隱藏在平行線間的“拐點”問題

廣東省深圳市光明區高級中學(518107) 林曉珊 劉 成

平行線是初中數學的幾何初步,但其中的“拐點”問題讓許多學生都不知所措.“拐點”問題經常需要作輔助線,這對于初步接觸幾何的學生來說,是一大難題的開始.因此本文首先將“拐點”問題的幾種類型進行匯總,總結出常用的輔助線作法,在幫助學生提高對題目的理解與提高解題效率的同時,拓展學生的思維.

1 “拐點”的本質

“拐點”問題實質上是一個動點(即拐點)位于平行線的不同位置所產生的不同模型.

如圖1,2,AB//CD,動點P在AB、CD任意之間,由此會產生如下模型.作者將這幾種模型劃分為兩大類:

一類是動點P位于兩條平行線之間(如圖1,其中①為凸形圖,②為凹形圖);

圖1

一類是動點P位于兩條平行線外部,稱為外錯型(如圖2,其中①②P點位于平行線上方,③④P點位于平行線下方).

圖2

2 “拐點”解法分類

2.1 凸形圖

常用解法一:過點P(即拐點)作直線EP//AB(如圖3).

常用解法二:連結BD(如圖4).

圖4

小結論一:∠BPD+∠B+∠D=360°

證明一(如圖3) :∵AB//CD,EP//AB,∴EP//CD,∴∠D+∠EPD= 180°,又∵EP//AB,∴∠B+∠EPB=180°,∴∠B+∠EPB+∠EPD+∠D=180°+180°=360°,即∠BPD+∠B+∠D=360°.

圖3

證明二(如圖4):∵ΔBDP是一個三角形∴∠BPD+∠PBD+ ∠BDP= 180°,又∵AB//CD,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°.

2.2 凹形圖

常用解法一:過點P(即拐點)作直線FP//AB(如圖5).

圖5

常用解法二:連結BD(如圖6).

圖6

常用解法三:延長BP交CD于點G(如圖7).

小結論二:∠B+∠D=∠BPD

證明一(如圖5):利用兩直線平行,內錯角相等即可證明;

證明二(如圖6) :∵AB//CD,∴∠ABD+ ∠BDC=180°,又∵∠1+∠BPD+∠2=180°,∴∠ABP+∠PDC=∠BPD.

證明三(如圖7) :∵AB//CD,∴∠B= ∠1,又∵∠1 +∠D=∠BPD,∴∠B+∠D=∠BPD.

圖7

2.3 外錯型

如圖2,外錯型主要分為兩大類:點P在平行線上方和下方,類型一致,因此本文只著重講點P在上方,另外一種情況類似.但點P在平行線上方又分為圖8,圖9 兩種情況.

圖8

常用解法一:不用作輔助線(如圖8)

小結論三:∠D=∠P+∠B.

證明(如 圖8) :∵AB//CD,∴∠D= ∠PEA,又∵∠PEA=∠P+∠B,∴∠D=∠P+∠B.

常用解法一:延長AB交PD于點E(如圖9)

圖9

常用解法二:延長PB交CD于點F(如圖10)

圖10

小結論四∠ABP=∠D+∠P.

證明一(如 圖9) :∵AB//CD,∴∠D= ∠PEA,又∵∠ABP=∠PEA+∠P,∴∠ABP=∠D+∠P.

證明二(如圖10):∵AB//CD,∴∠PBA= ∠PFC,又∵∠PFC=∠D+∠P,∴∠ABP=∠D+∠P.

2.4 復雜“拐點”問題

作者在上述文章中將“拐點”問題的基本模型與基本解決進行一定的梳理,但實際題目往往并不如此直白,需要進行變形轉化方可求解.解決復雜拐點問題,關鍵要引導學生學會在實際問題中將模型尋找出來.具體方法可以概括為兩步:

首先，找一組平行線.這是拐點類問題的基礎,也是該模型的主要特征.

其次，尋找拐點.在平行的基礎上找到與問題相關的拐點,從而運用模型知識解決問題.

作者對日?？疾椤肮拯c”的常見題型進行分類、梳理如下:

2.4.1 組合“拐點”

例1如圖11,已知直線l1//l2,∠A=125°,∠B=105°,則∠1+∠2=____.

圖11

分析:本題實質上是兩個“凸形圖”的融合,故從兩個角度——作平行線、連結端點來考慮.

解法一(如圖12) 過點A作直線l3//l1,過點B作直線l4//l1,由平行線的傳遞性可知,l1//l2//l3//l4,∴∠1 =∠3,∠2=∠4,由圖可知∠A+∠B=∠3+∠5+∠6+∠4=230°,∴∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 230° -180°= 50°,即∠1+∠2=50°.

圖12

解法二(如圖13)連結CD,∵∠A+∠B=230°,又∵四邊形內角和為360°,∴∠3+∠4=360°-(∠A+∠B)=130°,又∵l1//l2,∴∠1+∠2=180°-(∠3+∠4)=50°.

圖13

點評:本題的關鍵在于要學會看清楚這是兩個“凸形圖”的融合,借用兩次模型即可解決問題.

