和鈹鎂合金組合而成的兩段式組合材料進行計算.材料1 采用鈹鎂合金(元素質量含量為:鈹,98%;鎂,2%),材料2 采用充分退火的金屬鋅(純度大于99.999%).在10—100 K 范圍內,二者的熱導率可分別近似表示為[41]:

圖9給出了無量綱溫差|Δ|=1.5 時,熱整流系數和正反熱流隨孔隙率的變化趨勢.可以看出,此系統中熱整流系數的變化趨勢與圖4基本一致.計算結果表明,在金屬鋅(材料2)中打孔可以使系統的熱整流系數得到提升.由于金屬鋅的冪指數絕對值大于鈹鎂合金的冪指數絕對值,因此最佳孔隙率右移(約為f2=0.5).其最大熱整流系數相對于未打孔的情況提高了65%.

圖9 熱整流系數(左)及正反熱流(右)隨鈹鎂合金或金屬鋅孔隙率f 的變化趨勢Fig.9.Thermal rectification ratio (left) and heat flux(right) versus porosity in a Be &Mg alloy-Zn two-segment system.

4 有效介質理論及多孔結構熱整流效應

4.1 多孔模型及有效介質理論

本文參考Rayleigh 法對多孔介質有效熱導率進行求解[39].圖10中,模型尺寸與熱整流系統中的一段材料相同,即長為150 mm,寬為100 mm,介質熱導率為κh,上面均勻分布10× 15 個半徑r=a的多孔結構,孔隙率為f.左側為高溫熱源,右側為低溫熱源,溫度梯度為G0,介質內存在由左向右的熱流,(5)式為該模型中的導熱控制方程:

圖10 多孔介質模型示意圖(均勻分布10× 15 個圓形孔)Fig.10.Schematic diagram of porous media (10× 15 circular holes are uniformly distributed).

式中,?為拉普拉斯算子,Q為該介質中的內熱源,T為介質內溫度.當無內熱源時,(5)式在極坐標系下的通解為[40]

由于介質中的多孔結構可以視為周期性分布,因此首先隨機挑選其中一個孔洞結構,并將極坐標系原點(用來描述單個孔周圍的溫度)和直角坐標系(用來描述每個孔洞單元的位置)原點置于該孔圓心處,設溫度梯度方向沿x軸方向,通解中B0和v0為0,多孔介質的溫度分布

參考電磁場中的疊加原理(任一支路的電勢可以看成電路中每一個單獨電源獨立工作于電路時,在該支路產生的電勢的代數和),針對(7)式的溫度場,同樣可以由疊加原理得到多孔介質內的溫度,

既然(7)式和(8)式均表示多孔介質內的溫度分布情況,因此這兩個等式必然相等.兩式中的第三項相同,因此兩式前兩項之和也必然相等,于是可得到

多孔介質中的孔壁可近似為絕熱邊界條件

式中Ω表示孔洞的邊界.參考文獻[39,40]的方法,將(9)式左右兩側對x求導,并結合(10)式可得:

結合(12)式和(13)式,可得圖10所示多孔介質有效熱導率為

保持介質熱導率的參考溫度Tref=200 K,介質熱導率參數κ0=1 W·m—1·K—1,無量綱溫差|Δ|=1.5.圖11(a)給出了多孔介質熱導率參數隨孔隙率的變化.可以看出,多孔介質的熱導率參數隨孔隙率的增加而逐漸降低,這是因為多孔結構增加了額外的熱阻,孔隙率越大則熱阻越大.由圓形與方形的面積比為π/4=0.785 可知,圖10所示圓形多孔介質的最大孔隙率為0.785 (孔洞結構互相相切).圖11(b)給出了不同材料熱導率冪指數下,(14)式計算結果與有限元模擬所得熱流與孔隙率的變化關系,可以看出,二者吻合很好.當孔隙率較低時(f＜ 0.7),EMA 法獲得的多孔介質熱導率幾乎與有限元模擬解幾乎完全吻合,當孔隙率較高時(f=0.7),EMA 法熱導率與有限元模擬稍有偏差.越接近最大孔隙率,誤差越大.因此,本文中,孔隙率計算范圍取0 ＜f＜ 0.75.

