2020年全國Ⅰ卷圓錐曲線解答題的拓展探究與教學啟示*

廣東省佛山市順德區容山中學(528303) 賈中偉

云南省云南師范大學信息學院(650503) 唐明超

廣東省佛山市順德區容山中學(528303) 潘敬貞

1 試題呈現

(2020年課標全國Ⅰ卷理科第20 題)已知A,B分別為橢圓E:+y2= 1(a ＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,= 8,P為直線x= 6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

該題以橢圓為背景,結合向量數量積的坐標運算給出一個確定的橢圓,研究定直線上的動點與長軸兩端點的連線與橢圓的兩個交點所確定的直線的性質.試題呈現方式較常規,符合課標要求,是學生較為熟悉的定點問題.重點考查學生的數學運算,邏輯推理與數學建模等核心素養,文理同題亦體現了試題的命制緊扣新高考改革的方向.

2 試題解析

(1)由已知可得:A(-a,0),B(a,0),G(0,1),即可求得=a2-1,結合已知條件可得a2= 9,所以E的方程為+y2=1.

(2)設P(6,y0),可得直線AP的方程為:y=聯立直線AP的方程與橢圓方程可得:整理得(y20+9)x2+6y20x+9y20-81 = 0,所以x1x2=由x1=-3 得x2=從而y2=所以點C的坐標為同理可得點D的坐標為所以,直線CD的方程為:

整理可得:

化簡得:y=故直線CD過定點

試題的解答過程突出通法常法,還原解析幾何最本質的特征即用代數運算研究幾何性質,以求解直線與曲線的交點坐標為突破口,進而得出直線方程,再基于直線方程的特點得出直線的位置關系.試題整體上思維難度不大,具有鮮明的起點低、入口寬等特點,第(2)題要解決的問題目標明確,重點考查數學運算的基本方法與能力.

3 問題提出

問題1:該題呈現的是一個具體的橢圓和一條確定的直線,如果將橢圓一般化即給出的橢圓是任意的橢圓(文章為了討論方便,默認橢圓均為焦點在x軸上的橢圓),直線CD還能過定點嗎?

問題2:如果既將橢圓一般化,也將直線一般化為垂直于x軸的任意直線x=m(m /= 0),此時直線CD還能過定點嗎?

問題3:逆向思考,已知直線CD過定點(m,0),與橢圓分別交于點C、D,記A、B分別為橢圓的左右頂點,設AC與BD相交于點P,動點P的軌跡是一條垂直于x軸的直線嗎?

4 問題探究

4.1 探究問題1

題設1:已知A、B分別為橢圓的左、右頂點,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D;證明直線CD過定點.

證明:設P(6,y0),可得直線AP的方程為:y=聯立方程可得:整理得[b2(a+6)2+a2y20]x2+2a3y20x+a4y20-a2b2(a+6)2=0,所以x1x2=又因為x1=-a,所以另一個根x2=從而y2=所以點C的坐標為同理可得點D的坐標為由兩點式求直線CD的方程為:y=故直線CD過定點

從問題1 的探究過程可以看出代數運算較為復雜,但是最終推理結果卻相對簡潔.結合幾何畫板動態演示發現動直線CD確實經過位于x軸上的一個定點,說明該問題具有一般性.觀察問題1 的結論發現定點橫坐標為x=恰好包含了橢圓方程的基本元素a2與定直線方程x=6,不能排除這是巧合,但是亦有可能說明定點確實只與a2及定直線方程有關.可以猜想在一般情況下,給定直線x=m(m /= 0)時,直線CD的定點坐標為

4.2 探究問題2

由于計算過程較復雜,可以借助幾何畫板動態演示,發現猜想成立,從而可以得出結論1 如下.

結論1:已知A、B分別為橢圓E:=1(a ＞1)的左、右頂點,P為直線x=m上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D,則直線CD過定點

4.3 探究問題3

借助幾何畫板動態演示后發現問題3 的猜想成立,從而可以得出結論2 如下.

