市域快速軌道交通快慢車運行組織下越行站設置方法及模型研究

高國飛，張星臣，陳修全，鄭 漢,2

(1.北京交通大學 交通運輸學院， 北京 100044；2.北京城建設計發展集團股份有限公司 城市軌道交通綠色與安全建造國家工程實驗室， 北京 100037)

隨著城市化進程的加快，城市從中心向外逐步擴張，衛星城及新城不斷發展，居民的出行范圍日益擴大，進而引發了出行時間較長的問題。為滿足居民在城市中心區與郊區之間便捷出行，減少居民出行時間并帶動市郊城市化發展，近年來各大城市開始規劃建設市域快速軌道交通?？炻嚱M合運營方案是市域快速軌道交通常用的運營組織模式，相比傳統的站站停方案，在提高旅行速度、加快車底周轉、提高乘客出行效率等方面具有較大優勢。慢車主要滿足沿線各站點乘客的出行需求，快車主要滿足長距離乘客的出行需求。減少快車停站可有效縮短旅行時間，但為吸引更多客流還需設置必要數量的?？空?。越行站選擇規則是一系列離散的判斷準則，當同時考慮通過能力、發車間隔以及快慢車開行數量時，如何設置越行站成為難點。合理的越行站數量及位置，對于壓縮行車間隔、提高運輸效率、合理配置資源、充分發揮城市軌道交通大運量運輸的優勢具有重要意義。

國外對于快慢車組合運營的研究起步較早，主要分析快慢車組合運營優缺點，以及結合各類客流特點設計不同的快慢車停站方案及列車時刻表。Lee等[1]研究了快慢車運營的優缺點，利用遺傳算法建立快慢車停站模型。Jamili等[2]研究了不同客運需求情況下快慢車的運營模式，以旅客最小出行時間為目標，考慮客流波動，提出一種新的魯棒數學模型和模擬退火算法求解快慢車停站方案。Nomura等[3]提出考慮快慢車最小發車間隔時間的列車時刻表優化方法。Mignone等[4]在保證線路上各站列車到發時刻基本不變的前提下，優化分時段開行快慢車的跨站停站方案，以滿足沿線各站在時間上分布不均衡的旅客乘降量。國內對快慢車運營組織的研究方法主要有運行圖鋪畫法、理論計算法和模型優化法3種。運行圖鋪畫法直觀精確，但效率較低，宋鍵等[5]、劉麗波等[6]等利用該方法確定了越行站的合理位置；理論計算法根據起終點的距離及時間目標要求，計算旅行速度，再根據車型和站間距的相互關系確定站間距，并根據線路條件確定越行站的位置，具有方便快捷的特性，在現場廣泛應用。張國寶等[7]研究了3種行車組織方案及其適用的客流特征，提出了一種判定列車是否越行及越行站設置數量和位置方法。湯玨等[8]認為快慢車發車間隔、開行密度為市域線采用快慢車運輸組織方式時越行站的確定的主要影響因素，并提出快慢車開行比例1∶1且快車均勻發車的情況下越行點的設置公式，其他開行比例的情況下，在此基礎上進行調整。譚小土[9]、祝曉波[10]使用該方法提出了越行的判定條件以及越行站數量和位置的確定框架。第3種方法是考慮車輛運用、運輸成本、總體時間效益等因素，建立模型進行站點的優化和選擇，如張鵬等[11]以乘客總節約時間最大為目標函數，以運營成本和客流量為約束條件建立模型并求解。張香明等[12]建立越行站的工程造價、乘客的總出行時間和企業運營成本構成的總成本最小的目標函數，研究市域快速軌道交通越行站設置的數量及位置，以確定快慢車運輸組織方案，得出越行站設置方案。唐祿林等[13]以地鐵快慢車運輸組織模式下乘客總出行時間和企業運營成本最小為目標函數建立模型獲得停站方案。

既有研究還存在一些不足之處。通過鋪畫運行圖確定越行站位置的方法在方案設計階段由于部分因素未完全確定，參數的簡單變動也將導致重新鋪圖，工作量大，在方案設計階段一般不采用；而模型優化的方法操作復雜，求解難度大，不適合設計階段大量方案的快速比選。因此對理論計算法進行補充和發展較符合設計實際需求。本文以市域快速軌道交通單向線路為對象，研究客流需求分布和快車停站方案基本確定情況下的越行站設置算法，以列車最小間隔時間、快慢車開行數量、快車越行節約時間、列車在各站的停站時間以及通過能力等因素對快慢車越行站位置的影響為輸入，明確給出越行站設置的判定規則。綜合考慮預設的快車停站方案，設計確定越行站數量及各越行站位置的啟發式算法。研究成果可為設計階段越行站的布置提供理論依據和方法。