圖11 (a) 多孔介質有效熱導率隨孔隙率的變化關系;(b) |Δ|=1.5 時,EMA 與FEM 計算所得熱流與孔隙率的變化關系Fig.11.(a) The relationship between the effective thermal conductivity of the porous medium and the porosity;(b) the comparison of the heat flux calculated by EMA and FEM for the case of |Δ|=1.5.

4.2 多孔結構熱整流模型

在材料上加工多孔結構并不能改變材料熱導率隨溫度變化的特性,而是等效于降低了材料的熱導率參數κ0,此時兩段材料的熱導率參數可表示為孔隙率的函數κ1(f1)和κ2(f2),基于傅里葉定律,正反模式下的熱流可分別表示為:

由(15)式和(16)式可分別獲得正反傳熱模式下界面處的溫度和熱流量,進而計算出系統的熱整流系數,其結果如圖12所示.可以看出有效介質理論的計算結果與有限元方法的結果基本完全一致.

圖12 |Δ|=1.5 時,EMA 與FEM 計算所得熱整流系數隨材料1 或材料2 孔隙率的變化趨勢Fig.12.Comparison of the thermal rectification ratio calculated by EMA and FEM for the case of |Δ|=1.5.

如前所述,在材料1 或者2 中加工多孔結構等效于降低了材料的熱導率參數κ0.為方便對比分析,考慮材料的熱導率參數變化對熱整流系數的影響.設材料1 與材料2 均未布置多孔結構,二者的熱導率參數比值為κ01/κ02=β.圖13給出了熱導率溫度依賴參數取(α1,α2)=(3,—3)和溫差|Δ|=1.5 時,熱整流系數γ隨熱導率參數比值β的變化趨勢.

當β＜ 1 時,材料1 的熱導率相對較小,類似于圖4中虛線左側的情況(在材料1 上加工多孔結構),降低β值等效于增大材料1 的孔隙率,熱整流系數逐漸降低.當β＞ 1 時,材料2 的熱導率相對較小,類似于圖4中虛線右側的情況(在材料2 上加工多孔結構),增大β值等效于增大材料2 的孔隙率,熱整流效率逐漸增大并達到一個極大值,然后逐漸降低.可以看出,圖13和圖4的變化趨勢完全類似,驗證了利用多孔結構調節系統熱整流效應的可行性.

圖13 熱整流系數隨熱導率參數比值的變化趨勢Fig.13.Thermal rectification ratio versus thermal conductivity parameter ratio.

根據上述分析,兩種材料的熱導率參數比值對體材料熱整流現象有很大的影響,合適的β值能夠明顯提升系統的熱整流系數.但是,通常自然界中很難找到一組熱導率參數比值處于最佳狀態的體材料,大大限制了體材料熱整流系數的提升.因此,本文提出在體材料上均勻布置多孔結構,通過多孔結構調整材料的熱導率參數,最終達到熱整流系數的最優化.

5 結論

在熱導率溫度依賴特性不同的兩種材料組合而成的兩段式材料中,可以實現熱整流效應.本文提出通過布置多孔結構來提高系統熱整流系數的方法.分別利用有限元法和有效介質理論計算了系統的熱整流系數,二者結果基本一致.計算表明,溫差較小時,孔隙率對熱整流系數的影響較小;當溫差較大時,布置多孔結構可以實現熱整流效應的調控.在熱導率隨溫度升高而增大的材料中布置多孔結構,會降低系統的熱整流系數;在熱導率隨溫度升高而減小的材料中布置多孔結構,可以實現熱整流效應的強化;孔隙率較小時正向熱流量基本保持不變,反向模式熱流量減小,熱整流系數增大;孔隙率較大時正反向熱流量都減小,熱整流系數降低.因而存在一個最佳的孔隙率,相對于無多孔結構的系統,熱整流系數可以提高2—3 倍.