“解惑”與“存疑”:聚焦核心素養的設計*
——以蘇科版七年級第五章“展開與折疊”為例

江蘇省無錫市僑誼實驗中學(214021) 成宏喬

江蘇省無錫市西漳中學(214171) 鐘 鳴

“師者,所以傳道授業解惑也”,教師的職能定位自古以來就是傳播真理、教授學業、解答疑惑.傳道受業解惑的主陣地在課堂,課堂教學既要面向全體學生及時解決學生疑惑,也要關注個別差異延遲解決學生疑惑.不論是及時“解惑”還是延遲“存疑”,都要聚焦發展學生的核心素養設計教學活動,促進學生主動思考,養成自主學習的意識,提升學生的綜合能力,讓立德樹人的根本任務通過課堂教學落底生根.筆者以蘇教版七年級上冊“展開與折疊”一課的教學為例進行闡述.

1 聚焦核心素養的案例背景分析

本章內容是學生進入初中后第一次學習幾何知識,是“圖形與幾何”的基礎部分.圍繞認識基本幾何體以及點線面和簡單平面圖形,在圖形運動變化、展開與折疊等數學活動中,經歷觀察、操作、想象、思考等學習幾何的“一般套路”,從實物操作到空間想象,從直觀到抽象,發展空間觀念.

展開與折疊和視圖都是空間圖形向平面圖形轉化的基本方式,這節課學生通過展開與折疊的操作,“先想一想、再做一做”或“先做一做、再想一想”,然后過渡到“做中想、想中做”,感受平面圖形與立體圖形的關系.

展開與折疊背后的思維活動是想象,而初一學生的思維特點還是以具體形象思維為主,想象出立體圖形和平面圖形的幾何元素在展開與折疊的變化過程中方位和相互之間的位置關系,進而綜合成相應的轉化結果,這個過程對于初一學生而言存在較大困難,學生會有諸多疑問.

這就需要教師聚焦本節課數學核心素養——空間觀念的培養,通過設計“動手做”及“用心想”的環節,為學生學習搭建活動平臺,幫助學生將抽象的內容、困難的想象轉化為具體可見、動手可操作的直觀,正確恰當地處理學生的疑問,幫助深刻理解平面圖形折疊和立體圖形展開之間的互逆與對應關系,積累基本數學活動經驗.

2 教學環節中的解惑與存疑

活動1:操作與思考

(1)如果將下列幾何體剪開鋪平,會是什么樣子? 先想一想,再動手做一做.

(2)觀察操作的結果,你有什么收獲?

(注:立體圖形分別是圓柱、圓錐、三棱錐、正方體和球,事先做好發給每個學生)

設計說明:從實際物體中抽象出抽象出幾何圖形、根據幾何圖形想象出實際物體、想象物體方位和位置關系、描述圖形運動變化、根據語言描述畫出幾何圖形,這五個方面是“空間觀念”的具體內涵.活動1 讓學生先“想一想”剪開鋪平的結果,再“剪一剪”這五種立體圖形,最后“說一說”操作結果,使學生完整經歷了觀察、想象、操作、思考的學習過程,感受立體圖形與平面圖形的關系,空間觀念獲得發展.

“學源于思、思源于疑”,(2)是一個開放性問題,學生把幾何體按不同的方式展開可能會得到不同的展開圖,這是引導學生進行質疑的事實基礎;對該問題的發散式追問“還有呢? ”和適當的等待,能夠增強學生用于想象的心理能量,激活學生操作與思考中產生的疑問,進而認識到有些幾何體不能展開成平面圖形,促進對展開圖性質的深入思考.

活動2:如圖1,下列圖形是哪些幾何體的表面展開圖?

圖1

(1)先想一想,再動手操作驗證;

(2)結合上面的過程思考:觀察平面圖形各個面的形狀和數量,解釋你給出的答案.

說明:通過抽象與想象進行實際物體與幾何圖形的相互轉化是空間觀念的基本內涵,通過抽象與想象進行立體圖形(實際物體的直觀形象)與平面圖形的相互轉化是這一基本內涵的具體化.展開與折疊就是這一轉化的具體操作,這個操作及其伴隨的抽象、想象、判斷進行得越細致,學生的空間觀念發展得就越充分.

學生在活動1 學習的基礎上,已經知道立體圖形可以展開為平面圖形;反之,平面圖形通過折疊可以得到立體圖形.學生在該活動中,先根據展開與折疊的互逆關系進行想象,然后可以通過動手折疊驗證.然后在此基礎上,教師引導學生根據平面圖形中各個面的形狀特征和數量進行邏輯判斷.學生在從直觀到抽象、從操作到邏輯判斷的過程中加深了對幾何體的認識,強化了平面圖形和立體圖形的對應關系.