例2如圖14,已知AB//CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,若∠BED=115°,則∠BFD的度數是____.

圖14

總體分析:本題實質上是兩個“凹形圖”的組合體,將兩個組合拆開,分別應用常用解法即可.

解(如圖15) 將本圖組合圖形拆開,形成如圖15(1) (2) 由于結論一可知:∠1 + ∠2 = ∠BED= 115°,∠BFD=∠3+∠4,又∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠3+∠4=×115°=57.5°.

圖15

另外解法:可以過點E,F作平行線,也可延長BE,BF,亦可連接BD,以上幾種解法均不如直接運用結論快捷簡便,故此處不展開分析.

點評:本題的關鍵在于能夠將組合圖形拆開,例1 與例2 的共同點在于均是兩個“拐點”基本模型的重合,區別在于例1 是兩個“凸形圖”直接鏈接,例2 是兩個“凹形圖”互相嵌套,但只要能夠從具體題目提煉出“模型”,問題自然會迎刃而解,因此,學生對于基本模型的掌握顯得尤為重要.

例3如圖16,一條公路修到湖邊時,需拐彎繞湖而過,若第一次拐角∠A= 130°,第二次拐角∠B= 150°,第三次拐的角是∠C,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行,則∠C=______.

圖16

總體分析:本題實質上AE,CF兩個平行線之間存在B拐點問題,且不同于例1 和例2,本題是“凸形圖”和“凹形圖”的組合圖.提煉模型時,我們可以將AE以及CF這一組平行線延長成直線,如圖17,這樣能使得該模型更加直觀.

圖17

解法一(如圖18) 過點B作BG//CF,由題可知,AE//BG//CF,∴∠A= ∠ABG= 130°,∠GBC= 20°,∴∠C=180°-∠GBC=160°.

圖18

解法二(如圖19) 延長AB,FC交于點H,∴∠A=∠AHC= 130°,∠ABC= ∠AHC+ ∠BCF= 130°+∠BCF,∴∠C=180°-∠BCH=160°.

圖19

2.4.2 三角板中的“拐點”

例4在綜合與實踐課上,老師請同學們以“兩條平行線AB,CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF= 60°)”為主題開展數學活動.如圖20,小穎把三角尺的兩個銳角頂點E,G分別放在AB和CD上,請你探索并說明∠AEF與∠FGC之間的數量關系.

圖20

本題實質上可以轉變為如圖21,即為“凸形圖”,由結論一可知∠AEF+∠FGC= ∠EFG= 90°,證明方法可以參考結論一的三種證明方法,此處不再展開論證.

圖21

例5小紅把一副三角板擺成如圖22 的樣子,則∠AED=_____.

圖22

本題實質上可以轉變為如圖23,即為“凸形圖”,由結論一可知∠AED=∠A+∠D=75°,類似例4.

圖23

例6如圖24,∠D=∠B=90°,∠E=45°,∠A=30°,則∠AFD=____.

圖24

本題實質上可以轉變為如圖25,即為“凸形圖”,由結論一可知∠AFD=∠A+∠D=120°,類似例5.

圖25

點評:由例4,例5,例6 可以對比可知,部分三角板問題可以簡化為“拐點”問題,將復雜問題簡單化,可以更加快捷簡便的算出.

3 教學建議

3.1 專題突破要先模型,后題型

“拐點”問題作為平行線中的專、難題,需要教師帶領學生進行規范化學習,才能對該問題進行突破.

教師應首先借助幾何畫板,通過動點的形式展示出幾種“拐點”的模型,讓學生從整體的角度理解幾個模型之間的區別與聯系.

接著,教師再分門別類對幾種類型進行專項講解,幫助學生梳理形成關于“拐點”問題的基本模型與解法,形成體系.

最后進行分類題型的攻克,讓學生逐漸適應、熟悉模型,學會在復雜問題中提煉、判斷出模型,并解決問題.

3.2 模型掌握要先通法,后特法

由上述三種模型不難發現,三種模型最常用的解法均為過拐點作平行線,因而該作法為解決拐點問題的通法.但在一些問題中,延長與連結也可以使問題更簡化.

因此在教學過程中,教師要引導學生首先掌握通用法,進而熟悉特殊方法.在解題過程中,以通法為主,特法為輔,才能讓學生在千變萬化的題海中游刃有余.同時,多種解決方法的滲透,也能夠在一定程度上培養學生的發散思維.

3.3 攻克題型要先分類,后總結

從作者總結的題型來看,對于拐點問題的考查趨向于“組合拐點”或者套用實際問題的外殼,由此來“迷惑”學生.因此,讓學生學會從復雜問題中提煉出模型顯得尤為重要.

在實際的訓練過程中,教師可以先將問題進行分類,通過同一種類型的問題讓學生首先適應、掌握并學會運用模型,并開始培養學生提煉模型的能力.

接著引導學生對分類問題進行總結、回顧、訓練,這樣才能夠逐步培養學生復雜問題簡單化的能力,做到問題一擊即破.