一道中考壓軸題的講題教學實踐與思考*

廣東省清遠市陽山縣韓愈中學(513100) 劉鵬國

1 題目呈現及解法分析

1.1 題目呈現

這道題目是2013年湖北武漢中考題的第24 題,原題為:已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點,DE與CF交于點G.

(1)如圖1,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證:

圖1

(2)如圖2,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當∠B與∠EGC滿足什么關系時,成立? 并證明你的結論.

圖2

(3) 如圖3,若BA=BC= 6,DA=DC= 8,∠BAD=90°,DE ⊥CF,請直接寫出的值.

圖3

1.2 解題分析

(1)題目分析

此題主要考察相似三角形與幾何問題、代數問題的綜合運用.這道題目共有三問,第一問是以矩形為背景求證本質上是證明三角形的相似.第二問是把原來的矩形模型變成了平行四邊形模型,探究當∠B與∠EGC滿足什么關系時,成立? 間接考察四邊形的內角和定理.第三問是把第二問的平行四邊形模型變成了箏形模型,給出箏形的四條邊的長度以及一些輔助條件,求第一第二問中比例式的左邊的比值.三問之間相互聯系,以成比例線段為橋梁,以證明三角形相似為主線,并分別以矩形、平行四邊形、箏形為背景環環相扣、層層推進,考察學生對相似三角形的證明以及求解線段長的多種方法和技巧,培養學生的邏輯推理能力、觀察能力、猜想能力.

(2)解法分析

第一問,直接證明三角形相似就可以得出結論,難度不大,學生的得分率較高.具體做法:把求證結論比例式中的四條線段DE,AD,CF,CD分別放在ΔADE和ΔDCF兩個三角形中,再利用同角的余角相等,得出∠DFG= ∠DEA,進而根據有兩對角對應相等的兩個三角形相似,證明出ΔADE∽ΔDCF,最終證明出結論

第二問,觀察圖形大膽猜想和作輔助線是關鍵.在解決這類問題時,可以引導學生假設比例式成立,然后以此為突破口,反過來探究∠B與∠EGC之間的關系,這樣容易打開思路.具體做法:在AD的延長線上取點M,使CM=CF,如圖4,證明ΔADE∽ΔDCM,此時因為CM=CF,所以比例關系成立的前提是ΔADE∽ΔDCM,∠M= ∠AED,又因為∠M= ∠MFC= ∠FCB,因此在四邊形BEGC中∠BEG+∠BCG=180°,結合四邊形的內角和定理,所以當∠B與∠EGC互補時,結論成立.

圖4

第三問是把第二問的平行四邊形模型變成了箏形,具體做法:如圖5,過點C作CN⊥AD,證明ΔAED∽ΔNFC.

圖5

通過證明ΔAED∽ΔNFC,所以已知AD= 8,關鍵就是求出CN的值,在ΔACD中再利用等積法求出CN的值,問題就解決了.

2 講法探究

2.1 講解題的通性通法,讓學生做到遇題不慌

教師在講題時應注重培養學生解決問題的常規思維.而不是只是教會學生一些快捷、簡便的方法和思路,并且并不是所有的題目都有特殊的解法,因此,在講評壓軸題時應該先對題目的通性通法進行重點講解,然后再根據題目本身的特殊性挖掘一些特殊的解法和技巧,先讓大多數學生能夠掌握解決此類題目的一般做法.

對于本題的第一問,求證的結論是線段成比例的問題,筆者這樣引導學生:要證明兩組線段成比例,通過觀察可以發現,這是兩組分別位于兩個不同的三角形中的對應線段,若能證明這兩個三角形相似即可得證,這是完成此類問題的常規思路.在這道題目中,我們很容易發現,要證明的四條成比例的線段DE,AD,CF,CD分別在ΔADE和ΔDCF兩個三角形中,顯然,這兩個三角形中已經都有一對直角相等,我們只需要結合證明三角形相似的方法以及聯系題目的其他已知條件引導學生再找出另一對角相等即可.題目中提到DE⊥CF,即線段ED和FC相交所成的四個角都是直角,結合同角的余角相等可以得出∠GFD= ∠AED,即可根據“有兩對角相等的兩個三角形相似”得出ΔADE和ΔDCF相似,進而得出對應邊成比例第一問就順利完成了.講解這道題目時應重點講清楚兩點:一是引導學生思考成比例線段如何證明;二是如何準確快速的找出相似的三角形.第一點很多老師都會講到,對于第二點,筆者注重教學生在比例線段中找相似三角形的“訣竅”,即:橫著找,找不到;再豎著找,若還找不到;就換線段再找,若換了線段還是找不到就換比例再找相似三角形.

講清楚解決問題的一般方法,能讓學生在平時做題時做到心中有方法,遇題不緊張.對于解決問題的普遍方法的講授,首先要求教師不能就題論題的講解;其次,老師要對知識或者方法本身進行適當的擴展,像上面的這道題,教師可以對證明成比例線段的多種情況進行拓展;最后,教師還要精選例題讓學生把已經掌握的方法和技巧再熟練運用一次,最終實現方法和技巧的內化.

2.2 講模型的內在聯系,提高學生的分析能力

數學講題的重要目標之一是提高學生對題目的分析能力.在數學教學中,讓學生積累豐富的知識經驗,積累更多的數學模型,能為學生的想象搭建平臺,提高他們分析問題的能力.因此,講題時要注意幫助學生分析題目中出現的模型,并講清模型間的內在聯系.