在這樣的遞進過程中,學生會有一些疑問的產生,此時教師要延遲解答、適當存疑,啟發學生群體的內部力量,讓他們在相互補充之中,自己解答疑問,促進學生思維的深度參與.

活動3:如圖2,你知道正方體相對的面在展開圖中怎么找嗎?

圖2

(1)請你說出展開圖中各個面在正方體中的相對面;

(2)這兩種不同的展開圖,剪開了幾條棱? 你能給予合理的解釋嗎?

說明:相對于活動2,活動3 聚焦到特殊的幾何體——正方體中,在正方體的各種不同的展開圖中訓練空間想象能力,了解幾何體展開方式及展開圖的不唯一性.(1)可以通過空間想象及排除法予以解答,輔以動手操作進行驗證;(2)引導學生深入思考剪開的棱與總棱數的內在聯系,學生需要通過觀察和推理進行解釋,促進了學生思維的深度參與.學生的空間觀念和推理能力兩大核心素養相互促進,想象中有推理,推理中有形象,都獲得了鍛煉.

對于問題(2),學生是有疑問的,剪開幾條棱從何處切入進行思考呢? 這是需要教師進行及時指引解惑的.教師可以為學生提供支架式問題,啟發學生自主解決疑惑.例如,通過問題串:“觀察展開圖,一共幾個面? ”→“這幾個面是怎樣連在一起的? ”→“展開的過程中,這些面是怎樣分開的? ”→“所有棱、剪開棱、未剪開棱三者有何關系? ”,學生就能夠自主、及時解決疑惑.

活動4:小壁虎的難題:如圖3,一只無蓋的圓桶下方有一只壁虎,上方有一只蚊子,如果壁虎要想盡快吃到蚊子,那么它該怎么走呢,請解決下列問題.

圖3

(1)想想看,壁虎可能的走法有哪些?

(2)這些走法中,哪種走法符合要求? 請給出適當的說明.

(3)請你結合本例說說學習“展開與折疊”的作用.

說明:學習“展開與折疊”有什么用呢? 這是不少學生這節課學習開始時或過程中,潛意識中難免存在的疑問.活動4就是要解決這個疑問,讓學生感受到學習“展開與折疊”的意義和價值.

活動4 是本節課的知識的實踐與運用,題中“盡快”就是需要找到“最短”的路線.在本節課學習的大背景下,學生自然會想到將圓柱展開,化立體圖形為平面圖形,再依據基本事實“兩點之間線段最短”確定最短路徑并進行解釋.盡管由于本活動未給出數據,對“怎么算”不作要求,但是這種通過“展開與折疊”將立體圖形轉化為平面圖形、將問題轉化到平面中進行解決的意識,正是學生“學會用數學的思維思考世界”的關鍵前提.問題(3)正在于引導學生領悟這種意識,解決潛意識中的疑問.

3 “解惑”與“存疑”的進一步思考

學生核心素養的發展,有賴于深度思維的參與,深度思維的參與就需要教師指導學生進行深度學習.深度學習是指向本質的、是結構化的、是重視體驗的,解惑的同時要存疑,為學生的自主探索、深度探索和拓展探索提供機會;存疑之后要解惑,為學生的理解本質、獲得結構和豐富認知保駕護航.

3.1 解決學生的知識之惑,為拓展存疑

課堂的大部分時間是用于教學新知識的,聚焦核心素養的設計就要在新知教學的主體部分,突出重點,精心設計教學環節,帶領學生打開知識內核,挖掘知識形成過程中所蘊含的思想方法,觀察理解知識的本質特征,感受過程中的思維動作,解決疑惑,拓展視野,產生新的疑問,促進思維向縱深、廣闊兩個方向推進.

如本案例中,最基本的教學目標就是讓學生感受立體圖形和平面圖形的關系,幾個活動的設計均指向該目標.從活動1 中的“展開”操作到活動2 中的“折疊”思考完整地呈現了立體與平面的對應過程.活動3 中聚焦到特殊的正方體展開,活動4 則是知識的應用.在活動1 和活動2 知識解惑的基礎上,活動3 的教學是拓展存疑、引發思考的關鍵,可以通過問題鏈:如何將一個正方形紙盒沿部分棱剪開展成一個平面圖形? (使學生明白“不同的展開方式得到的圖形可能不同”)、正方體展開圖的周長與棱長有什么關系? (使學生知道“平面展開圖的周長是剪開棱數的兩倍”)、正方體的對面在平面展開圖中怎么找? (引導學生歸納出用“隔面沒有再轉彎”的確定對面的方式),這些問題一方面促使學生對知識理解向深度和廣度兩個方向拓展,及時解惑使學生對立體圖形展開形成深入而完整的認識.