結論2:已知A、B分別為橢圓E:=1(a ＞1)的左、右頂點,點M(m,0)是橢圓長軸上異于左右端點的任意一點,過點M(m,0)的動直線交橢圓于C、D兩點,則動直線AC與BD交點P的軌跡是直線x=

5 問題的推廣

基于以上3 個問題的探究過程,可以大膽猜想當AB是橢圓上過定點(m,0)的一條動弦時,相交弦AB與CD的端點連線AC與BD的交點P的軌跡也是一條定直線,且方程為x=結合幾何畫板動態演示發現猜想成立,從而可以得出結論3 如下.

結論3:如果A、B是橢圓上的任意兩點,C、D也是橢圓上的任意兩點,且線段AB與CD相交于點M(m,0),則稱線段AB與CD是交點在長軸上的兩條相交弦,那么動直線AC與BD交點P的軌跡是直線x=

6 問題的進一步推廣

既然橢圓有如此優美的性質,那么雙曲線會不會也有類似的性質呢? 按照從特殊到一般的思路探究雙曲線中的情況,先對試題進行簡單變式得到問題4,接著在問題4 的基礎上借助幾何畫板動態演示進行推廣.

6.1 問題4 推廣

問題4:已知A、B分別為雙曲線E:-y2= 1 的左、右頂點,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.證明:直線CD過定點.

解析:設P(6,y0),可得直線AP的方程為:y=(x+3),聯立直線AP的方程與橢圓方程可得:整理得(y20-9)x2+ 6y20x+ 9y20+81 = 0,所以x1x2=因為x1=-3 得x2=從而y2=所以點C的坐標為同理可得點D的坐標為所以,直線CD的方程為:

整理可得:

故直線CD過定點

從問題4 的解答過程中發現直線CD過定點而且不應該只是巧合,所以大膽猜想結論1 與結論2對雙曲線也成立.進一步利用幾何畫板檢驗結論3 對雙曲線也一樣成立.

6.1 推廣到拋物線

通過以上的探究發現橢圓與雙曲線具有相同的性質,接下來探究拋物線中的情況.由于拋物線是非閉合曲線,只有一個頂點,可以從最特殊的情況著手探究.

問題5:已知拋物線E的方程為y2=4x,過焦點且垂直于x軸的直線與拋物線交于A,B兩點,點P是準線上的任意一點,延長AP交拋物線于點C,延長BP交拋物線于點D,求直線CD與直線AB的交點坐標.

解析:依題意知A(1,-2),B(1,2),設P(-1,1),則lP A:y=聯立直線lP A與拋物線E,解得; 聯立直線lP B與拋物線E,解得D(9,6); 所以lCD:y=聯立lAB與lCD得解得交點坐標為(1,0).

問題6:已知拋物線E的方程為y2= 4x,過點(2,0)的兩條相交弦所在直線方程分別為lAB:y=x -2,lCD:y=-x+2,其中A，B，C，D 為相交弦與拋物線的交點，點A,C均在第一象限,求直線AC與BD的交點P的坐標.

解析:聯立直線lAB與拋物線E,解得同理可得所以lAC:y=聯立lAC與lBD解得交點坐標為P(-2,0),即交點P(-2,0)在直線x=-2 上.

從問題5 的解答過程可以看出當定直線為x=-1 時,過定點F(1,0)的弦與拋物線交于A,B兩點,連接PA交拋物線于點C,連接PB交拋物線于點D,則直線CD也過定點F(1,0).從問題6 的解答過程中可以看出,過定點(2,0)的兩條相交弦分別交拋物線于A,B,C,D四點,且直線AC與BD相交于定直線x=-2 上一點x=-m.

由于代數運算推理非常復雜,仍然選擇使用幾何畫板進行演示驗證,猜想成立,得出結論4 如下.

