基于范希爾思維水平理論的高中數學主題式教學研究*
——以“三棱錐”為例

廣東省廣州市清華附中灣區學校(510000) 彭紅亮

1 問題的提出

某一主題下的一系列知識按照邏輯關系和思維層次形成一種層次網絡結構體系.學習數學時,學生經常感到困難.根據范希爾思維水平理論可知,學生的思維水平存在由低到高的五個層次,分別視覺(水平1)、分析(水平2)、非形式化的演繹(水平3)、形式化的演繹(水平4)和嚴密性(水平5)等.通常高中生只能達到水平4.學生在思維水平較高的層級上順利發展,意味著他已經理解和掌握低一級思維水平上的多數相關內容.如果學生的思維水平低于所學知識需要的思維水平,他們就會感到困難.可見,教師要用學生所處的思維層次的語言符號進行教學,便于學生理解和表達.同時,理清一個主題下知識之間的脈絡,根據學生的初始思維水平設置教學起點,然后通過一系列由易到難的教學任務,推動學生從一個水平進步到更高的水平,進而形成結構化認知體系.

2 基于范希爾理論的高中數學主題式教學

思維水平的提升不是一蹴而就,往往要在主題相關的一系列課中循序漸進地達成.也就是說,通過每節課的學習,學生掌握相關的知識,為后續的學習奠定基礎.學生在某個思維水平上積累的知識越豐富,在更高思維水平上的任務就越容易完成,所形成的知識結構更有序更系統.下面就以系列教學片段“三棱錐”為例進行說明.

2.1 教學框架

人教A 版《數學2》(必修) 第八章“立體幾何初步”中,“基本立體圖形”“立體圖形的直觀圖”“簡單幾何體的表面積與體積”“空間點、直線、平面之間的位置關系”“空間直線、平面的平行”和“空間直線、平面的垂直”等六小節中都有以三棱錐為載體的教學內容,可以分解出5 個跨課時的系列教學片段,分別是:三棱錐的結構、三棱錐的直觀圖、三棱錐的表面積和體積、三棱錐與球體的切接問題、三棱錐中的平行與垂直關系.這些教學片段的具體教學內容、《課標(2017年版)》的內容要求及需要達到的幾何思維水平的關系構成了“三棱錐”系列教學片段教學框架(見圖1).

圖1 “三棱錐”系列教學片段教學框架

下面以教學片斷1 和教學片斷5 為例,說明如何將學生的立體幾何思維從水平1 提升到水平4.

教學片斷1 掌握空間幾何體的結構

三棱錐是最基本的空間圖形之一,是學習其他空間幾何體的基礎.把三棱錐作為代表性幾何體,設計以下幾個問題鏈,幫助學生將立體幾何思維從水平1 逐層提升到水平3.

(1)達到水平1

直觀想象能力的水平1 是指學生能根據實物辨認出空間圖形,也能根據空間圖形想象出實物形狀.課前制作框架型模型,課堂上讓學生觀察實物和自己制作的模型,并不斷改變它的位置讓學生觀察圖形的形狀; 制作幾何畫板課件,拖動各頂點的位置,觀察三棱錐的不同形狀(見圖2).一般先出示學生比較熟悉的形狀,如圖2 中的圖①、圖②,然后再將圖形變換成比較容易混淆的形狀,提高對空間幾何體的直觀感知能力.

圖2 不同形狀的三棱錐

語言交流能力的水平1 是指知道空間圖形及其構圖要素的名稱及符號表示;使用三種語言表述幾何對象的位置關系;了解空間圖形的不同表示形式.

應用問題鏈Ⅰ幫助學生培養直觀想象能力和語言交流能力.

問題鏈Ⅰ:

問題1:圖2 中的三棱錐有什么共同的特點? 你認為怎樣的圖形是三棱錐?

問題2:不要求準確作圖,不要求寫做法,根據自己的模型所擺出的情況模仿畫出三棱錐.(強調能看見的輪廓畫實線,不能看見的輪廓畫出虛線.)

問題3:根據你的觀察和你在作圖過程中的體驗,請分析三棱錐有幾個面? 這些面分別是什么圖形?

問題4:請舉出生活中的三棱錐實例.

