識本 悟聯 達趣
——從“三角形的面積計算”看數學眼光的分層培養

□孫惠惠

數學學科的知識雖源于真實生活，但它的研究對象卻更多地聚焦于真實世界里并不存在的抽象數量關系和空間形式。培養學生從紛繁復雜的現象中看到數學本質的能力，就是在培養學生數學的眼光。本文以“三角形的面積計算”為例，介紹培養數學眼光的三個階段。

一、歸類識本，不畏直觀與表征

很多看似不同的數學問題，其本質是一樣的。培養學生數學眼光的第一階段，就是引導學生透過現象看到數學的本質。面積的學習是學生建立空間觀念、理解空間形式的重要載體。引導學生在形的直觀觀察與面的抽象計算中，恰當使用歸類對比與聚焦關系等方法，看到“表面上看不到”的數學相關內容，學生的數學眼光就能得以萌芽與生長。

（一）歸類對比，助識根本

將相似圖形進行歸類對比，是幫助學生在完成常規計算的基礎上，進一步提升數學眼光的好方法。

如圖1這一組圖，將一個邊長為10厘米的大正方形和一個邊長為4厘米的小正方形組合在一起，連接其中不同的三個點形成了不同的三角形。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

圖1-4

圖1-5

圖1-6

對于部分學生而言，要求這6幅圖中每個陰影部分所示的三角形的面積，就是要解決6個不同的問題。在常規計算的情況下，學生會分別找到三角形中相應的底和高，運用面積公式求得每個三角形的面積。但若把培養學生的數學眼光作為教學目標，就可以組織學生在求得面積以后，進一步將算式進行歸類對比。

（1）比較：圖1-1可以用10×10÷2解決；圖1-2可以用4×4÷2解決；圖1-3到圖1-6都可以用10×4÷2來解決。

（2）思考：為什么形狀不同的三角形可以用同一個算式來計算？

（3）體會：雖然從生活直觀的角度觀察，圖1-3到圖1-6這四個三角形的形狀不同，底不是同一條線段，高也不是，但剝離問題表象后就會發現，由這四個三角形所構建的平行四邊形面積（10×4）是相同的，因此三角形的面積=平行四邊形面積÷2也相同。

學生透過“看到”的三角形，想到不能“直接看到”的平行四邊形，理解了看似不同的三角形之間的變化與關聯，數學眼光得到了錘煉。

（二）聚焦關系，初成策略

圖形問題的建構中，基于不同能力培養的需求，形成的問題表征也會不同，如圖2這一組圖，粗略觀察會覺得它們和上文中的圖1那一組圖相差不多。但實際上，兩組題的難度有質的不同。

圖2-2

圖2-3

圖2-4

圖2-5

圖2-6

如圖2-1和圖2-2，陰影部分都是由兩個三角形組合而成，求陰影部分的面積可以先分別算出兩個三角形的面積再相加，也可以用兩底之和作為新三角形的底，用“三角形的面積=兩底之和×高”解決問題。同樣的，圖2-3至圖2-6中，三角形的底或高也不能直接觀察得到，需要借助兩底之差或者是兩高之差來獲得，分別可以用“三角形的面積=兩底之差×高”或“三角形的面積=底×兩高之差”解決問題。

雖然從數學表征的角度觀察，圖1和圖2兩組圖形式相差不大，但就解決問題的思考路徑而言卻各有不同。前者是三角形面積公式的直接應用，只需要關注對應的底和高即可；后者則是三角形面積公式的間接運用。數學眼光培養的重點在于讓學生不僅能清楚地分析三角形的底和高，更要明白三角形的底和高與大、小正方形兩邊之長間的關系，理解“底”“高”數值的增減變化，是改變面積大小最重要的因素，體會由這兩個因素變化引起的“面”的大小變化。

二、轉化悟聯，辨析異同與關聯

異中求同、同中求異是數學教學中培養學生數學思維的常用方法之一，在培養學生的數學眼光中，也具有同樣重要的教學價值。培養學生數學眼光的第二階段，就是引導學生通過解決挑戰性問題，學會恰當使用異形轉化與等量重構等方法，看到圖形與圖形之間隱含的絲絲縷縷的聯系。

（一）異形轉化，化難為易

轉化是解決圖形問題中經常用到的思想方法，能夠看到圖形之間隱含的聯系，是進行合理轉化、解決問題的基礎。

如圖3-1所示，依然是將一個邊長為10厘米的大正方形和一個邊長為4厘米的小正方形組合在一起，連接其中的三個點形成一個三角形，求陰影部分面積的問題。觀察三角形BCF可以發現，因為陰影部分的三角形三條邊長度未知，對應的三條高的長度也未知，所以陰影部分的面積無法直接計算。