第一問是以矩形為背景,結合同角的余角相等考察三角形的相似.第二問是把原來的矩形ABCD模型改為平行四邊形模型.第三問是把第二問的平行四邊形模型變成了箏形,三問之間模型的內在聯系的分析很關鍵.

第二問,可以先讓學生想象,假設后面的四條線段成比例,引導學生找到對應的相似三角形,然后在線段成比例的前提下再探究∠B與∠EGC的關系,這樣思路更容易打開.

這樣就順理成章的把探究的重點放在了構建三角形并證明相似的問題上.按照第一問的經驗找三角形證明相似的思路,三角形可以找到,很顯然鈍角ΔADE與銳角ΔDCF不可能相似,此時學生可能會陷入迷茫,然而如何使學生從迷茫中跳出來,通過換線段構造三角形相似就是解題的金鑰匙,到底換哪條線段,如何換? 思緒又回到前面為何ΔADE與ΔDCF不可能相似,其關鍵是一個是鈍角三角形和一個是銳角三角形有一對對應角不可能相等,因此這兩個三角形不可能相似,由題目知第二問的模型已經變成了平行四邊形,挖掘平行四邊形模型的性質得出∠A與∠FDC互補,和ΔADE相似的三角形對應內角必須相等根據平行四邊形的性質結合兩直線平行同位角相等,這時就為后面的做輔助線構造ΔCDM做好鋪墊,如在此時再結合題目第一問的啟示,線段DE,AD放到ΔADE中,那么線段CF和線段CD只需再放到一個和ΔADE相似的三角形中,無疑要通過做輔助線構造三角形(如圖6),其構造的關鍵就是要找到與∠A相等的角,思路由此打開.

圖6

在第三問中把題目的模型又變成了箏形(如圖7) .我們知道箏形是軸對稱圖形它具備很多的重要性質,例如對角線互相垂直,還有對角線BD把四邊形ABCD分割成兩個全等的三角形,BD垂直平分AC等等,題目中已知∠BAD= 90°這個箏形就更加特殊,連接BD,AC后得到RTΔABD,在這個直角三角形中隱藏了很多信息,比如有三對相似三角形,射影定理,利用等面積法求BD邊上的高等等知識.如果教師在講解完這道題目后,能夠把這個題目中包含的數學模型進行一一分解剖析,那么我們的學生或許會對這道題目理解更為深刻.

圖7

復雜問題是由基本問題構成的,解題中遇到“卡殼”,很多時候是由于學生對于基本的數學模型認識不夠而導致的.只有真正理解基本的數學模型,才能在具體的解題過程中,從復雜的問題中分解、發現、構造數學模型.進而在數學模型中挖掘其中的隱藏條件,實現解決問題.重視數學模型的歸納與分析,既尊重了學生的認知規律,又體現了對學生學習過程的關注,還能很好地提高學生的問題分析能力.

2.3 講問題的設計意圖,提升學生的反思能力

大多數綜合壓軸題都含有多個小問,并且這些問題所考察的知識點之間有著密切的聯系,在講解完題目的具體做法后,還應該對題目進行解題后的反思,引導學生思考問題的設計意圖,挖掘題目內在的思想方法,可以使學生窺探出命題者的出題意圖,進一步提升反思能力.在講完本題后,筆者提出了以下三個問題,引導學生從“問題的設計意圖”這個角度進行解題反思:命題者的考察意圖是什么? 考察了什么知識? 用到了哪些解題思想方法?

作為一道中考壓軸題,出題者本身的考察意圖很明顯.但是學生不一定可以看得出,這時老師只有站的高,才能看得遠,教師應該站在初中數學的知識體系中看問題,引導學生探究出題者的設計意圖.縱觀整個初中階段針對幾何圖形大小的兩大關系——全等和相似,全等關系較為簡單,而相似關系更為靈活也較為復雜,更能考察出學生觀察圖形和分析問題的能力,往往受出題人的偏愛.本題的考察意圖是在矩形、平行四邊形、箏形背景下,借助作輔助線構造相似三角形,主要考察學生能否熟練掌握相似三角形的判定與性質.涉及到全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質以及平行線的性質、四邊形的內角和定理、勾股定理、射影定理等知識.解題思想方面,本題通過利用轉化思想,執果索因思想,化歸思想等解題思想方法,培養學生綜合運用性質和定理進行推理的能力.

明晰了出題者的考察意圖以及考察的知識、反思解決問題的思想方法,最終使學生做到知一題而會一類,進而發現命題規律.譬如這類題目,通常都會有三問,三問之間解法有相似之處.該題三問之間雖然是并列式的設計,但實質上是遞進式的求解.第一問和第二問都含有比例式,因此在做完第一問時,可以嘗試用解決第一問的方法去求解第二問,第三問要求出的值,我們可以發現這兩條線段的比恰好是第1、2 問中比例式的等號左邊,既然有這樣的聯系,那么第1、2 問中都用到了相似三角形,那么第三問可能也會用到相似三角形.順著這個思路往下想,那么我們就要構造相似三角形,然后把DE、CF的比轉化為兩條可求長度的線段的比.

像這樣,通過在解題反思環節講解問題的設計意圖,引領學生追溯數學問題的本質,思考出題人的命題意圖,能讓學生體會解題帶來的樂趣,享受探究帶來的成就感,可以逐步培養學生獨立思考、積極探究的習慣,并懂得如何去學數學.

通過一道題目的講解我們所要達到的目的并非止于讓學生聽懂或者會做這道題目,而在于學生通過做這道題目后能夠獲取更多解決問題的想法和思路.