通過這樣的教學,引導學生從整體到局部,再從局部到整體進行觀察;讓學生初步嘗試畫出三棱錐;再讓學生在生活中找出三棱錐,讓學生的直觀想象能力和語言交流能力能夠順利達到水平1.

(2)從水平1 提升到水平2

直觀想象能力的水平2 是指能描述探究簡單幾何體的結構特征,也能根據結構特征判斷圖形的形狀,形成描述性定義.反過來,也能簡單地描述該幾何體的外部特點.

可設計問題鏈Ⅱ達成教學目標.

問題鏈Ⅱ:

問題1:觀察自己制作的三棱錐模型,請問三棱錐有幾個面、幾條棱、幾個頂點? 這幾個面和這幾條棱都有什么特點?

問題2:請根據觀察出的結論定義三棱錐.

問題3:請描述圖3 中3 個三棱錐的的結構特征.

圖3 部分特殊的三棱錐

問題4:請說出三棱錐、正四面體,正三棱錐之間的區別與聯系.

上述問題鏈,首先讓學生研究一般的三棱錐的結構特點,并嘗試著給出三棱錐的定義.課堂上有學生認為“四個面都是三角形的圖形”,教師可讓大家討論.有同學舉出反例,見圖4.然后可引導學生再次觀察模型,得出三棱錐的描述性定義是“一個面是三角形,其余三個面是有公共頂點的三角形,它們所圍成的多面體叫做三棱錐”.最后從一般到特殊,讓學生掌握一些特殊的三棱錐,如圖3 中的正四面體、正三棱錐等,總結三棱錐、正四面體和正三棱錐之間的區別與聯系(見圖5).通過對圖形的深入分析,將直觀想象能力從水平1 提高到水平2.

圖4 四個三角形構成的圖形

圖5 三棱錐、正四面體、正三棱錐的關系

(3)從水平2 提升到水平3

圖形應用能力的水平3 是指能建立幾何體與它的展開圖之間的轉化關系(包括展開和翻折);能建立立體圖形與截面的對應關系;能建立旋轉體與經過旋轉后形成這些幾何體的平面圖形之間的轉化關系等.設計問題鏈Ⅲ,幫助學生逐步達到水平3.

問題鏈Ⅲ:

問題1:請用一張A4 白紙,通過適當的剪裁翻折做成一個封閉的三棱錐,并思考怎樣的平面圖形能折成三棱錐?

問題2:給出一個三棱錐,請你描述它的展開圖.

問題3:請觀察三棱錐和它的展開圖,觀察哪些量(包括邊與角)改變,哪些沒有變? 哪些位置關系改變,哪些沒有?

問題4:觀察框架型的三棱錐模型,如果用一個平面去截三棱錐,所得到的截面的形狀是什么?

在問題鏈Ⅲ中,先做三棱錐模型,再反過來想象三棱錐的展開圖,分析三棱錐和它的展開圖之間的數量關系和位置關系,讓學生體驗從平面圖形到空間圖形再到平面圖形的轉變過程.在這個轉變過程中,感知三棱錐的棱、角以及位置關系的變化.在此基礎上,還要研究三棱錐和其截面之間的關系.學生通過觀察操作,發現截面形狀是三角形或四邊形.這些探究都在引導學生初步理解升維和降維的關系.經過這樣的教學后,學生的立體幾何思維水平從水平2 提升到水平3.

教學片斷5 掌握空間幾何體中的平行與垂直關系

空間幾何體是由生活中三維圖形抽象出來的.研究其中的線線、線面、面面之間的平行與垂直關系有助于我們理解現實中的三維空間,解決一些實際問題.這部分的學習以教學片段1 為基礎,需要學生推理計算能力逐步達到水平4,即能夠判斷并證明空間中的位置關系.空間中的平行與垂直證明以平面幾何為基礎,而多數學生在平面上的推理計算水平在水平2 以上.教師可以先拋出生活情境,結合問題鏈ⅠV,幫助學生從水平2 或水平3 上升到水平4.

生活情境:小木匠有一塊如圖6 所示的木料,平面ADC內有一個點P,他要過點P將木塊鋸開,使截面平行于直線AB和CD,在木塊表面應該怎么劃線?