但是對于正方體的展開圖的分類和統計個人不建議當堂解惑,首先該知識不是本節課學習的內容,其次花長時間進行分類思想的滲透不利于其它知識的建構.在均衡分班的背景下可以作為知識的拓展,暫時保留疑問,供有興趣的學生課后思考.另外,正方體展開圖中對應點(立體圖形中重合的點)的確定,也可以作為一個疑問保留,共學生課后研究,延遲的本章復習的時候再進行解惑.

3.2 解決學生的能力之惑,為發展存疑

學生的數學核心素養主要表現為“會用數學的眼光觀察、會用數學的方式思考、會用數學的語言表達”的能力,觀察的水平高了、思考有條理了、表達精準了,學生的數學核心素養就整體提升了.

活動4 的教學就是要引導學生從數學的角度觀察,將這個模擬的現實問題抽象轉化為數學問題,即從這個實際背景中抽象地看成從一個點到另一點最近距離問題;然后用數學的方式進行思考,分情況考慮,對比聯想尋找判斷的數學依據,最終轉化成兩點之間的最短距離問題是思維上的一次飛躍;最后,運用所學的知識,用符號語言,有條理地說明,進而解決問題.

問題解決之后,如果再將圓柱的背景換成正方體或者長方體,是否可以用類似的方式解決呢? 對于如何求出距離的最短值會涉及到勾股定理的知識,在棱柱的背景中還要考慮到情況的分類,這些,都可以作為“存疑”的一部分.盡管學生現在還不會解決,但卻是今后必需掌握的,現在簡單的提及是為了學生今后的發展.學生的思維也將在存疑中留下一個展望的姿態.

3.3 藝術處理本能之惑,為未知存疑

在學習活動中,學生們所思所想大都受教師的引導,但有些時候,學生一些本能反應出乎教師的意料,這時,教師就要充分探尋學生本能反應背后的原因,進行合理引導,讓學生覺察本能、理解本能、解決疑惑.

如在活動1 中,學生們動手將立體圖形展開成平面圖形后,教師適時提問:通過剛才的操作,我們更深入地了解了這些常見的幾何體? 還有什么疑惑嗎? 學生回答大多聚焦于展開后的平面圖形,如:“三棱錐展開圖中的3 個三角形是否一樣大? ”“圓錐展開圖中扇形的弧長和圓有什么關系? ”等.但也有同學提出:球的表面積和體積怎么求?

一個看似與本節課所授知識無關的問題,且初中數學學習中不會涉及,但學生的思考方向值得認可,這是學生的本能疑惑.學生在已知求一些常見的立體圖形表面積和體積的情況下,想到探究球體的相關知識,是一種本能的遷移和推廣,需要被鼓勵.因為本能恰恰代表著學生的求知欲、好奇心、想象力等這些最寶貴的品質,沒有它們學生很難有創新意識和能力.

但處理時需要講究藝術.哪怕教師不了解該知識點,也要告訴學生以后會學,讓學生為未知的內容“存疑”,可以激發學生對未來學習的興趣.當然,如果僅告知結果也可行,但至于怎么求? 怎么用? 不適宜大做文章,仍然需要“存疑”,既不“偏離”主題,也避免“賣弄”之嫌.

4 寫在最后

當前,“核心素養”“單元教學”“項目學習”“人工智能”等教育內涵要求下我們的課堂本應該煥發更多活力,但是,“以講代學”“以做代學”的現象還很普遍,做好學生“解惑”工作是我們的職責,但適當“存疑”是為了讓學生更多參與.有了更多的啟發才有更多的思考和提問,學習的方式才是高效的、科學的.但也要明確的是:存疑之后還需解惑.存疑不是不理睬,而是智慧地處理,我們需對存疑的內容明確什么時候解決? (如初二會學)需對存疑的內容指導怎么解決? (如上網查詢)需對存疑的內容如何解決? (如課后交流,下節課講解)讓學生養成一個學習的好習慣.

解惑更多是解決知識層面上的問題,存疑更多指向的是精神與能力提升的問題,目標是發展學生數學素養.有效的思考是以真實的疑惑為前提的,在課堂教學的推進過程中,教師要善于設計恰當的活動或問題,激發、顯化學生的疑惑.激發學生的疑惑,進行適當的補充和拓展,設計引導問題串,促進學生思維深度參與,及時解決學生疑惑,在進行有條理地數學思考的過程中培養學生數學素養;設計科學的教學流程順序,有步驟地呈現,組織好從簡單到復雜的有序深入過程,顯化學生的疑惑,進行適當的存疑和等待,尊重學生的本能疑惑,在課堂的有序進程中、結尾或者課后為學生領悟學習價值、體悟核心概念創造機會.