圖3-1

圖3-2

圖3-3

面對這樣的問題，很顯然無法通過套用常規的公式直接解決問題，此時就需要用數學的眼光去發現圖形中的結構與關聯。

可以如圖3-2所示，采用分割的方法。在增加CE輔助線之后，△BCF的面積可以拆分成3個小三角形的面積之和，即S△BCF=S△BCE+S△CEF+S△BEF。這樣，通過形的分割，在原三角形的內部重新構造了3個小三角形。這3個新構成的小三角形的底邊和高都很容易獲得，所以問題得以解決。

也可以如圖3-3所示，采用先將圖形補充為完整的大長方形，然后通過計算大長方形的面積減去周邊空白三角形面積的方法，來計算陰影部分三角形的面積。這樣，通過轉移問題解決的對象，把原來求陰影部分三角形面積的問題，間接轉換成求空白部分三角形面積的問題。因為空白部分三角形的底和高是容易獲得的，所以問題解決的難度降低了。

由此可見，無論是“割”的方法還是“補”的方法，鍛煉的都是學生在干擾信息中獲取關鍵信息的數學眼光，都能提升學生轉換視角觀察和思考問題的能力。

（二）等量重構，化繁為簡

圖3-2、圖3-3的方法中，雖然可以通過轉換問題對象、增加輔助線的方法來解決問題，但在實際問題的解決過程中，陰影部分圖形的結構和形狀始終是不變的。那是否還有其他的方法能解決這一問題呢？還可以通過“等量代換”的方式，用“量”的眼光來解決“形”的問題。

圖3-4

如圖3-4所示，連接DF，BC、DF分別為大正方形和小正方形的對角線，因此，BC∥DF。在一組對邊平行的條件下，BCDF構成了梯形。因為△BCD和△BCF可以看作是以BC為底，同底等高的兩個三角形，所以它們的面積相等。通過這樣的等量代換，求△BCF的面積轉化為了求與它等量的△BCD的面積問題?；凇暗攘俊边M行的結構重建，使得原本復雜的問題變得異乎尋常的簡潔易解。

數學是一門研究抽象數量關系和空間形式的科學。數學眼光的價值就在于能深刻而靈活地看待問題，在遇到復雜的關系和空間形態時，能靈活運用“形的轉化”和“量的重構”等方法化難為易、化繁為簡，從而降低問題難度，有效提高問題解決的靈活性和正確性。

三、想象達趣，品悟動態與臨界

如圖4-1和圖4-2，如果小正方形EFGD沿著BD邊向上移動，那么連接三點所構成的三角形的面積會如何變化呢？

圖4-1

圖4-2

這是一個非常規的數學問題，看似平平無奇，但關鍵的難點在于圖4-2中小正方形的移動位置是不確定的，可以是線段BD上的任意一個位置。因此三角形的底和高不是固定的，而是變化的。常規的公式運用、圖形分解、拼組能解決確定量的計算問題，卻不能解決變化量的問題。該怎么辦呢？這就需要運用動態的數學眼光，借助臨界點的思維方式去解決。

圖形的變化遵循內在結構變化的規律。小正方形移動過程中，陰影部分三角形的形狀和面積都在持續變化，但有規律可循。

圖4-3

圖4-4

圖4-5

教師動態展示從圖4-3到圖4-5的過程，即將小正方形從下底邊與大正方形底邊齊平，逐步移動至小正方形上頂邊與大正方形頂邊齊平，并將陰影部分分為3個小三角形。學生通過觀察可知，圖形中的①②兩個三角形，在運動的過程中底和高始終不變，因此面積不變；而三角形③的面積逐漸縮小，直至為0。根據運動變化趨勢和面積大小的變化規律可推斷，小正方形EFGD從圖4-3移動至圖4-5的過程中，連接三點所構成的三角形的面積在逐步減小。通過這種在運動變化中選取合適的臨界點圖形幫助分析問題的方法，可以推測動態變化中圖形面積的增減趨勢。在臨界與趨勢的思考辨析中，學生的數學眼光得以再一次發展。他們不僅能解決問題，更能深刻地感受到數學好玩、有趣、百變的獨特魅力，沉浸其中并且被深深吸引。

數學眼光的形成與培養需要一個漫長的過程，需要逐步積累，分層習得。一般情況下，不同結構的問題指向不同的學習目標，簡潔直觀的問題結構指向公式的基礎應用，稍復雜的問題結構指向思考的方法與策略，而復雜且非常規的問題結構指向問題解決的思想方法。數學問題結構不同就會呈現出不同的難度和目標指向，每跨越一個難度的臨界點，所需要使用的知識、解決問題的方法都會隨之產生變化。通過分類對比、聚焦關系、異形轉化、等量重構和臨界點創建等數學眼光培養方法的應用，學生的數學眼光將一次一次得到質的提升。雖然這個過程緩慢而艱辛，但這種付出能在以后學習其他空間圖形知識時獲得巨大的回報。