圖6

顯然,這個問題的本質是畫出與三棱錐的對棱平行的截面.教學片段1 的問題鏈Ⅲ中,第4 個問題就是研究三棱錐的截面形狀.但由于知識儲備不足,學生還不能分析截面的特征以及與其他的線、面之間的位置關系.學過平行和垂直的判斷定理和性質定理之后,學生可以進一步研究截面問題.解決本題時,只需過點P作CD的平行線,分別交AC、AD于點M、N,再分別過點M、N作AB的平行線,交BC、BD于點F、E,最后連接EF,則線段EF、FM、MN、NE就是小木匠在木塊表面上的劃線(見圖7).可見,運用線面平行的判定定理就能解決問題.相應的,學生的推理計算能力提升到水平4.教師可以再設計一個問題鏈進行拓展,引導學生在推理計算能力水平4 的層次上對三棱錐的截面進行多角度研究.

圖7

問題鏈ⅠV

問題1:小木匠畫出來的截面EFMN是什么樣的四邊形? 為什么?

問題2:小木匠畫出來的截面EFMN可以是矩形或等腰梯形嗎? 若AB=CD,截面可以是菱形嗎? 為什么?

問題3:若AB=AC,DB=DC,小木匠過棱AD能夠畫出一個與BC垂直的截面嗎? 為什么? 此時,棱AD和棱BC有怎樣的位置關系呢?

問題4:如圖8,在三棱錐A-BCD中,截面ADG⊥平面BCD,AB=AC,BG=GC,能判定DG⊥BC,以及BD=CD嗎? 為什么?

圖8

問題1 中,由平行線分線段成比例定理可得線段MN平行且等于線段EF,從而得到這個截面是平行四邊形,且對任意三棱錐都成立.問題2 引導學生探究特殊三棱錐的截面形狀.當AB⊥CD時,結合MN//CD,MF//AB可證明MN⊥MF,從而判斷截得矩形.由問題1 可知,截面不可能是等腰梯形,有助于糾正學生的錯覺.當AB=CD且點M、點N分別是棱AC、棱AD的中點時,MN=從而推出截面是菱形.通過幾個系列問題,將這類與對棱平行的截面形狀進行了深入探究,并形成圖形模式(見圖7).問題3 中AB=AC,DB=DC,此時在BC上取中點G,連接AG、DG,由平面幾何知識易證AG⊥BC,DG⊥BC,從而BC⊥面ADG.面ADG也就是所求的截面.繼續分析可得AD⊥BC(見圖8).形如圖3 中的特殊三棱錐都有這樣的特點.在問題3 的基礎上逆向設計問題4,此時,截面ADG與平面BCD垂直,棱BC的中點為點G,反過來研究DG與BC是否垂直,棱DB與棱CD是否相等.兩個問題的聯結點就是BC⊥面ADG.解決思路:先過點A作AH⊥DE,垂足為點H.由面面垂直易得AH⊥面BCD,從而有AH⊥BC,又由AB=AC,BG=GC可得AG⊥BC,從而BC⊥面ADG,得DG⊥BC,最后推出BD=CD(見圖9).

圖9

這個問題鏈研究了圖3 中,對棱互相垂直的三棱錐、對棱相等的三棱錐、兩個相鄰面為同底等腰三角形的三棱錐等特殊三棱錐的截面特征,提供了在三棱錐中證明平行、垂直的方法和圖式,幫助學生在水平4 的層次上解決與三棱錐相關的平行與垂直問題.

3 教學反思

教師要整體把握高中數學教學體系.高中數學知識是由幾個跨年級、跨課時的主題構成的體系,每個主題內部的每節課之間有機關聯、由淺入深、符合該年齡段學生的心理特征和認知水平.教師要以核心概念、基本原理和基本圖形等為依托,講透數學觀念,幫助學生從低思維水平到高思維水平進階學習,理解知識間的聯系,形成結構化認知體系,進而融會貫通,培養高中數學核心素養.

教師還要理解學生,能夠站在學生的思維水平角度確定教學目標、選定教學內容、設計問題鏈.范希爾思維水平理論引導教師精準定位學生已有的思維水平,分析教學內容所需的思維水平,在此基礎上研究消除兩者之間差距的教學方法,進而讓學生能夠適應從低到高的思維跨度,在完善認知體系的同時實現思維水平層次的提升以及核心素養的發展.