1 快慢車越行站設置規則

快車越行慢車時，會造成慢車在越行站的等待，降低乘客的出行體驗，而且設置較多的越行站會提高建造成本，所以越行站布局設置的目標是在滿足客流需求的條件下，盡可能地減少越行站數量，增大越行站間距。又由于快慢車在越行站受到車站間隔時間的約束，二者必須在車站保證一定的到達和發車間隔時間。下面在通過能力、列車到達和出發間隔時間等條件的約束下，分析越行站設置的具體規則和方法。

1.1 越行的判斷規則

一般情況下，在線路上開行的快車和慢車是同一種車型，快車比慢車節省的時間主要是慢車的制動時間、停站時間和啟動時間，而與區間長度無關，因此快車和慢車在第j個區間運行的時間差Δtj可以認為是相同的[14]，tj為列車在區間j的運行時間。

快慢車越行時間關系見圖1。如圖1所示，列車在車站A和B之間運行，如前行列車為站站停慢車，后行列車為快車，tl為站站停慢車在該區間的運行時間，該運行時間由區間純走行時間和停站時間組成，即

圖1 快慢車越行時間關系

(1)

(2)

式中：ai為0-1變量，若快車在第i個車站不停車為0，否則為1。

判定后行列車是否會越行前行列車，應判斷慢車和快車在車站的到達間隔是否能滿足列車在車站的最小間隔時間。ξm為快車和慢車在車站m的到達間隔時間，ht為列車在車站的最小間隔時間，包括最小到通間隔時間、最小發通間隔時間、最小到達間隔時間、最小發車間隔時間等。當ξm≥ht時，后行列車在A—B站間不發生越行；當ξm-1≥ht且ξm

(3)

式中：Ile為慢車與快車的發車間隔時間。

1.2 越行站位置確定方法

假定快慢車開行數量比為q:p(q,p均為整數)，當快車開行數大于慢車時(q>p)，會出現快車連續鋪畫的情況，這種情況實際很少存在。本文僅研究快車開行數小于等于慢車(q≤p)且快車不連發的情況。這種情況下，有快車在中間站不停站和快車在中間站停車兩種組織方式。

1.2.1 快車在中間不停站

慢車與慢車的發車間隔為Ill，快車與慢車的發車間隔為Iel，最晚出發的快車和最晚出發的慢車發車間隔時間為Ile，見圖2。當快車少于慢車時，快慢車交替鋪畫方案見圖3。

圖2 越行站位置與快慢車越行的關系

圖3 快車少于慢車時快慢車交替鋪畫(q∶p=2∶3)

假定快車在第n1車站越行慢車，則慢車與快車的最小發車間隔Ile為

(4)

(5)

根據推算，這種情況下的線路通過能力為[15]

Na=3 600(q+p)/Ta

1≤q≤pn1>2n2≥2

(6)

式中：Na為快車在中間站不停站運輸組織下，單位時間內通過的列車數量；Ta為快車在中間站不停站運輸組織下，1個快慢車組合的運行周期時間；hda為前車出發，后車到達的最小發到間隔時間。

要確定越行站的位置，就是在已知發車間隔時間Ile和線路通過能力N的前提下計算n1和n2的值，則需按照式(4)～式(6)進行計算。應從前行方向第2個越行站位置開始，可將前一越行站位置記為n1，然后對照式(5)和式(6)來計算后一越行站的位置，直到后續沒有符合條件的車站為止。

(7)

同理由式(5)和式(6)可得n2為

(8)

式中：?·」表示向下取整。

1.2.2 快車在中間停站

圖4 快車不同停站方式運行周期對比

a2·(hdd+Δt1-hda)-an1-1·

(hat+Δtn1-1-hda)n1>2

(9)

式中：hdd為在同一車站，前車出發，后車出發的最小發車間隔時間。

圖5 越行組織方式下快車不同停站方式周期對比

(10)

an1+1·(Δtn1+htd-hda)-an2-1·(Δtn2-1+hat-hda)

n1,n2>2

(11)

式中：Nb為快車在中間站停站運輸組織下，單位時間內通過的列車數量。

2 基于選擇規則的越行站設置模型及啟發式算法

2.1 越行站設置模型

以列車最小間隔時間、快慢車在各區間的時間差等運行圖參數，根據客流情況確定的快慢車開行數量、列車在各站的停站時間等客流因素為輸入條件，研究越行站設置模型和算法。模型以設置最少的越行站數量(即最大越行站間隔)為目標，目標函數為

(12)