結論4:過拋物線對稱軸上任意一定點M(m,0) 的兩條弦分別為AB與CD,則同側兩端點所在直線AC與BD的交點P的軌跡是一條定直線x=-m.反之,連接定直線x=-m上任意一點P與拋物線的任意弦AB的兩個端點,直線PA,PB分別交拋物線于C,D兩點,則弦AB與弦CD有公共點M(m,0).

文中前后給出了四個結論,其中結論1、結論2 與結論3的本質都是一樣的,反映的是橢圓或雙曲線中兩條相交弦端點所在直線的交點軌跡是一條垂直于對稱軸的直線,而且直線方程與兩條相交弦的交點坐標有著密切聯系,即直線方程與交點橫坐標的乘積為定值a2.結論3 是結論1 與結論2 的加強.結論4 反映了同一個問題背景在拋物線,橢圓和雙曲線中所呈現的情況是不一樣的,在拋物線中相交弦的交點橫坐標與定直線方程的和為定值0.總之,由試題引出的四個結論是圓錐曲線焦點弦問題中的瑰寶,同時也體現了命題者的高超技藝與淵博學識,試題看似平淡無奇,實則內涵豐富,可以對其進行深入挖掘和拓展學習.

7 教學啟示

7.1 理解《課標》,明確方向

《課標》是教學與考試的依據,教學過程是將課程標準相關要求進行分解完成的過程,考試是對課程標準規定的學習任務及學習目標完成情況的檢測與評價.量變的積累是發生質變的必要過程,考試的成績是教學過程中所有活動經驗的集中體現,所以抓實過程,夯實基礎,在落實“四基”與“四能”上下功夫很重要.課標明確要求學生在學習解析幾何專題的過程中認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征,能建立它們的標準方程,會運用代數方法進一步認識并研究圓錐曲線的性質以及它們的位置關系.所以該部分的基礎知識是要能熟練掌握曲線的標準方程及其簡單性質;基本技能是要能在建系的基礎上用代數運算描述曲線的幾何特征;由淺入深,在問題解決的過程中體會并深化轉化與化歸、函數與方程、數形結合等思想;過程的積累與方法的掌握關鍵在于反思和實踐.所以,注重基礎知識的積累,引導學生去體驗并經歷知識的發生與發展過程,積極總結反思形成能力是教學活動應該堅持并遵循的基本原則[1].

7.2 研究考題,創設探究性學習活動

學習的目的在于提升能力,結果將付諸于實際運用.引導學生學會是教學活動的基礎,發展能力是階段性教學目標,關鍵要引導學生學會主動學習.圓錐曲線中的一些定點定值問題是高考考查的重點,承載著試題的主要區分功能,解決這些問題往往需要具有較強的數學運算與數學建模能力,而這些能力的形成和發展離不開必要的探究性學習過程.探究性學習活動往往需要在有計劃有組織的前提下開展,文章所呈現的試題研究過程就可以作為探究性學習活動組織學生學習.所以探究性學習課程的開發離不開研究試題,尤其是研究高考試題,在研究中體會命題者的思想,思考命題規律,尋找教學增長點.

7.3 注重過程性教學

過程性教學強調回歸問題的本質,回歸知識的發生與發展過程.問題解決過程中有意識的追問本質是什么,能不能進行特殊化或者一般化,能不能將結論進行遷移或者推廣就顯得很重要[2].在階段性學習過程中,基于學生的元認知發展水平,由淺入深,實現知識與能力的層級遞進式發展;在復習備考階段,以點帶面,嘗試多角度探究同一個問題,甚至可以是一題一課或者一題多課,實現知識的橫向遷移,引導學生構建知識體系,形成關鍵能力.遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從簡單到復雜的探究原則,厘清知識的發生與發展邏輯,體驗知識的發生與發展過程,夯實過程,積累活動經驗,將學習者的角色適當加入一點研究者的元素,在研究中學習,在學習中開展研究,進而實現素養的真正提升.