式中：nx為決策變量，表示第x個越行站的位置，nx-nx-1表示相鄰越行站的間隔x∈[2,θ],nx≠0。

由于計算前無法確定越行站具體數量，模型中引入越行站的上限θ，則模型的解為向量Nx={nx},x∈[1,θ]。

模型的基本約束為

(hdd+Δt1-hda)-an1-1·(hat+Δtn1-1-hda)≤Ile

(13)

anx+1·(Δtnx+htd-hda)-anx+1·

(14)

2≤nx≤m-1

(15)

1≤x≤θ

(16)

上述約束中，快車?？空镜拇_定應以客流預測為基礎，綜合考慮車站周邊規劃，車站功能及級別、各時段總客流乘降量、換乘量等因素，將組團中心站點、換乘站、特殊功能站點、重要客流集散點確定為快車?？空?。同時可根據發揮特定速度效率需要的站間距以及越行站個數進行適當增減。

2.2 啟發式算法設計

由于初始越行站位置、與快車停站的位置關系和越行站數量均難以確定，且相互關聯的變量多，因此適合采取啟發式方法求解?；舅悸肥菑牡?個車站開始(n1=2)，沿線路方向對車站進行搜索，逐步累加nx的取值，若nx的設定能滿足模型中的通過能力及發車間隔等約束，則繼續向前搜索；若nx的取值無法滿足約束，則設定新的越行站，使快慢車可以在此交匯，并更新x→x+1。該過程一直迭代，直到搜索至終點站m或設置的越行站數量達到上限θ。

對于快車在中間站不停站組織方式，可以直接通過式(4)～式(6)得到越行站設置方案。

具體算法如下：

Step2初始化。車站計數從第1個車站開始，即i=1；區間計數從第1個區間開始，即j=1；以nx代表列車的越行站位置，令x=1，根據2.2小節中的越行規則尋找n1的位置；記初始累加總計為hat+Δt1，即sum=hat+Δt1。

Step3確定第1越行站初始解。當累計總加sum小于等于期望發車間隔Ile時，即sum≤Ile:

Step3.1車站計數加1，即i=i+1；區間計數加1，即j=j+1。

Step4在考慮快車是否停站的情況下，驗證第1越行站是否需要更新。

Step4.1將結果記為第1越行站初始解，n1=i。

Step5重新確定第1越行站。當累計總加sum小于等于期望發車間隔Ile時，即sum≤Ile:

Step5.1車站計數加1，即i=i+1；區間計數加1，即j=j+1。

Step6將第1越行站的位置更新，n1=i。若與Step4確定的位置相同，則n1為第1越行站的最終解；否則，回到Step4重新對于第1越行站位置進行修正。

Step7確定后續越行站，當越行站設置數量仍在預設范圍內時，即nx≤m，x≤θ:

Step7.2.1車站計數加1，即i=i+1；區間計數加1，即j=j+1。

Step7.4重新回到Step7.2，重新計算得到i值，若與上次相同，則在第i站設置越行站，nx+1=i；若兩次不同，則重復Step7.3、Step7.4，直至兩次i值相同，記nx+1=i。

Step7.5x=x+1。

Step8輸出結果。越行站序列Nx={nx},nx∈[2,m-1]

設計的算法經Python語言實現，以通用計算工作站為平臺，在解決不同線路(包含10至20座車站)的越行站設置問題時平均計算時間在2 s左右，符合設計業務的計算效率要求。

3 案例分析

3.1 案例設計與求解

可知，若該線快車不越行，慢車與快車的發車間隔應大于12.5 min。該發車間隔會讓乘客等待時間太長，同時不滿足市域快速軌道交通的服務水平要求，因此，該線需要組織快慢車運輸組織。

根據線路實際客流情況、各站OD量及斷面量情況，取快慢車開行數量比為1∶4，N=24對/h，根據斷面客流情況，取慢車和快車的發車間隔時間Ile=180 s。

3.1.1 計算第1越行站位置

根據算法Step1—Step6，將N=24對/h、Ile=180 s、p∶q=1∶4時，代入式(9)計算可得n1=3，由于a2=0，始發站與第1越行站n1之間無快車停站，所以無需對n1進行修正，第1越行站設置在車站3。

3.1.2 計算第2越行站位置

根據算法Step7，將N=24對/h、Ile=180 s、p∶q=1∶4、n1=3和ai=0代入式(10)、式(11)，計算可得n2=7，由于a6=1，第1越行站與第2越行站之間存在快車停站，所以進行系數修正。將a6=1、a4=a5=0重新代入式(10)、式(11)，第2次計算結果n2=8，第1次與第2次計算結果不同，所以繼續修正系數。將a6=1、a4=a5=a7=0重新代入式(10)、式(11)，第3次計算結果n2=8，第2次與第3次計算結果相同，所以將車站8設置為第2越行站。

3.1.3 計算其他越行站位置

從第2個越行站位置開始，都可將前一越行站位置記為n1，然后對照式(10)、式(11)來計算后一越行站的位置，直到后續沒有符合條件的車站為止。計算可得：當N=24對/h、Ile=180 s、p∶q=1∶4時，需在車站3、8、13依次設置越行站。

3.2 快車不停站與停站情況下越行站設置方案對比

對于3.1節中的案例，取快慢車開行數量比為1∶4，N=24對/h，慢車和快車的發車間隔時間Ile=390 s。分別考慮快車不停站與快車停站(僅停站6和站11)兩種情況，計算越行站設置方案，快車在中間站不停站時，需在車站7、11、15依次設置越行站；快車在中間站停站時，需在車站8、13依次設置越行站。由此可見，當有快車在中間站停站時，始發站與第1越行站，以及后續相鄰越行站之間的間隔均會增大。這是由于在有快車在中間站停站的情況下，通過式(9)與式(11)計算得到的發車間隔Ile與周期T相較于不停站情況均更小，所以當單位小時列車開行數量一定時，可以允許更大的越行站設置間隔。

3.3 越行站設置靈敏度分析

為研究提出算法與不同參數的關聯特性，進行靈敏度分析。由于實際運營中快慢車開行數量差別不宜過大，本文選取快慢車開行數量比分別為1∶5、1∶4、1∶3、1∶2、2∶4、2∶3、3∶4、1∶1，慢車和快車的發車間隔時間Ile變化范圍為2～8 min，線路通過能力N∈{22,24,26}對/h為例對越行站位置進行計算和分析。通過依次變化快慢車開行數量比、慢車和快車的發車間隔時間Ile以及線路通過能力N，計算得到不同情況下越行站設置位置，總結歸納不同因素對于越行站設置的影響規律。

3.3.1 固定慢車與快車發車間隔時間Ile和線路通過能力N

將慢車與快車發車間隔時間Ile和線路通過能力N固定，分析快慢車開行數量比對于越行站設置數量以及位置選擇的影響，計算結果見圖6。

圖6 固定Ile和N情況下的越行站設置方案

當慢車發車數量一定，快車發車數量逐漸增加時，可以看出第1越行站n1的設置位置并沒有隨快車數量的增加而變化；之后的越行站位置隨著快車數量的增加布置越來越緊湊，不過快車數量增加到一定程度時，對越行站位置的影響也越來越小。此外，隨著快車數量逐漸增大，相同區間內需設置的越行站數量也越來越多。當快車的發車數量一定，慢車發車數量逐漸增多時，可以看出第1越行站n1的設置并沒有隨慢車數量的增加而變化；之后的越行站隨著慢車數量的增加，相鄰越行站之間的間隔也越來越大。此外，隨著慢車數量逐漸增大，相同區間內需設置的越行站數量也越來越少。

綜上，在慢車與快車發車間隔時間Ile和線路通過能力N一定的情況下，快慢車數量的變化不會對第1越行站n1位置的設置產生影響，但越行站的數量和緊密程度會隨著快慢車數量的變化而變化，快車數量的增加和慢車數量的減少都會使越行站設置數量越來越多，相鄰越行站之間的間隔越來越小。相反，快車數量的減少和慢車數量的增加會使越行站設置數量越來越少，相鄰越行站之間的間隔越來越大。

3.3.2 固定快慢車開行數量比和線路通過能力N

將快慢車開行數量比和線路通過能力N固定，分析快慢車發車間隔時間對于越行站設置數量以及位置選擇的影響，計算結果見圖7。

由圖7可知，隨著慢車與快車發車間隔時間Ile的逐漸增大，第1越行站n1的設置位置距離始發站越來越遠，后續越行站的位置也隨著第1越行站n1的位置而向后推移。此外，相鄰越行站的間隔沒有隨著慢車與快車發車間隔時間Ile的變化而變化，所以隨著慢車與快車發車間隔時間Ile的逐漸增大，在同一區間內越行站的數量也越來越少。

圖7 固定快慢車開行數量比和N情況下的越行站設置方案

3.3.3 固定慢車與快車發車間隔時間Ile和快慢車開行數量比

將慢車與快車發車間隔時間Ile和快慢車開行數量比固定，分析線路通過能力N對于越行站設置數量以及位置選擇的影響，計算結果整理見圖8。

圖8 固定Ile和快慢車開行數量比情況下的越行站設置方案

隨著線路通過能力N的逐漸增大，可以看出第1越行站n1的位置始終保持不變，后續越行站之間的間隔越來越小，布置越來越緊湊，因此越行站的數量也隨著線路通過能力N的增大而增加。

3.3.4 相鄰越行站間隔的靈敏度分析

在慢車與快車發車間隔時間Ile和線路通過能力N一定的情況下，研究快慢車數量對相鄰越行站之間的間距產生的影響，計算結果見圖9。

圖9 固定Ile和N情況下的相鄰越行站間隔設置

顯然，隨著快車數量的增加以及慢車數量的減少，相鄰越行站之間的間隔也會逐漸變小。并且，當快車數量較少時，快慢車數量的變化對于越行站間距的影響比較明顯，隨著快車數量的增加，這種影響變得越來越小。

在慢車與快車發車間隔時間Ile和快慢車開行數量比一定的情況下，研究線路通過能力N對相鄰越行站間距產生的影響，計算結果見圖10。顯然，線路通過能力N越大，相鄰越行站間隔越小，因此，必須縮短越行站間距來滿足較高通過能力的要求。

圖10 固定Ile和快慢車發車情況下的相鄰越行站間隔設置

3.4 越行站設置定量公式研究

越行站設置的主要控制性指標包括越行站數y、第1越行站n1以及越行站間隔Δn。設三者均與能力N、發車間隔I、快慢車開行數量比π有關，即y(N,I,π)、n1(N,I,π)、Δn(N,I,π)。根據快車停站方案及以上參數確定越行站后，配線增加后不能更改，為盡可能檢驗和適應不同的開行方案，所以對三者的具體公式進行擬合，得出經驗公式，以防止后面由于客流條件變化，開行方案變化后，越行站不適應的情況。所使用的數據為靈敏度分析結果見表2。

表2 越行站靈敏度分析結果

假設越行站控制性指標的設置規律的基本形式分別服從二次多項式方程，有a0+a1N+a2I+a3π+a4N·I+a5I·π+a6N·π+a7N2+a8I2+a9π2。使用最小二乘法對y(N,I,π)、n1(N,I,π)、Δn(N,I,π)分別進行擬合，有

y(N,I,π)=10.55-1.38·N+0.042 8·N2+

0.022 5·I-0.001·N·I-5.65×10-6·I2+

6.73·π+0.099 4·N·π-0.005 78·I·π-

4.404·π2

(12)

n1(N,I,π)=-0.736+0.051 4·N-0.001 055·N2+

0.013 5·I+2.31×10-5·N·I+

1.67×10-5·I2+0.293·π-0.010 1·N·π+

1.67×10-4·I·π-0.064 7·π2

(13)

Δn(N,I,π)=36.99-1.577·N+0.014 6·N2-

0.002 9·I+1.28×10-4·N·I-

1.452×10-6·I2-28.62·π+0.638·N·π+

0.001 06·I·π+8.30·π2

(14)

使用R2檢驗所提出的越行站設置規律方程的擬合程度見表3。

表3 越行站設置規律方程的擬合程度

根據所提出的規律方程，越行站數的擬合程度較好(R2>0.85)第1越行站和越行站間隔的擬合程度較優(R2>0.90)。說明所建立的規律方程可用于越行站設置的檢驗和校對。

4 結論

本文分析總結了市域快速軌道交通組織快慢車運行的基本規則，針對快慢車是否發生越行及越行站設置位置分別建立了數學計算公式，并設計了基于規則的越行站位置設計算法。通過調整不同參數，發現越行站的設置規律，可總結為：

(1)第1越行站n1的設置與快慢車開行數量比無關，也與區間通過能力無關；n1隨著慢車與快車發車間隔時間Ile增加呈單調遞增趨勢。

(2)隨著快車比例的上升，相鄰兩越行站間隔逐漸減小，并且在快車比例較小時變化較為明顯，變化曲線類似于二次函數。因此，出現圖中同一Ile情況下，n1值相同，而隨著快車比例增加，越行站的布置越來越緊密的趨勢。

(3)隨著線路通過能力N的增大，相鄰兩個越行站之間的間隔越來越小，越行站位置還會受到快、慢車在各站停站時間的影響。因此，在規劃越行站之前需要明確快慢車發車比例、列車停站方案以及最小停站時間的大小。

最后，使用多項式擬合方法總結越行站數y、第1越行站n1以及越行站間隔Δn的計算公式，為組織快慢車越行提供了較為全面的理論計算依據。結果表明本文提出的方法適用于實際軌道交通線路越行站位置計算，可以為線路設計及運營組織提供有效的理論支撐。